MIAM

Configurations du plan avec GéoPlan : parallélogrammes, problème d'alignement.

Parallélogrammes en seconde

Sommaire

1. Thalès et parallélogramme
2. Projections orthogonales
3. D'un parallélogramme à l'autre
4. Translation et alignement
5. Trisection d'un angle droit !
6. Parallélogramme et bissectrice
7. Parallélogramme avec contraintes
Construire un parallélogramme dont deux sommets sont situés sur deux droites
8. Translation

Page no 64, réalisée le 22/2/2004, mise à jour le 28/10/2009

Collège : parallélogrammes
  Théorème de Varignon
    Parallélogramme inscrit

Point aligné sur une diagonale : parallélogramme de Pappus

GéoPlan en seconde

Configurations fondamentales :
triangles
triangles rectangles, triangles équilatéraux

1S : Barycentres et parallélogrammes

Retrouver un triangle à partir de droites remarquables

Les droites remarquables du triangle

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 Propriétés

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 1. Thalès et parallélogramme

Thalès et parallélogrammeABCD est un parallélogramme.

M est un point sur la droite (DC) tel que vect(DM) = x vec(DC).

M’ est le point de la droite (BC) tel que vec(BM') = 1/x vec(BC).

Montrer que les points A, M et M’ sont alignés.

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Sommaire
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2. Projections orthogonales

 

 

Projections orthogonales

 

ABCD est un parallélogramme.
I, J, K, L sont les projections orthogonales des sommets sur les diagonales.

Montrer que IJKL est un parallélogramme.

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3. D'un parallélogramme à l'autre

D'un parallélogramme à l'autre

Les points P, Q, R et S sont les points d'intersection des droites perpendiculaires aux diagonales issues des sommets.
Montrer que PQRS est un parallélogramme.

Lorsque ABCD est un rectangle, montrer que PQRS est alors un losange.

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 4. Translation, orthocentre et alignement

Translation et alignementABCD est un rectangle. M un point du plan.

C’ est le projeté orthogonal de C sur (AM),
D’ est le projeté orthogonal de D sur (BM),
M’ est le projeté orthogonal de M sur (AB).
Les, droites (CC’) et (DD’) se coupent en I.

Montrer que les points M, M’ et I sont alignés.

Indications

Dans la translation de vecteur vect(CB) :
- la droite (MM’) est globalement invariante,
- (CC’) a pour image la hauteur (BB’), issue de B, du triangle MAB,
- (DD’) a pour image la hauteur (AA’), issue de A, du triangle MAB.
Ces trois hauteurs sont concourantes en H, orthocentre de MAB.

L'image réciproque de H est I, point de concours des trois droites (CC’), (DD’) et (MM’).
Les points M, M’, H et I sont alignés.

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 5. Trisection d'un angle droit !

Trisection d'un angle droitConstruction à la règle au compas.

E et F partagent un segment [AB], de longueur 3, en trois unités.
Le point O complète le triangle équilatéral EFO.
C et D sont les deux autres sommets du rectangle ABCD de centre O.

Montrer que les droites (CA) et (CF) sont les trisectrices de l'angle DCB.

AB = BC = 3 et BC = AD = rac(3).
Vérifier que tan(DCA) et tan(FCB) sont égaux à rac(3)/3.

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Trisection : grands problèmes de la géométrie grecque


 6. Parallélogramme et bissectrice

Parallélogramme et bissectriceRésoudre par une méthode géométrique, dans R,
l'équation 2 |x - 1| - |x - 4| = 0.

AMEC est un parallélogramme. Une droite (d) passant par A coupe les segments [MC] et [CE] respectivement en I et B, et intercepte la droite (ME) en J.

Sachant que AI = 2 et IB = 1, calculer la longueur BJ.

Comme (AM) est parallèle à (BC), les triangles IAM et IBC sont semblables et de rapport de similitude 1/2. Donc, BC = 1/2 AM = 1/2 CE et B est le milieu de [EC].
Dans le triangle JAM, EB = 1/2 AM, la droite (BE) parallèle à (AM) est la droite des milieux : B est le milieu de [AJ] et E le milieu de [MJ].

