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Configurations du plan avec GéoPlan : parallélogrammes, problème d'alignement.

Parallélogrammes en seconde

Sommaire

1. Thalès et parallélogramme
2. Projections orthogonales
3. D'un parallélogramme à l'autre
4. Trisection d'un angle droit !
5. Parallélogramme et bissectrice
6. Parallélogramme avec contraintes
Construire un parallélogramme dont deux sommets sont situés sur deux droites

Collège : parallélogrammes
  Théorème de Varignon
    Parallélogramme inscrit

Point aligné sur une diagonale : parallélogramme de Pappus

Hors programme :

Translation
Translation et alignement

Barycentres et parallélogrammes

 

Page no 64, réalisée le 22/2/2004, mise à jour le 28/10/2009

Retrouver un triangle à partir de droites remarquables

Les droites remarquables du triangle

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 Propriétés

  Voir : parallélogrammes au collège

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 1. Thalès et parallélogramme

Thalès et parallélogrammeABCD est un parallélogramme.

M est un point sur la droite (DC) tel que vect(DM) = x vec(DC).

M’ est le point de la droite (BC) tel que vec(BM') = 1/x vec(BC).

Montrer que les points A, M et M’ sont alignés.

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2. Projections orthogonales

 

 

Projections orthogonales

 

ABCD est un parallélogramme.
I, J, K, L sont les projections orthogonales des sommets sur les diagonales.

Montrer que IJKL est un parallélogramme.

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3. D'un parallélogramme à l'autre

D'un parallélogramme à l'autre

Les points P, Q, R et S sont les points d'intersection des droites perpendiculaires aux diagonales issues des sommets.
Montrer que PQRS est un parallélogramme.

Lorsque ABCD est un rectangle, montrer que PQRS est alors un losange.

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 5. Trisection d'un angle droit !

Trisection d'un angle droitConstruction à la règle au compas.

E et F partagent un segment [AB], de longueur 3, en trois unités.
Le point O complète le triangle équilatéral EFO.
C et D sont les deux autres sommets du rectangle ABCD de centre O.

Montrer que les droites (CA) et (CF) sont les trisectrices de l'angle DCB.

AB = BC = 3 et BC = AD = rac(3).
Vérifier que tan(DCA) et tan(FCB) sont égaux à rac(3)/3.

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Trisection : grands problèmes de la géométrie grecque


 6. Parallélogramme et bissectrice

Parallélogramme et bissectriceRésoudre par une méthode géométrique, dans R,
l'équation 2 |x - 1| - |x - 4| = 0.

AMEC est un parallélogramme. Une droite (d) passant par A coupe les segments [MC] et [CE] respectivement en I et B, et intercepte la droite (ME) en J.

Sachant que AI = 2 et IB = 1, calculer la longueur BJ.

Comme (AM) est parallèle à (BC), les triangles IAM et IBC sont semblables et de rapport de similitude 1/2. Donc, BC = 1/2 AM = 1/2 CE et B est le milieu de [EC].
Dans le triangle JAM, EB = 1/2 AM, la droite (BE) parallèle à (AM) est la droite des milieux : B est le milieu de [AJ] et E le milieu de [MJ].

On admettra que les droites (MJ) et (MC) sont perpendiculaires.
Si F est le milieu de [MA], (BF), joignant les milieux des côtés du parallélogramme AMEC, est parallèle à (ME) ; donc perpendiculaire à (MC).
(MC) diagonale du parallélogramme est une médiane du triangle MBF, elle est aussi une médiatrice, d'où MBF admettant (MC) comme axe de symétrie est un triangle isocèle et MB = MF = 1/2 MA

Comme MA = 2 MB, M est sur (c), cercle d'Apollonius de diamètre [IJ], ensemble des points M tels que ma/mb = 2. Si M est distinct de I et J, les droites (MI) et (MJ) sont les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle AMB.

Sur la droite (d) choisissons le repère (O, B) d'origine O milieu de [IJ]. On a alors les abscisses B(1) et A(4).
Un point M de la droite d'abscisse x est tel que MB = |x - 1| et MA = |x - 4|.

L'intersection du cercle (c) et de la droite (d) est l'ensemble des points de la droite vérifiant ma/mb = 2. C'est l'ensemble des points {I, J} dont les abscisses vérifient l'équation 2 |x - 1| - |x - 4| = 0, soit x = 2 ou x = −2. D'où les points d'abscisses I(2) et J(-2).

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7. Parallélogramme avec contraintes

Parallélogramme avec contraintes - RechercheConstruire un parallélogramme dont deux sommets sont situés sur deux droites

On donne deux points A, B distincts et deux droites (d1), (d2) sécantes, et distinctes de (AB).

Existe-t-il un point C sur (d2) et un point D sur (d1) tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme ?

Analyse

Placer un point D variable sur (d1) et construire le quatrième point C du parallélogramme ABCD.
Déplacer le point D jusqu'à ce que C soit sur la droite (d2).

Parallélogramme avec contraintes - solutionSolution

La trace du lieu du point C permet de réaliser que ce point est situé sur une droite parallèle à (d1).

Il suffit donc de tracer la droite (d’), image de (d1) par la translation de vecteur vect(AB). Les droites (d2) et (d’) sont sécantes en C.

Le point D, image de C par la translation réciproque de vecteur vect(BA), est situé sur (d1)
et vect(BA) = vect(CD) : le parallélogramme ABCD est la solution du problème.

 

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Cercle - Angle inscrit

Construction au compas

Démonstrations géométriques de Pythagore

Théorème de Thalès

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2. Projections orthogonales
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5. Parallélogramme et bissectrice
6. Parallélogramme avec contraintes
    Construire un parallélogramme dont deux sommets sont situés sur deux droites

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