Polygones réguliers

Sommaire

1. Polygone constructible
2. Polygone régulier : côtés, angles
5. Pentagone - Construction de Ptolémée
6. Hexagone
7. Heptagone
8. Octogone
10. Décagone
12. Dodécagone
15. Pentadécagone
17. Heptadécagone - Construction de Gauss

 Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec Internet Explorer et la version ActiveX de GéoPlan

Feuille de travail dynamique avec GeoGebra : polygones réguliers (pentagones à octogones)

Page n^o 93, créée le 25/9/2006, modifiée le 19/3/2008

Grands problèmes de la géométrie grecque

Triangle
équilatéral

Le carré au collège

Construction du pentagone régulier

Constructions
par pliage

Faire de la géométrie dynamique

1. Polygone constructible

Savoir construire un polygone régulier, à n côtés, c'est savoir construire le point de coordonnées (cos, sin ). Ayant ainsi construit un côté de ce polygone, il suffit de reporter de proche en proche sa longueur sur le cercle unité.

Les Éléments d'Euclide donnent les constructions des polygones réguliers de 3, 4, 5, 6 et 15 côtés.

Ils expliquent comment, grâce à la construction des bissectrices, doubler le nombre de côtés d'un polygone.

Théorème de Gauss : Soit n et m deux entiers naturels premiers entre eux. Le polygone à nm côtés est constructible, à la « règle et au compas », si et seulement si les polygones à n côtés et à m côtés sont constructibles.

En effet, l'identité de Bézout permet de dire que si m et n sont premiers entre eux, il existe deux entiers relatifs u et v tels que um + vn = 1.
Multipliant cette expression par , il vient : u + v = .

On obtient l'angle , sur le cercle unité, en reportant u fois l'angle et v fois l'angle , angles que l'on sait construire.

Exemple - construction du polygone régulier à 15 côtés :
Comme on sait construire le triangle équilatéral et le pentagone régulier, 3 et 5 étant premiers entre eux, en multipliant par la relation de Bézout 2 × 3 - 5 = 1,
on obtient l'égalité 2 - = .
Sur un cercle, à partir d'un point A, on place un point G tel que (, ) = , le point B tel que (, ) = − est le deuxième sommet du polygone régulier de côté AB.

Il faudra attendre 1796 pour que Gauss démontre que le polygone de 17 côtés était aussi constructible à la règle et au compas.

Polygones constructibles

Un polygone régulier de n côtés est constructible si cos est un nombre constructible. n est alors une puissance de 2, un nombre premier de Fermat de la forme 1 + 2^(2k), un produit de nombres de Fermat ou un produit d'une puissance de 2 par des nombres de Fermat.

Pour n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20 … les polygones à n côtés sont constructibles. Pour n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19 … ils ne le sont pas.

Voir :  solides de Platon

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2. Polygone régulier

Un polygone régulier est un polygone inscrit dans un cercle et dont tous les côtés ont la même longueur et les angles la même mesure. Il peut être convexe ou croisé.

Un polygone régulier à n côtés se superpose à lui-même quand on le tourne d'un angle de .

Un polygone régulier convexe est composé de (n - 2) triangles. Si on additionne les angles de ces triangles, on obtient la somme des angles intérieurs du polygone. La somme des angles d'un polygone à n côtés est égale à
(n - 2) π.

Les rayons d'un polygone inscrit dans un cercle relient ses sommets à son centre.

Les apothèmes sont les segments reliant les milieux des côtés au centre d'un polygone inscrit dans un cercle.
Pour un polygone régulier, l'apothème désigne aussi la longueur de ces segments, longueur égale au rayon du cercle inscrit dans le polygone.

