La géométrie du triangle I
Droites remarquables (Céviennes)

Droites concourantes du triangle : céviennes et médiatrices.

Sommaire

I. Droites remarquables

1. Rappel : barycentre de trois points
2. Médianes
3. Bissectrices
4. Hauteurs
5. Médiatrices

Droites de Simson et de Steiner

Géométrie du triangle

II. Points caractéristiques
III. Cercles - Euler - Feuerbach
IV. Lieux géométriques
V. Relations métriques

Exercices : recherche de triangles connaissant des droites remarquables, des pieds de droites remarquables

Construction de triangles en cinquième, au lycée

Page n^o 26, réalisée le 17/11/2002, mise à jour le 23/12/2007

Collège
Triangle

Démonstrations géométriques de Pythagore

GéoPlan en 3^e
Théorème de Thalès

Les problèmes
du BOA

Collège
Le triangle équilatéral

Le triangle
en seconde

I. Droites remarquables dans le triangle

Droites	Point de concours	Cercle	Triangle	Coordonnées barycentriques
Céviennes		Cercle pédal	pédal
Médianes	Centre de gravité	Cercle des neuf points	médian	(1, 1, 1)
Bissectrices	Centre du cercle inscrit	Cercle inscrit, Cercles exinscrits, Cercles d'Apollonius		(a, b, c)
Hauteurs	Orthocentre	Cercle de Taylor	orthique	[tan(Â), tan(B), tan(C)]
Médiatrices	Centre du cercle circonscrit	Cercle circonscrit	tangentiel	[sin(2Â), sin(2B), sin(2C)]

II. Points caractéristiques du triangle

Droites	Point	Cercle	Triangle	Coordonnées barycentriques
Symédianes Droite de Lemoine	Point de Lemoine	Tücker Lemoine	tangentiel	(a², b², c²)
	Points conjugués isogonaux	podaire	podaire	(x ; y ; z) ; (a²/x ; b²/y ; c²/z)
	Point de Gergonne		Gergonne	(tan, tan, tan)
	Point de Nagel		Nagel	(-a+b+c, a-b+c, a+b-c)
	Point de Bevan		Bevan
Droites de Brocard Axe de Brocard	Point de Brocard	Brocard		(, , ) ; (, , )
	Point de Fermat ou de Torricelli	Torricelli	Napoléon
	Point de Vecten

III Cercles remarquables

Droites	Point	Cercle	Triangle
Euler		Euler
	Points de Feuerbach Point d'Apollonius		Feuerbach
Axe de Lemoine	Centres isodynamiques	Apollonius

Cévienne

Dans un triangle, une cévienne est une droite issue d'un sommet (les hauteurs, médianes, bissectrices sont des céviennes).

1. Rappel : barycentre de trois points

Soit (A, α) ; (B, β) et (C, γ) trois points pondérés tels que α + β + γ ≠ 0,
il existe un point unique G tel que : α + β + γ = ;

le point G est appelé barycentre des points pondérés (A, α) ; (B, β) et (C, γ).

Si α + β ≠ 0, α + γ ≠ 0 et β +γ ≠ 0 le théorème d'associativité permet de dire :

si A’ est le barycentre partiel de (B, β) et (C, γ), alors G est le barycentre de (A, α) et (A’, β +γ),
si B’ est le barycentre partiel de (A, α) et (C, γ), alors G est le barycentre de (B, β) et (B’, α + γ),
si C’ est le barycentre partiel de (A, α) et (B, β), alors G est le barycentre de (C, γ) et (C’, α + β) ;

les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes en G.

Coordonnées barycentriques

Soit A, B et C trois points du plan, tous distincts et non alignés.

Théorème de Gergonne (Joseph Gergonne 1771-1859) :
Pour tout point M du plan, il existe un triplet unique (α, β, γ) de nombres réels tels que :
• α + β + γ = 1;
• M est le barycentre des points pondérés (A, α) ; (B, β) et (C, γ).

