1. Polygone constructibleSavoir construire un polygone régulier, à n côtés, c'est savoir construire le point de coordonnées (cos, sin ). Ayant ainsi construit un côté de ce polygone, il suffit de reporter de proche en proche sa longueur sur le cercle unité. Les Éléments d'Euclide donnent les constructions des polygones réguliers de 3, 4, 5, 6 et 15 côtés. Ils expliquent comment, grâce à la construction des bissectrices, doubler le nombre de côtés d'un polygone. Théorème de Gauss : Soit n et m deux entiers naturels premiers entre eux. Le polygone à nm côtés est constructible à la « règle et au compas » si et seulement si les polygones à n côtés et à m côtés sont constructibles. En effet, l'identité de Bézout permet de dire que si m et n sont premiers entre eux, il existe deux entiers relatifs u et v tels que um + vn = 1. On obtient l'angle , sur le cercle unité, en reportant u fois l'angle et v fois l'angle , angles que l'on sait construire. Exemple - construction du polygone régulier à 15 côtés : Il faudra attendre 1796 pour que Gauss démontre que le polygone de 17 côtés était aussi constructible à la « règle et au compas ». Polygones constructibles Un polygone régulier de n côtés est constructible si cos est un nombre constructible. n est alors une puissance de 2, un nombre premier de Fermat de la forme 1 + 2(2^k), un produit de nombres de Fermat ou un produit d'une puissance de 2 par des nombres de Fermat. Pour n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20… les polygones à n côtés sont constructibles. Pour n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19… ils ne le sont pas. Voir : solides de Platon 2. Polygone régulierUn polygone régulier est un polygone inscrit dans un cercle et dont tous les côtés ont la même longueur et les angles la même mesure. Il peut être convexe ou croisé. Un polygone régulier à n côtés se superpose à lui-même quand on le tourne d'un angle de . Un polygone régulier est composé de (n - 2) triangles. Si on additionne les angles de ces triangles, on obtient la somme des angles intérieurs du polygone. La somme des angles d'un polygone à n côtés est égale à (n - 2) π. Les rayons d'un polygone inscrit dans un cercle relient ses sommets à son centre. Les apothèmes relient les milieux de ses côtés à son centre.
3. Triangle équilatéralConstruction de la proposition 1 du I er livre d'Euclide (Alexandrie 300 avant Jésus-Christ). Placer deux points A, B et dessiner le segment [AB], La longueur du côté du triangle équilatéral est AB = r où r est le rayon du cercle circonscrit au triangle. Voir : les Éléments d'Euclide avec GéoPlan, Télécharger la figure GéoPlan triangle_equilateral.g2w 4. Carré - Construction à partir d'une diagonaleTracer deux points A et C, le segment [AC] et le cercle (c) de diamètre [AC]. La règle et le compas permettent de construire une médiatrice, en traçant les cercles de centre A passant par C et de centre C passant par A, qui se coupent en E et F. (EF) est la médiatrice de [AC]. Elle coupe le cercle (c) en B et D. La longueur du côté du carré est AB = r où r est le rayon du cercle circonscrit (c). Télécharger la figure GéoPlan carre.g2w Voir : carré au collège Sommaire 5. Pentagone - Construction de PtoléméePour construire un pentagone régulier convexe inscrit dans un cercle à la « règle et au compas » il suffit de savoir construire un angle au centre de dont le cosinus est égal à . Pour un pentagone inscrit dans un cercle de centre O, ayant un sommet A donné on peut effectuer la construction adaptée du procédé de création du rectangle d'or : tracer un cercle (c1) de centre O, de rayon r, passant par A(r, 0). K est le milieu de [OA’], le cercle (c2) de centre K et de rayon KB’ coupe [OA] en U. La longueur du côté du pentagone est égale à B’U. La médiatrice de [OU] coupe le premier cercle (c1) aux points B et E qui sont deux sommets du pentagone. Le cercle de centre B passant par A recoupe (c1) en C. Le symétrique D de C par rapport à (AA’) termine la construction du pentagone. En