Côtés

Angle au
centre

Angle
intérieur

Triangle équilatéral

3

120°

60°

Carré

4

90°

90°

Pentagone

5

72°

108°

= Φ

Hexagone

6

60°

120°

côté = rayon du cercle circonscrit

Heptagone

7

Octogone

8

45°

135°

Ennéagone

9

40°

140°

Décagone

10

36°

144°

= Φ

Hendécagone

11

Dodécagone

12

30°

150°

Pantadécagone

15

24°

156°

n côtés

n

5. Pentagone - Construction de Ptolémée.

Pour construire un pentagone régulier convexe inscrit dans un cercle à la « règle et au compas » il suffit de savoir construire un angle au centre de dont le cosinus est égal à .

Pour un pentagone inscrit dans un cercle de centre O, ayant un sommet A donné on peut effectuer la construction adaptée du procédé de création du rectangle d'or :

tracer un cercle (c₁) de centre O, de rayon r, passant par A(r, 0).
Placer un diamètre [AA’] et un rayon [OB’], perpendiculaire à [AA’].

K est le milieu de [OA’], le cercle (c₂) de centre K et de rayon KB’ coupe [OA] en U. La longueur du côté du pentagone est égale à B’U.

La médiatrice de [OU] coupe le premier cercle (c₁) aux points B et E qui sont deux sommets du pentagone. Le cercle de centre B passant par A recoupe (c₁) en C. Le symétrique D de C par rapport à (AA’) termine la construction du pentagone.

En effet, KB’ = KU = r d'après la propriété de Pythagore, dans le triangle OKB’ rectangle en O, donc OU = r( - ) = et OI =  r.
L'angle (, ) a un cosinus égal à , c'est bien un angle de . La corde [AB] est donc le premier côté du pentagone régulier convexe ABCDE.

Le point B a pour coordonnées OI = r cos et IB = r sin .
Le point C a pour abscisse r cos = − r cos = − r,
et pour ordonnée r sin = r sin .

Feuille de travail dynamique avec GeoGebra : pentagone

Pentagone étoilé

On obtient un pentagone étoilé en joignant, de deux en deux, les sommets d'un pentagone régulier.

Le pentagone croisé ABCDE est obtenu à partir du pentagone convexe ADBEC.

Télécharger la figure GéoPlan pentagone_etoile.g2w

Longueurs des côtés du pentagone convexe et du pentagone étoilé

On inscrit dans un cercle (c) de centre O et de rayon r un décagone régulier. En joignant les sommets de deux en deux on obtient un pentagone régulier convexe ACEGI ; en les joignant de quatre en quatre on obtient un pentagone régulier étoilé AEICG (pentagramme).

Soit a = AC la longueur du côté du pentagone, d = AE la longueur d'une diagonale, côté du pentagone étoilé.

Le triangle isocèle AEG d'angle au sommet est un triangle d'or. Le rapport entre le côté du triangle et sa base est Φ.
Dans le pentagone régulier, le rapport est égal au nombre d'or :
= = Φ = .

La longueur du côté du décagone régulier est EF = = r ,
celle du décagone croisé est CF = r Φ = r .

Les relations de Pythagore dans les triangles rectangles ACF et AEF inscrits dans le demi-cercle de diamètre [AF] donnent :

a² = AC² = AF² - CF² = 4r² - r²Φ² et d² = AE² = AF² - EF² = 4r² - r²/Φ².

On trouve :

a = 2 r sin = = r ≈ 1,176 r ;

d = = r ≈ 1,902 r.

Télécharger la figure GéoPlan penta_dans_deca.g2w
Voir : pentagone régulier :
    constructions exactes
    constructions approchées
    avec GeoGebra

6. Hexagone

Le côté de l'hexagone régulier inscrit dans un cercle est égal au rayon r de ce cercle.

Construction de l'hexagone à partir du cercle circonscrit

Pour inscrire un hexagone régulier dans un cercle, il suffit de porter six fois sur la circonférence une ouverture de compas égale au rayon et de joindre les points consécutifs ainsi obtenus.

Avec GéoPlan

Placer deux points O et A,
tracer le cercle (c) de centre O passant par A.