(α, β, γ) sont les coordonnées barycentriques de M relativement à A, B et C.

Voir : le barycentre

2. Médianes et centre de gravité

de : Seitenhalbierende

Les médianes sont les droites joignant les sommets d'un triangle aux milieux des côtés opposés. Les trois médianes sont concourantes au centre de gravité du triangle, situé aux de chaque médiane à partir du sommet correspondant.

Voir ci-dessous deux démonstrations de cette propriété. Si on admet que les trois médianes sont concourantes il est possible de lire directement la démonstration de droite sachant que dans le triangle BCC₁, G est sur la droite des milieux (A’G) parallèle à (BC₁).

Hexagone aux côtés opposés deux à deux parallèles

Soit G le point d'intersection des médianes [AA’] et [BB’] d'un triangle ABC.

Placer le point A₁ image de B dans la translation de vecteur . = . BGCA₁ est un parallélogramme de centre A’ milieu de [BC]. Les points A, G, A’ et A₁ sont alignés sur la médiane issue de A.

Placer le point B₁ image de A dans la translation de vecteur . = . AGCB₁ est un parallélogramme de centre B’ milieu de [AC]. Les points B, G, B’ et B₁ sont alignés sur la médiane issue de B.

= = . BA₁B₁A est un parallélogramme. Les diagonales [BB₁] et [AA₁] se coupent en leur milieu G.

Placer le point C₁ image de A dans la translation de vecteur . = . AGBC₁ est un parallélogramme de centre C’ milieu de [AB]. Les points C, G, C’ et C₁ sont alignés sur la médiane issue de C.

Dans le parallélogramme BGCA₁ on a = .
D'où = . AC₁A₁C est un parallélogramme. G milieu de la diagonale AA₁ de ce parallélogramme est aussi le milieu CC₁. Le point G est donc sur la médiane (CC’).

Les trois médianes sont concourantes en G centre de gravité du triangle.

Télécharger la figure GéoPlan medianes1.g2w

Somme des vecteurs + +

+ = = 2 (règle du parallélogramme pour l'addition des deux vecteurs et C’ milieu de la diagonale de AGBC₁)

G est le milieu de [CC₁] donc = −
et on a + + = .

G est l'isobarycentre des sommets d'un triangle ABC.

donc + 2 = ;

G est le barycentre de (C, 1) et (C’, 2) :

Le point G est situé aux , à partir de C, de la médiane [CC’].

Télécharger la figure GéoPlan medianes2.g2w

La fonction vectorielle de Leibniz permet d'écrire pour tout point M :
+ + = 3 .

Autres méthodes

Parallélogramme de centre G
et partage en trois de la diagonale d'un parallélogramme :
voir GéoPlan en quatrième

Voir aussi : méthode des aires au collège

Triangle médian

Le triangle A’B’C’, dont les sommets sont les pieds des médianes, est le triangle médian du triangle ABC.

Comme G est au deux tiers des médianes et que GA = 2GA’… les points A, B et C sont les images de A’, B’ et C’ par l'homothétie h de centre G et de rapport -2.

Le triangle médian est l'homothétique du triangle ABC, par l'homothétie par réciproque h^{– 1}, de centre G et de rapport .

Les segments [A’B’], [B’C’] et [C’A’] partagent le triangle ABC en quatre triangles d'aires égales.

Aire et médiane

Une médiane partage un triangle en deux triangles d'aires égales.

Les droites des milieux partagent un triangle en quatre triangles homothétiques d'aires égales.

Les trois médianes d'un triangle partagent celui-ci en six petits triangles d'aires égales.

Les trois triangles GAB, GBC et GAC sont d'aires égales.

Télécharger la figure GéoPlan medianes.g2w
Télécharger la figure Cabri medianes.fig
Télécharger la figure GeoLabo medianes.glb (Logiciel libre de géométrie dynamique : GeoLabo)

Théorèmes de la médiane - Théorème d'Apollonius

Premier théorème de la médiane : calcul avec la médiane [AA’] :
grâce au calcul : + = ( + ) + ( + ) = 2 ,
avec + = ,
on obtient la forme vectorielle du « théorème de la médiane » dans le triangle ABC :

+ = 2 .