effet, KB’ = KU =r d'après la propriété de Pythagore, dans le triangle OKB’ rectangle en O, donc OU = r( - ) = et OI = r. Le point B a pour coordonnées OI = r cos et IB = r sin . Commande GéoPlan : cliquer dans la figure et modifier r avec les flèches du clavier Télécharger la figure GéoPlan pentagon.g2w Pentagone étoiléOn obtient un pentagone étoilé en joignant, de deux en deux, les sommets d'un pentagone régulier. Le pentagone croisé ABCDE est obtenu à partir du pentagone convexe ADBEC. Télécharger la figure GéoPlan pentagone_etoile.g2w Longueurs des côtés du pentagone convexe et du pentagone étoiléOn inscrit dans un cercle (c) de centre O et de rayon r un décagone régulier. En joignant les sommets, de deux en deux, on obtient un pentagone régulier convexe ACEGI ; en les joignant de quatre en quatre on obtient un pentagone régulier étoilé AEICG (pentagramme). Soit a = AC la longueur du côté du pentagone, d = AE la longueur d'une diagonale, côté du pentagone étoilé. Le triangle isocèle AEG d'angle au sommet est un triangle d'or. Le rapport entre le côté du triangle et sa base est Φ. La longueur du côté du décagone régulier est EF = = r , Les relations de Pythagore dans les triangles rectangles ACF et AEF inscrits dans le demi-cercle de diamètre [AF] donnent : a2 = AC2 = AF2 - CF2 = 4r2 - r2Φ2 et d2 = AE2 = AF2 - EF2 = 4r2 - r2/Φ2. On trouve : a = 2 r sin = = r ≈ 1,176 r ; d = = r ≈ 1,902 r. Télécharger la figure GéoPlan penta_dans_deca.g2w Pentagone régulier : Sommaire 6. HexagoneLe côté de l'hexagone régulier inscrit dans un cercle est égal au rayon r de ce cercle. Pour inscrire un hexagone régulier dans un cercle, il suffit de porter six fois sur la circonférence une ouverture de compas égale au rayon et de joindre les points consécutifs ainsi obtenus. Construction Placer deux points O et A, Le cercle de centre A passant par O coupe le cercle (c) en B et F, Effacer les cercles et tracer les côtés de l'hexagone ABCDEF. Télécharger la figure GéoPlan hexagone.g2w 7. Heptagone - construction approchée, dite « de Thalès »L'heptagone régulier n'est pas constructible à la « règle et au compas ». Cette construction d'un heptagone presque régulier est attribuée au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet (vers 600 avant J.-C.). Elle nécessite la règle et deux ouvertures de compas. Deux points A et A1 étant donnés, tracer le cercle (c) de diamètre [AA1]. Les cercles de centres A et A1 et de rayon AA1 se coupent en P et Q. On divise le diamètre [AA1] en n = 7 parties égales. Les droites (PI2), (PI4) et (PI6) rencontrent le cercle (c) en B, C et D, sommets du polygone. Ici on le complète par symétrie par rapport à (AA1). On obtient les points G, F et E intersections du cercle (c) et des droites (QI2), (QI4) et (QI6). Construction d'un polygone de n côtésCette méthode s'applique à un polygone de n côtés. Elle est d'une grande facilité et d'une précision très satisfaisante jusqu'à n = 10. Télécharger la figure GéoPlan polygo_7.g2w 8. OctogoneEn fonction du rayon r du cercle circonscrit, la longueur du côté est : 2 r sin = r ≈ 0,765 r. Voir le calcul du sinus : angle trigonométrie
9. EnnéagoneNon constructible à la « règle et au compas », car la trisection d'un angle de mesure n'est pas possible, résultat prouvé en 1801 par Gauss. 10. DécagoneLe décagone se construit au compas par la dissection d'un pentagone. Les cinq autres sommets, points d'intersection du cercle circonscrit avec les bissectrices de rayons consécutifs, sont les symétriques des sommets du pentagone par rapport au centre. Tracer le pentagone ACEGI de centre O et son symétrique FHJBD. ABCDEFGHIJ est un décagone régulier de côté AB = OU = r( - ) = .
Commande GéoPlan : cliquer dans la figure et modifier r avec les flèches du clavier
Télécharger la figure GéoPlan decagone.g2w Par exemple, pour construire un décagone inscrit dans un cercle de 27 cm de diamètre, soit un rayon de 13,5 cm, le côté mesure ≈ 8,3 cm et la figure ci-dessous donne les coordonnées des sommets.
