Un triangle a été effacé. Il n'en reste que certains points (milieux des côtés, pieds des hauteurs…), retrouver le triangle !
SommaireDroites et points remarquables du triangle
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Géométrie du triangleUn triangle a été effacé, il ne reste que trois droites remarquables, le retrouver ! Droites de Simson et de Steiner La géométrie du triangle Problèmes de construction : le triangle rectangle Page no 126, créée le 13/2/2002, | ||
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Voici un certain nombre d'exercices de « résolution de triangle » assez difficiles de 14 à 77 ans. Ces casse-tête géométriques consistent à retrouver un triangle à partir de points ou de droites remarquables. Ils sont particulièrement adaptés aux classes de la quatrième à la seconde. L'utilisation des logiciels Cabri-Géomètre ou GéoPlan est une aide précieuse dans la recherche des solutions. Ainsi, si l'on se donne le triangle médian, il n'est pas difficile de reconstruire le triangle donné dont les côtés sont parallèles à ceux du triangle médian. Les exercices 1 à 3 et 5 sont les plus abordables. Ils ont été réalisés en classe de quatrième en 2001, et avec guère moins de difficultés, en seconde en 2004. Les autres font l'objet du défi. Dans un premier temps, en collège et en seconde, nous ne sommes pas posés le problème de l'existence des solutions. |
Dès la classe de quatrième, les élèves doivent connaître, construire et distinguer les médianes, les hauteurs, les bissectrices et les médiatrices d'un triangle; savoir qu'elles sont concourantes et connaître leur point de concours. L'expression droite remarquable sous-entend assez souvent segment de droite remarquable et on admet des phrases comme : MédianeLes médianes sont les droites joignant les sommets d'un triangle aux milieux des côtés opposés. Les trois médianes sont concourantes au centre de gravité du triangle, situé aux de chaque médiane à partir du sommet correspondant. HauteurLes hauteurs sont les perpendiculaires abaissées d'un sommet sur le côté opposé. BissectriceLa bissectrice d'un angle est la droite qui, passant par le sommet de cet angle, le partage en deux angles de même mesure. MédiatriceLa médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment en son milieu. C'est l'ensemble des points équidistant des extrémités du segment. Triangle isocèleDans un triangle isocèle, les droites remarquables (médiane, hauteur, bissectrice, médiatrice) relatives à la base sont confondues avec l'axe de symétrie du triangle. Triangle équilatéralDans un triangle équilatéral, toutes les droites remarquables (médiane, hauteur, bissectrice, médiatrice) relatives à un même côté sont confondues. Le centre de gravité est confondu avec l'orthocentre et les centres des cercles inscrit et circonscrit. Triangle rectangleDans un triangle rectangle, la longueur de la médiane relative à l'hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse. 1. Centre de gravitéDu triangle ABC, il ne reste que le côté [AB] et le centre de gravité G. |
Tracer le milieu I de [AB]. Placer le point C sur la demi-droite [IG) tel que GC = 2 IG Télécharger la figure GéoPlan mediane1.g2w |
D'un triangle ABC, il ne reste que les points I milieu de [AB], J milieu de [BC] et K milieu de [CA].
Retrouver le triangle ABC.