Le cercle de centre A passant par O coupe le cercle (c) en B et F,
le cercle de centre B passant par O recoupe le cercle (c) en C,
le cercle de centre C passant par O recoupe le cercle (c) en D,
le cercle de centre D passant par O recoupe le cercle (c) en E.

Effacer les cercles et tracer les côtés de l'hexagone ABCDEF.

Commande GéoPlan

Taper H pour afficher/effacer les cercles de la construction.

Télécharger la figure GéoPlan hexagone.g2w
Télécharger la figure GeoGebra hexagone.ggb
Télécharger la figure Cabri hexagone.fig

Feuille de travail dynamique avec GeoGebra : hexagone

Voir : construction d'un hexagone par pliage d'un triangle équilatéral
construction en partageant le diamètre d'un cercle en quatre
hexagramme mystique

Construction à partir d'un côté

Étant donné un segment [AB], tracer les cercles de centre A passant par B et de centre B passant par A.

O, un des points d'intersection de ces deux cercles, est le centre du cercle circonscrit l'hexagone.

La construction se termine comme ci-dessus.

Télécharger la figure GéoPlan hexagone_cote.g2w

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Construction à partir du cercle inscrit

Classe de première L

Étant donné deux points O et I, tracer l'hexagone passant par I, circonscrit au cercle (c) de centre O passant par I.

Tracer le cercle de centre I passant par O. Soit J et N les points d'intersection de ce cercle avec le cercle (c). Soit P le symétrique de O par rapport à I. Le triangle PJN est équilatéral. (PJ) est perpendiculaire au rayon [JO] de (c). (PJ) est tangente au cercle (c). (PN) est aussi une tangente.

Soit R et T les symétriques de P par rapport à J et à N. PRT est un triangle équilatéral dont les côtés sont tangents au cercle (c).

Le cercle (c) est aussi inscrit dans le triangle équilatéral SUQ, symétrique de PRT par rapport à O.

Les six points d'intersection de ces deux triangles forment l'hexagone ABCDEF, circonscrit au cercle (c).

Télécharger la figure GéoPlan hexagone_circonscrit.g2w

7. Heptagone - construction approchée, dite « de Thalès »

L'heptagone régulier n'est pas constructible à la « règle et au compas ».

Cette construction d'un heptagone presque régulier est attribuée au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet (vers 600 avant J.-C.). Elle nécessite la règle et deux ouvertures de compas.

Deux points A et A₁ étant donnés, tracer le cercle (c) de diamètre [AA₁]. Les cercles de centres A et A₁ et de rayon AA₁ se coupent en P et Q.

On divise le diamètre [AA₁] en n = 7 parties égales.

Les droites (PI₂), (PI₄) et (PI₆) rencontrent le cercle (c) en B, C et D, sommets du polygone. Ici on le complète par symétrie par rapport à (AA₁). On obtient les points G, F et E intersections du cercle (c) et des droites (QI₂), (QI₄) et (QI₆).

Construction d'un polygone de n côtés

Cette méthode s'applique à un polygone de n côtés. Elle est d'une grande facilité et d'une précision très satisfaisante jusqu'à n = 10.

Télécharger la figure GéoPlan polygo_7.g2w

8. Construire un octogone régulier

En fonction du rayon r du cercle circonscrit, la longueur du côté est : 2 r sin = r ≈ 0,765 r.

Voir le calcul du sinus : angle trigonométrie

Octogone inscrit dans un cercle

À partir de deux points libres O et A, tracer le cercle de centre O passant par A.
Tracer deux diamètres [AE] et [CG] perpendiculaires du cercle : ACEG est alors un carré.
Tracer les bissectrices de ces angles pour former deux autres diamètres :
les cercles de centres A et C passant par O se recoupe en I. (OI) est la médiatrice de [AC] coupe le cercle en B et F,
les cercles de centres C et E passant par O se recoupe en J. (OJ) est la médiatrice de [CE] coupe le cercle en D et H,
En joignant les extrémités des quatre diamètres, on obtient l'octogone régulier ABCDEFGH.