Triangles d'orOAB est un triangle isocèle de côtés égaux au rayon r du cercle circonscrit. L'angle AÔB = 36° comme angle au centre du décagone. Les deux autres angles mesurent 72° comme angles inscrits interceptant quatre divisions sur le cercle (c). OAB est donc un triangle d'or. Le rapport entre le côté du triangle et sa base est Φ. Le côté du décagone est AB = . L'angle inscrit IDA intercepte deux divisions, il mesure 36°. L'angle au centre BÔD intercepte deux divisions, il mesure 72°. DOM est donc un triangle d'or isométrique à OAB. L'angle OMD mesure 72° ainsi AMB opposé par le sommet. L'angle inscrit BAD intercepte deux divisions, il mesure 36°. ABM est encore un triangle d'or. MOA a pour angles à la base deux angles inscrits de 36°, il est donc isocèle. OM = AM = AB = . AD = AM + MD = + r = r Φ. On peut aussi remarquer que l'angle de 36° que fait la corde [OM] avec [OA] est égal à l'angle ODM inscrit dans le cercle circonscrit au triangle ODM. (OA) est tangent au cercle. AB = = r et AD = r Φ = r
11. HendécagoneNon constructible à la « règle et au compas ». 12. DodécagoneC'est un polygone à 12 sommets et côtés. Il possède 54 diagonales et la somme de ses angles est égale à 1800°.
15. Pentadécagone ou pentédécagoneComme on sait construire le triangle équilatéral et le pentagone régulier, on applique le théorème de Gauss : 3 et 5 étant premiers entre eux, en multipliant par la relation de Bézout 2 × 3 - 5 = 1, En pratique on trace le pentagone régulier ADGJM (sens direct). À partir du point G, on trace le triangle équilatéral GBL (sens rétrograde). En reportant 14 fois la longueur AB sur le cercle, on obtient le polygone régulier ABCDEFGHIJKLMNP. Une telle construction a été proposée par Euclide. GéoPlan permet de tracer ce polygone avec une seule instruction. Télécharger la figure GéoPlan poly_15.g2w Pentadécagones croisés Le nombre de polygones réguliers croisés de n côtés est égal au nombre de nombres premiers avec n contenus dans la suite 2, 3…, . Il y a trois pentadécagones croisés que l'on obtient en joignant les sommets de deux en deux, quatre en quatre ou sept en sept. Construction avec une médiatriceConstruire le pentagone régulier ADGJM inscrit dans le cercle (c) de centre O. Placer le point G’ symétrique de G par rapport à O. La médiatrice de [OG’] coupe le cercle (c) en deux points B et L, sommets du pentadécagone. Justification Le triangle OBG’ est équilatéral car OB = OG’ comme rayons et OB = G’B car B est sur la médiatrice de [OG’]. L'angle MÔA de deux rayons du pentagone est de 72°. AÔB = G’ÔB - G’ÔA = 60° - 36° = 24°, angle deux rayons du pentadécagone
Commande GéoPlan : cliquer dans la figure et modifier r avec les flèches du clavier, Télécharger la figure GéoPlan pentadecagone.g2w Construction au compasConstruire le pentagone régulier ADGJM de centre O. Placer les points A’, D’, G’, J’, M’ symétriques de A, D, G, J, M par rapport à O. Les points du pentadécagone sont les points d'intersection du cercle (c) avec les cercles de centres A’, D’, G’, J’, M’ passant par le centre O. Justification G’OB est un triangle équilatéral de côtés égaux au rayon r du cercle circonscrit, G’ÔB = 60°. G’ÔA = MÔA = 36° (angle au centre du pentagone). AÔB = G’ÔB - G’ÔA = 60° - 36° = 24° est l'angle au centre du pentadécagone et le point B est bien un sommet. Télécharger la figure GéoPlan pentadecagone_2.g2w Sommaire 17. Heptadécagone (construction de Gauss)Pour inscrire un polygone régulier dans un cercle (c), de centre O, tracer deux diamètres [AC] et [BD] perpendiculaires. Soit E le point de [OB] tel que OE = OB, (HE) est la perpendiculaire en E à (EG), Le cercle de diamètre [IA], centré en J, rencontre [OB] en K. Le cercle de centre G, passant par K coupe [AC] en L et M (presque confondu avec J). Les parallèles à (BD) passant L et M coupent le cercle (c) en A5, A12, A3, A14, points de l'heptadécagone. La médiatrice de [A3 A5] coupe le cercle en A4. [A3 A4] et [A4 A5] sont deux côtés de l'heptadécagone.
Télécharger la figure GéoPlan heptadecagone.g2w
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