De Ptolémée à Gauss, construction à la « règle et au compas » des polygones réguliers de 5, 6, 8, 10, 12, 15 et 17 côtés.
Sommaire1. Polygone constructible |
Page no 93, créée le 25/9/2006, modifiée le 19/3/2008 |
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Grands problèmes de la géométrie grecque |
Le carré au collège |
Construction du pentagone régulier |
Faire de la géométrie dynamique |
1. Polygone constructibleSavoir construire un polygone régulier, à n côtés, c'est savoir construire le point de coordonnées (cos Les Éléments d'Euclide donnent les constructions des polygones réguliers de 3, 4, 5, 6 et 15 côtés. Ils expliquent comment, grâce à la construction des bissectrices, doubler le nombre de côtés d'un polygone. Théorème de Gauss : Soit n et m deux entiers naturels premiers entre eux. Le polygone à nm côtés est constructible, à la « règle et au compas », si et seulement si les polygones à n côtés et à m côtés sont constructibles. En effet, l'identité de Bézout permet de dire que si m et n sont premiers entre eux, il existe deux entiers relatifs u et v tels que um + vn = 1. On obtient l'angle Exemple - construction du polygone régulier à 15 côtés : Il faudra attendre 1796 pour que Gauss démontre que le polygone de 17 côtés était aussi constructible à la règle et au compas. Polygones constructibles Un polygone régulier de n côtés est constructible si cos Pour n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20 … les polygones à n côtés sont constructibles. Pour n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19 … ils ne le sont pas. Voir : solides de Platon Sommaire
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Côtés |
Angle au |
Angle |
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3 |
120° |
60° |
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4 |
90° |
90° |
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5 |
72° |
108° |
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Hexagone |
6 |
60° |
120° |
côté = rayon du cercle circonscrit |
Heptagone |
7 |
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Octogone |
8 |
45° |
135° |
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Ennéagone |
9 |
40° |
140° |
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Décagone |
10 |
36° |
144° |
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Hendécagone |
11 |
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Dodécagone |
12 |
30° |
150° |
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Pantadécagone |
15 |
24° |
156° |
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n côtés |
n |
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5. Pentagone - Construction de Ptolémée.Pour construire un pentagone régulier convexe inscrit dans un cercle à la « règle et au compas » il suffit de savoir construire un angle au centre de Pour un pentagone inscrit dans un cercle de centre O, ayant un sommet A donné on peut effectuer la construction adaptée du procédé de création du rectangle d'or : tracer un cercle (c1) de centre O, de rayon r, passant par A(r, 0). K est le milieu de [OA’], le cercle (c2) de centre K et de rayon KB’ coupe [OA] en U. La longueur du côté du pentagone est égale à B’U. La médiatrice de [OU] coupe le premier cercle (c1) aux points B et E qui sont deux sommets du pentagone. Le cercle de centre B passant par A recoupe (c1) en C. Le symétrique D de C par rapport à (AA’) termine la construction du pentagone. En effet, KB’ = KU = r Le point B a pour coordonnées OI = r cos
Pentagone étoilé
Le pentagone croisé ABCDE est obtenu à partir du pentagone convexe ADBEC.
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Voir : construction d'un hexagone par pliage d'un triangle équilatéral |
Construction à partir d'un côtéÉtant donné un segment [AB], tracer les cercles de centre A passant par B et de centre B passant par A. O, un des points d'intersection de ces deux cercles, est le centre du cercle circonscrit l'hexagone. La construction se termine comme ci-dessus.
Sommaire |
Construction à partir du cercle inscritClasse de première L Étant donné deux points O et I, tracer l'hexagone passant par I, circonscrit au cercle (c) de centre O passant par I. Tracer le cercle de centre I passant par O. Soit J et N les points d'intersection de ce cercle avec le cercle (c). Soit P le symétrique de O par rapport à I. Le triangle PJN est équilatéral. (PJ) est perpendiculaire au rayon [JO] de (c). (PJ) est tangente au cercle (c). (PN) est aussi une tangente. Soit R et T les symétriques de P par rapport à J et à N. PRT est un triangle équilatéral dont les côtés sont tangents au cercle (c). Le cercle (c) est aussi inscrit dans le triangle équilatéral SUQ, symétrique de PRT par rapport à O. Les six points d'intersection de ces deux triangles forment l'hexagone ABCDEF, circonscrit au cercle (c).
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7. Heptagone - construction approchée, dite « de Thalès »L'heptagone régulier n'est pas constructible à la « règle et au compas ».
Deux points A et A1 étant donnés, tracer le cercle (c) de diamètre [AA1]. Les cercles de centres A et A1 et de rayon AA1 se coupent en P et Q. On divise le diamètre [AA1] en n = 7 parties égales. Les droites (PI2), (PI4) et (PI6) rencontrent le cercle (c) en B, C et D, sommets du polygone. Ici on le complète par symétrie par rapport à (AA1). On obtient les points G, F et E intersections du cercle (c) et des droites (QI2), (QI4) et (QI6). Construction d'un polygone de n côtésCette méthode s'applique à un polygone de n côtés. Elle est d'une grande facilité et d'une précision très satisfaisante jusqu'à n = 10.
8. Construire un octogone régulierEn fonction du rayon r du cercle circonscrit, la longueur du côté est : 2 r sin Voir le calcul du sinus : angle trigonométrie |
Octogone inscrit dans un cercleÀ partir de deux points libres O et A, tracer le cercle de centre O passant par A.
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Octogone inscrit dans un carréTracer les diagonales du carré et marquer le centre O du carré, point d'intersection des diagonales. Tracer alternativement les cercles centrés sur chaque sommet, passant par le centre O. En joignant les points d'intersection de ces cercles avec les côtés du triangle, on obtient un octogone régulier.