Télécharger la figure GéoPlan octogone.g2w
Télécharger la figure GeoGebra octogone.ggb

Octogone inscrit dans un carré

Tracer les diagonales du carré et marquer le centre O du carré, point d'intersection des diagonales. Tracer alternativement les cercles centrés sur chaque sommet, passant par le centre O. En joignant les points d'intersection de ces cercles avec les côtés du triangle, on obtient un octogone régulier.

Télécharger la figure GéoPlan octogone2.g2w
Télécharger la figure GeoGebra octogone2.ggb

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Construction à partir d'un côté

Classe de première L

Du centre O du cercle circonscrit, on « voit » un côté [AB] suivant un angle de 45°.
Le point O est situé sur arc capable correspondant à un angle au centre de 90°.
Le centre I de l'arc capable est donc situé sur le cercle de diamètre le côté [AB].

Construction

Étant donné deux points A et B, tracer le cercle de diamètre [AB], la médiatrice de [AB] coupe ce cercle en un point I.

Le cercle de centre I passant par A coupe la médiatrice en un point O, situé du même côté que I par rapport à (AB).

AÔB = AÎB = 45°, le point O est le centre du cercle circonscrit à l'octogone.

On termine la construction comme ci-dessus à gauche.

Télécharger les figures GéoPlan octogone_cote.g2w, octogone_cote2.g2w
Voir cette construction dans l'espace : pyramide octogonale

9. Ennéagone

Non constructible à la « règle et au compas », car la trisection d'un angle de mesure n'est pas possible, résultat prouvé en 1801 par Gauss.

10. Construire un décagone

Le décagone se construit au compas par la dissection d'un pentagone.

Les cinq autres sommets, points d'intersection du cercle circonscrit avec les bissectrices de rayons consécutifs, sont les symétriques des sommets du pentagone par rapport au centre.

Tracer le pentagone ACEGI de centre O et son symétrique FHJBD.

ABCDEFGHIJ est un décagone régulier de côté :
AB = OU = r( - ) = .

Télécharger la figure GéoPlan decagone.g2w

Par exemple, pour construire un décagone inscrit dans un cercle de 27 cm de diamètre, soit un rayon de 13,5 cm, le côté mesure ≈ 8,3 cm et la figure ci-dessous donne les coordonnées des sommets.

Décagone et triangle d'or

[AB] est le côté du décagone ABCDEFGHIJ régulier convexe inscrit dans un cercle (c) de centre O, [AD] est le côté du décagone étoilé.

[AD] et le rayon [BO] se coupent en M. Le rayon (BO) prolongé passe par le sommet G et Le rayon (DO) prolongé passe par le sommet I.

Télécharger la figure GéoPlan dodecagone_2.g2w

Décagone étoilé

Le nombre de polygones réguliers croisés de n côtés est égal au nombre de nombres premiers avec n contenus dans la suite 2, 3…, . Comme pour le pentagone, il n'y a qu'un décagone croisé que l'on obtient en joignant les sommets de trois en trois.

Télécharger la figure GéoPlan decagone_croise.g2w

Triangles d'or

OAB est un triangle isocèle de côtés égaux au rayon r du cercle circonscrit. L'angle AÔB = comme angle au centre du décagone. Les deux autres angles mesurent comme angles inscrits interceptant quatre divisions sur le cercle (c). OAB est donc un triangle d'or. Le rapport entre le côté du triangle et sa base est Φ. Le côté du décagone est AB = .

L'angle inscrit IDA intercepte deux divisions, il mesure . L'angle au centre BÔD intercepte deux divisions, il mesure . DOM est donc un triangle d'or isométrique à OAB. L'angle OMD mesure ainsi AMB opposé par le sommet. L'angle inscrit BAD intercepte deux divisions, il mesure . ABM est encore un triangle d'or.