On admettra que les droites (MJ) et (MC) sont perpendiculaires.
Si F est le milieu de [MA], (BF), joignant les milieux des côtés du parallélogramme AMEC, est parallèle à (ME) ; donc perpendiculaire à (MC).
(MC) diagonale du parallélogramme est une médiane du triangle MBF, elle est aussi une médiatrice, d'où MBF admettant (MC) comme axe de symétrie est un triangle isocèle et MB = MF = 1/2 MA

Comme MA = 2 MB, M est sur (c), cercle d'Apollonius de diamètre [IJ], ensemble des points M tels que ma/mb = 2. Si M est distinct de I et J, les droites (MI) et (MJ) sont les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle AMB.

Sur la droite (d) choisissons le repère (O, B) d'origine O milieu de [IJ]. On a alors les abscisses B(1) et A(4).
Un point M de la droite d'abscisse x est tel que MB = |x - 1| et MA = |x - 4|.

L'intersection du cercle (c) et de la droite (d) est l'ensemble des points de la droite vérifiant ma/mb = 2. C'est l'ensemble des points {I, J} dont les abscisses vérifient l'équation 2 |x - 1| - |x - 4| = 0, soit x = 2 ou x = −2. D'où les points d'abscisses I(2) et J(-2).

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7. Parallélogramme avec contraintes

Parallélogramme avec contraintes - RechercheConstruire un parallélogramme dont deux sommets sont situés sur deux droites

On donne deux points A, B distincts et deux droites (d1), (d2) sécantes, et distinctes de (AB).

Existe-t-il un point C sur (d2) et un point D sur (d1) tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme ?

Analyse

Placer un point D variable sur (d1) et construire le quatrième point C du parallélogramme ABCD.
Déplacer le point D jusqu'à ce que C soit sur la droite (d2).

Parallélogramme avec contraintes - solutionSolution

La trace du lieu du point C permet de réaliser que ce point est situé sur une droite parallèle à (d1).

Il suffit donc de tracer la droite (d’), image de (d1) par la translation de vecteur vect(AB). Les droites (d2) et (d’) sont sécantes en C.

Le point D, image de C par la translation réciproque de vecteur vect(BA), est situé sur (d1)
et vect(BA) = vect(CD) : le parallélogramme ABCD est la solution du problème.

 

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Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

8. Translation

Définition : dire que le point M’ est l'image du point M par la translation qui transforme A en B signifie que le quadrilatère ABM’M est un parallélogramme.

Les segments [AM’] et [BM] ont même milieu.

Si M est sur la droite (AB), ABM’M est un parallélogramme aplati.

Construire l'image d'un segment par une translation

'image d'une droite par une translationApplication : construire l'image d'un segment [MN] par la translation qui transforme A en B.

On construit les points M’ et N’ tels que ABM’M et ABN’N soient deux parallélogrammes.
Pour cela, tracer les milieux I de [BM] et J de [BN].
M’ et N’ sont les symétriques de A par rapport à I et J.

Construire l'image d'une droite par une translation

Placer deux points M et N sur une droite (d). Construire les points M’ et N’ images des points M et N par la translation qui transforme A en B.

La droite (M’N’) est l'image de (d) par la translation.

Ces deux droites sont parallèles.

Indication

I et J sont les centres des parallélogrammes ABM’M et ABN’N.

(IJ), droite des milieux de AM’N’, est parallèle à (M’N’).
(IJ), droite des milieux de BMN, est parallèle à (MN).

Les droites (MN) et (M’N’) parallèles à (IJ) sont parallèles entre elles.

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Exercices de-ci, de-là

GéoPlan
Cercle - Angle inscrit

Construction au compas

Démonstrations géométriques de Pythagore

Théorème de Thalès

Construction du pentagone régulier

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1. Thalès et parallélogramme
2. Projections orthogonales
3. D'un parallélogramme à l'autre
4. Translation et alignement
5. Trisection d'un angle droit !
6. Parallélogramme et bissectrice
7. Parallélogramme avec contraintes
Construire un parallélogramme dont deux sommets sont situés sur deux droites
8. Translation

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