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Construction à partir d'un côtéClasse de première L Du centre O du cercle circonscrit, on « voit » un côté [AB] suivant un angle de 45°. Construction Étant donné deux points A et B, tracer le cercle de diamètre [AB], la médiatrice de [AB] coupe ce cercle en un point I. Le cercle de centre I passant par A coupe la médiatrice en un point O, situé du même côté que I par rapport à (AB). AÔB = On termine la construction comme ci-dessus à gauche.
9. EnnéagoneNon constructible à la « règle et au compas », car la trisection d'un angle de mesure 10. Construire un décagone
Les cinq autres sommets, points d'intersection du cercle circonscrit avec les bissectrices de rayons consécutifs, sont les symétriques des sommets du pentagone par rapport au centre. Tracer le pentagone ACEGI de centre O et son symétrique FHJBD. ABCDEFGHIJ est un décagone régulier de côté :
Par exemple, pour construire un décagone inscrit dans un cercle de 27 cm de diamètre, soit un rayon de 13,5 cm, le côté mesure |
Décagone et triangle d'or[AB] est le côté du décagone ABCDEFGHIJ régulier convexe inscrit dans un cercle (c) de centre O, [AD] est le côté du décagone étoilé. [AD] et le rayon [BO] se coupent en M. Le rayon (BO) prolongé passe par le sommet G et Le rayon (DO) prolongé passe par le sommet I.
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Décagone étoiléLe nombre de polygones réguliers croisés de n côtés est égal au nombre de nombres premiers avec n contenus dans la suite 2, 3…,
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Triangles d'orOAB est un triangle isocèle de côtés égaux au rayon r du cercle circonscrit. L'angle AÔB = L'angle inscrit IDA intercepte deux divisions, il mesure MOA a pour angles à la base deux angles inscrits de AD = AM + MD = On peut aussi remarquer que l'angle de AB = 11. HendécagoneNon constructible à la « règle et au compas ». 12. DodécagoneC'est un polygone à 12 sommets et côtés. Il possède 54 diagonales et la somme de ses angles est égale à 10 π. |
Le dodécagone se construit au compas par la dissection d'un hexagone : les six autres sommets sont les points d'intersection du cercle circonscrit avec les bissectrices de rayons consécutifs. Construction À partir d'un hexagone ACEGIK inscrit dans le cercle (c), on utilise les cercles passant par O, centrés sur deux sommets consécutifs, ayant permis la construction de l'hexagone.
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Construction au compasDans le cercle (c), de centre O, tracer deux diamètres [AG] et [DJ] perpendiculaires. Les points du dodécagone sont les points d'intersection du cercle (c) avec les cercles de centres A, D, G et J passant par le centre O.
Sommaire |
3 et 5 étant premiers entre eux, en multipliant par En pratique on trace le pentagone régulier ADGJM (sens direct). À partir du point G, on trace le triangle équilatéral GBL (sens rétrograde). En reportant 14 fois la longueur AB sur le cercle, on obtient le polygone régulier ABCDEFGHIJKLMNP. Une telle construction a été proposée par Euclide. GéoPlan permet de tracer ce polygone avec une seule instruction.
Pentadécagones croisés Le nombre de polygones réguliers croisés de n côtés est égal au nombre de nombres premiers avec n contenus dans la suite 2, 3…, |
Construire le pentagone régulier ADGJM inscrit dans le cercle (c) de centre O. Placer le point G’ symétrique de G par rapport à O. La médiatrice de [OG’] coupe le cercle (c) en deux points B et L, sommets du pentadécagone. Commande GéoPlan : modifier r avec les flèches du clavier, |
Justification Le triangle OBG’ est équilatéral, car OB = OG’ comme rayons et OB = G’B car B est sur la médiatrice de [OG’]. L'angle MÔA de deux rayons du pentagone est de AÔB = G’ÔB - G’ÔA = |
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Sommaire |
Construire le pentagone régulier ADGJM de centre O.
Placer les points A’, D’, G’, J’, M’ symétriques de A, D, G, J, M par rapport à O.
Les points du pentadécagone sont les points d'intersection du cercle (c) avec les cercles de centres A’, D’, G’, J’, M’ passant par le centre O.
Justification
G’OB est un triangle équilatéral de côtés égaux au rayon r du cercle circonscrit, G’ÔB = .
G’ÔA = MÔA =
(angle au centre du pentagone).
AÔB = G’ÔB - G’ÔA = -
=
est l'angle au centre du pentadécagone et le point B est bien un sommet.
Télécharger la figure GéoPlan pentadecagone_2.g2w
Pour inscrire un polygone régulier dans un cercle (c), de centre O, tracer deux diamètres [AC] et [BD] perpendiculaires.
Soit E le point de [OB] tel que OE = OB,
La droite (EF) est la bissectrice de OÊA et la droite (EG) est la bissectrice de OÊF
(OÊG = OÊA).
(HE) est la perpendiculaire en E à (EG),
La droite (EI) est la bissectrice de H ÊG.
Le cercle de diamètre [IA], centré en J, rencontre [OB] en K.
Le cercle de centre G, passant par K coupe [AC] en L et M (presque confondu avec J).
Les parallèles à (BD) passant L et M coupent le cercle (c) en A5, A12, A3, A14, points de l'heptadécagone.
La médiatrice de [A3 A5] coupe le cercle en A4. [A3 A4] et [A4 A5] sont deux côtés de l'heptadécagone.
Télécharger la figure GéoPlan heptadecagone.g2w
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