MOA a pour angles à la base deux angles inscrits de , il est donc isocèle. OM = AM = AB = .

AD = AM + MD = + r = r Φ.

On peut aussi remarquer que l'angle de que fait la corde [OM] avec [OA] est égal à l'angle ODM inscrit dans le cercle circonscrit au triangle ODM. (OA) est tangent au cercle.
La puissance du point A par rapport à ce cercle est AD × AM = AO². Comme AM = AB on obtient les deux côtés en divisant le rayon en « extrême et moyenne raison »

AB = = r et AD = r Φ = r .

11. Hendécagone

Non constructible à la « règle et au compas ».

12. Dodécagone

C'est un polygone à 12 sommets et côtés. Il possède 54 diagonales et la somme de ses angles est égale à 10 π.

Le dodécagone se construit au compas par la dissection d'un hexagone : les six autres sommets sont les points d'intersection du cercle circonscrit avec les bissectrices de rayons consécutifs.

Construction

À partir d'un hexagone ACEGIK inscrit dans le cercle (c), on utilise les cercles passant par O, centrés sur deux sommets consécutifs, ayant permis la construction de l'hexagone.
Par exemple, les cercles de centres A et C passant par O se recoupent en M. La droite (AM) est la médiatrice du côté [AC]. Elle coupe le cercle (c) en B et H qui sont deux sommets opposés du dodécagone.

Télécharger la figure GéoPlan dodecago.g2w
Télécharger la figure Cabri dodecagone.fig

Construction au compas

Dans le cercle (c), de centre O, tracer deux diamètres [AG] et [DJ] perpendiculaires.

Les points du dodécagone sont les points d'intersection du cercle (c) avec les cercles de centres A, D, G et J passant par le centre O.

Télécharger la figure GéoPlan dodecagone_2.g2w

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Faire de la géométrie dynamique

Comme on sait construire le triangle équilatéral et le pentagone régulier, on applique le théorème de Gauss :

3 et 5 étant premiers entre eux, en multipliant par la relation de Bézout 2 × 3 - 5 = 1,
on obtient l'égalité 2 - = .
Sur un cercle, à partir d'un point A, on place un point G tel que (, ) = ,
le point B tel que (, ) = − est le deuxième sommet du polygone régulier de côté AB.

En pratique on trace le pentagone régulier ADGJM (sens direct).

À partir du point G, on trace le triangle équilatéral GBL (sens rétrograde).

En reportant 14 fois la longueur AB sur le cercle, on obtient le polygone régulier ABCDEFGHIJKLMNP.

Une telle construction a été proposée par Euclide.

GéoPlan permet de tracer ce polygone avec une seule instruction.

Télécharger la figure GéoPlan poly_15.g2w

Pentadécagones croisés

Le nombre de polygones réguliers croisés de n côtés est égal au nombre de nombres premiers avec n contenus dans la suite 2, 3…, .
Il y a trois pentadécagones croisés que l'on obtient en joignant les sommets de deux en deux, quatre en quatre ou sept en sept.

Construire le pentagone régulier ADGJM inscrit dans le cercle (c) de centre O.

Placer le point G’ symétrique de G par rapport à O.

La médiatrice de [OG’] coupe le cercle (c) en deux points B et L, sommets du pentadécagone.

Commande GéoPlan : modifier r avec les flèches du clavier,
taper S pour montrer/cacher la justification.

Justification

Le triangle OBG’ est équilatéral, car OB = OG’ comme rayons et OB = G’B car B est sur la médiatrice de [OG’].

L'angle MÔA de deux rayons du pentagone est de .
G’ÔA = MÔA = .

AÔB = G’ÔB - G’ÔA = - = , angle deux rayons du pentadécagone

Télécharger la figure GéoPlan pentadecagone.g2w

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Le triangle équilatéral

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