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De Ptolémée à Gauss, construction à la « règle et au compas » des polygones réguliers de 5, 6, 8 côtés.
Sommaire1. Polygone constructible |
Page no 93, créée le 30/8/2009 |
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GéoPlan |
Le carré |
Construction du pentagone régulier |
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1. Polygone constructibleSavoir construire un polygone régulier, à n côtés, c'est savoir construire le point de coordonnées (cos, sin ). Ayant ainsi construit un côté de ce polygone, il suffit de reporter de proche en proche sa longueur sur le cercle unité. Les Éléments d'Euclide donnent les constructions des polygones réguliers de 3, 4, 5, 6 et 15 côtés. Ils expliquent comment, grâce à la construction des bissectrices, doubler le nombre de côtés d'un polygone. Théorème de Gauss : Soit n et m deux entiers naturels premiers entre eux. Le polygone à nm côtés est constructible, à la « règle et au compas », si et seulement si les polygones à n côtés et à m côtés sont constructibles. En effet, l'identité de Bézout permet de dire que si m et n sont premiers entre eux, il existe deux entiers relatifs u et v tels que um + vn = 1. On obtient l'angle , sur le cercle unité, en reportant u fois l'angle et v fois l'angle , angles que l'on sait construire. Exemple - construction du polygone régulier à 15 côtés : Il faudra attendre 1796 pour que Gauss démontre que le polygone de 17 côtés était aussi constructible à la règle et au compas. Polygones constructibles Un polygone régulier de n côtés est constructible si cos est un nombre constructible. n est alors une puissance de 2, un nombre premier de Fermat de la forme 1 + 2(2k), un produit de nombres de Fermat ou un produit d'une puissance de 2 par des nombres de Fermat. Pour n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20 … les polygones à n côtés sont constructibles. Pour n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19 … ils ne le sont pas. Voir : solides de Platon Sommaire 2. Polygone régulierUn polygone régulier est un polygone inscrit dans un cercle et dont tous les côtés ont la même longueur et les angles la même mesure. Il peut être convexe ou croisé. Un polygone régulier à n côtés se superpose à lui-même quand on le tourne d'un angle de . Un polygone régulier convexe est composé de (n - 2) triangles. Si on additionne les angles de ces triangles, on obtient la somme des angles intérieurs du polygone. La somme des angles d'un polygone à n côtés est égale à Les rayons d'un polygone inscrit dans un cercle relient ses sommets à son centre. Les apothèmes relient les milieux de ses côtés à son centre. |
Côtés |
Angle au |
Angle |
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3 |
120° |
60° |
||
4 |
90° |
90° |
||
5 |
72° |
108° |
= Φ |
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Hexagone |
6 |
60° |
120° |
côté = rayon du cercle circonscrit |
Heptagone |
7 |
|||
Octogone |
8 |
45° |
135° |
|
Ennéagone |
9 |
40° |
140° |
|
Décagone |
10 |
36° |
144° |
= Φ |
Hendécagone |
11 |
|||
Dodécagone |
12 |
30° |
150° |
|
Pantadécagone |
15 |
24° |
156° |
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n côtés |
n |
5. Pentagone - Construction de Ptolémée.Pour construire un pentagone régulier convexe inscrit dans un cercle à la « règle et au compas » il suffit de savoir construire un angle au centre de dont le cosinus est égal à . Pour un pentagone inscrit dans un cercle de centre O, ayant un sommet A donné on peut effectuer la construction adaptée du procédé de création du rectangle d'or : tracer un cercle (c1) de centre O, de rayon r, passant par A(r, 0). K est le milieu de [OA’], le cercle (c2) de centre K et de rayon KB’ coupe [OA] en U. La longueur du côté du pentagone est égale à B’U. La médiatrice de [OU] coupe le premier cercle (c1) aux points B et E qui sont deux sommets du pentagone. Le cercle de centre B passant par A recoupe (c1) en C. Le symétrique D de C par rapport à (AA’) termine la construction du pentagone. En effet, KB’ = KU = r , d'après la propriété de Pythagore, dans le triangle OKB’ rectangle en O, donc OU = r( - ) = et OI = r. Le point B a pour coordonnées OI = r cos et IB = r sin . |
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Voir : pentagone régulier :
constructions exactes
constructions approchées
Le côté de l'hexagone régulier inscrit dans un cercle est égal au rayon r de ce cercle. Construction de l'hexagone à partir du cercle circonscritPour inscrire un hexagone régulier dans un cercle, il suffit de porter six fois sur la circonférence une ouverture de compas égale au rayon et de joindre les points consécutifs ainsi obtenus. Avec GéoPlan Placer deux points O et A, Le cercle de centre A passant par O coupe le cercle (c) en B et F, Effacer les cercles et tracer les côtés de l'hexagone ABCDEF. Télécharger la figure GeoGebra hexagone.ggb |
Voir : construction d'un hexagone par pliage d'un triangle équilatéral
hexagramme mystique
La longueur du côté est : 2 r sin = ≈ 0,765 r
Voir le calcul du sinus : angle trigonométrie
Octogone inscrit dans un cercle
Tracer deux diamètres [AE] et [CG] perpendiculaires du cercle : ACEG est un carré. Télécharger la figure GeoGebra octogone.ggb |
Octogone inscrit dans un carré
Tracer les diagonales du carré et marquer le centre O du carré, point d'intersection des diagonales. Tracer alternativement les cercles centrés sur chaque sommet, passant par le centre O. En joignant les points d'intersection de ces cercles avec les côtés du triangle, on obtient un octogone régulier. Télécharger la figure GeoGebra octogone2.ggb |
Constructions du pentagone régulier |
Cabri-Géomètre |
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