a. Pour reconstituer le triangle, il suffit de construire de part et d'autre d'un des milieux deux segments parallèles et de même longueur que celui déterminé par les deux autres milieux. On complète en joignant les deux sommets ainsi déterminés aux deux milieux. Télécharger la figure GéoPlan mon_044t.g2w |
Analyse : Supposons que le triangle ABC a été reconstitué : IJK est le triangle médian du triangle ABC ; la médiane AJ coupe [IK] en son milieu A’, BK en B’ milieu de [IJ] et CI en C’. IC’, JA’ et KB’ sont les médianes de IJK et les triangles ABC et IJK ont le même centre de gravité. Synthèse - Pour retrouver le triangle ABC : Télécharger la figure GéoPlan mon_044u.g2w 3. Orthocentrea. Du triangle ABC, il ne reste que le côté [AB] et l'orthocentre H. |
Le cercle de diamètre [AB] coupe (AH) en K et (BH) en J, les triangles AKB et AJB, inscrits dans un demi-cercle, sont rectangles. (AJ) et (BK) se coupent en C. (AK) et (BJ) sont deux hauteurs du triangle ABC qui admet H comme orthocentre. (CH) est la troisième hauteur du triangle. Télécharger la figure GéoPlan hauteur3.g2w |
4. Pieds des hauteursClasse de première L a. Du triangle ABC, il ne reste que les pieds des trois hauteurs P, Q et R. Les hauteurs sont les bissectrices du triangle orthique dont les sommets P, Q et R sont les pieds des hauteurs. Le triangle initial cherché est formé par les centres des cercles exinscrits au triangle PQR. En effet, les hauteurs sont les bissectrices (intérieures) du triangle orthique PQR. Ces bissectrices sont concourantes en H centre du cercle inscrit dans le triangle ABC. (PH), (QH) et (RH) sont les trois hauteurs. Les côtés du triangle cherché, perpendiculaires aux hauteurs, sont donc perpendiculaires aux bissectrices intérieures, ce sont les bissectrices extérieures de PQR. Le triangle solution est ABC dont les sommets sont les centres des cercles exinscrits à PQR. Télécharger la figure GéoPlan hauteur2.g2w b. Construire un triangle connaissant les pieds des hauteurs sur le cercle circonscrit Construire un triangle ABC connaissant les pieds des hauteurs A’, B’, C’ situés sur le cercle circonscrit (c). |
Construction Pour ce genre de problème, on a souvent intérêt à supposer le problème résolu et à trouver les liaisons entre la construction réalisée et les points remarquables de la figure donnée. Si le triangle ABC est une solution, B’ est le symétrique de l'orthocentre H par rapport au côté (AC), A’AC = CAB’ = A’AB’ ; La construction ci-dessus consiste à tracer un triangle A1B1C1 semblable à ABC. Pour cela, placer sur le cercle (c) un point A5 entre C’ et B’ et un point A5 entre C’ et A’. En prenant la moitié des angles inscrits C’A5A’ et C’B5A’ on obtient les angles du triangle cherché, que l'on reporte le long de n'importe quel segment A1B1, ce qui permet de terminer le triangle avec le point C1. Construire le cercle circonscrit (c1) et les hauteurs (A1A2), (B1B2), (C1C2) de A1B1C1 où les pieds A2, B2, C2 sont situés sur le cercle circonscrit. L'homothétie qui transforme (c1) en (c) transforme le triangle A1B1C1 en A3B3C3 et les hauteurs (A1A2), (B1B2), (C1C2) en des hauteurs (A3A4), (B3B4), (C3C4) de A3B3C3, tous les points étant situés sur le cercle (c). La rotation de centre O, centre du cercle (c), qui transforme A4 en A’, transforme les pieds des hauteurs B4 et C4 en B’ et C’. Télécharger la figure GéoPlan hauteur5.g2w 5. Centre du cercle circonscritDu triangle ABC, il ne reste que le côté [AB] et le point O, intersection des bissectrices. |
Tracer le cercle de centre O, tangent à [AB]. Il passe par I projection orthogonale de O sur [AB]. Ce cercle est le cercle inscrit dans le triangle ABC et les deux autres côtés sont tangents en J et K. Pour trouver ces deux points avec précision, tracer les cercles de diamètres [AO] et [BK] qui coupent le cercle inscrit en J et K. Les droites (AJ) et (BK) se coupent en C. (AO), (BO) et (CO) sont effectivement les trois bissectrices du triangle ABC. Télécharger la figure GéoPlan bissect5.g2w |
6. Pied des bissectricesConstruire un triangle ABC connaissant les pieds des bissectrices A’, B’, C’ situés sur le cercle circonscrit. Construction Il suffit de tracer les hauteurs du triangle A’B’C’. Les sommets A, B et C du triangle sont les points d'intersection de ces hauteurs avec le cercle. Preuve Les points A, B et C sont les symétriques de l'orthocentre I de A’B’C’ par rapport aux côtés de ce triangle. B est le symétrique de I par rapport à (A’C’) ; [A’B] est le symétrique de [A’I] ; D'où A’B = A’C ; les arcs correspondants à ces cordes sont égaux. Les angles inscrits BÂA’ et A’ÂC, associésà des arcs de même longueur, sont égaux. (AA’) est la bissectrice de BÂC. On montre, de même, que (BB’) est la deuxième bissectrice. Télécharger la figure GéoPlan bissect7.g2w |
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