Deuxième théorème de la médiane

En géométrie analytique ou avec le produit scalaire, on peut vérifier les formes numériques des « théorèmes de la médiane » :

AB² + AC² = 2AA’² + (formule d'Apollonius de Perge - deuxième théorème de la médiane).

Troisième théorème de la médiane

Avec le produit scalaire : AB² - AC² = ² - ² = ( + ).( - ) = 2 .(+ ) = 2 ..
Soit H, le point projeté orthogonal de A sur (BC). La projection de sur est , d'où . = . = ..

Donc AB² - AC² = 2 ..

D'où = 2 BC × A’H (troisième théorème de la médiane) ;

En effet, le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires est égal à BC × A’H ou à son opposé, d'où la valeur absolue.

Longueur des médianes

Soit ABC un triangle tel que BC = a, AC = b, AB = c et m = AA’ la médiane relative au côté BC, d'après le « deuxième théorème de la médiane » on a :
b² + c² = 2m² + ()²,
d'où m = .

Théorème des trois médianes

a) Démontrer que dans tout triangle, la somme des carrés des médianes est les trois quarts de la somme des carrés des côtés.
b) Que devient cette propriété si on l'applique à un triangle équilatéral ?
c) Et si on l'applique à un triangle rectangle ?

Pieds des médianes : D'un triangle ABC, il ne reste que les points I milieu de [AB], J milieu de [BC] et K milieu de [CA].
Reconstituer le triangle ABC, voir : le triangle, c'est le pied

Voir, les médianes sont concourantes, démonstration : méthode des aires
Cercles d'Apollonius, Point d'Apollonius
Médianes perpendiculaires

Construire un triangle connaissant ses médianes
Barycentre
Symédianes et point de Lemoine : points caractéristiques du triangle
Produit scalaire

3. Bissectrices

Définition

La bissectrice d'un angle est la droite qui, passant par le sommet de cet angle, le partage en deux angles de même mesure.

La bissectrice d'un angle est son axe de symétrie.

Si un point appartient à la bissectrice d'un angle, ce point est équidistant des côtés de cet angle et réciproquement.

Les bissectrices de deux angles supplémentaires adjacents sont perpendiculaires.

Télécharger la figure GéoPlan bissectr.g2w
Télécharger la figure Cabri bissectrices.fig
Télécharger la figure GeoLabo bissectrices.glb

Point de concours des bissectrices d'un triangle

Les trois bissectrices (intérieures) d'un triangle ABC sont concourantes en un même point I, centre du cercle inscrit dans le triangle (tangent intérieurement aux trois côtés du triangle).

Preuve

Soit I le point d'intersection de deux bissectrices issues de A et de B d'un triangle ABC.
I situé sur la bissectrice issue de A est à une distance r des côtés (AB) et (AC).
I situé sur la bissectrice issue de B, à une distance r du côté (BA), est situé à la même distance r de (BC).
I est donc équidistant de (AC) et de (BC) est situé sur la troisième bissectrice issue de C.

Construction à la « règle et au compas », voir : problèmes de construction

Le cercle inscrit est le plus grand cercle que peut contenir ce triangle.
Son centre, le point I, est le barycentre de (A, a) ; (B, b) ; (C, c) avec a = BC, b = AC et c = AB.
Son rayon r est égal à où S désigne l'aire du triangle.

Les points d'intersection des bissectrices avec le cercle circonscrit sont les milieux des arcs déterminés par les sommets : A₂ est le milieu de l'arc BC, B₂ est le milieu de l'arc AC, C₂ est le milieu de l'arc AB.

Voir : angles inscrits

Démonstration

Montrer que est la somme de deux vecteurs de même norme.

D'après la définition du barycentre I et en prenant le point A pour origine on a :
(a+b+c) = b + c .
Les vecteurs b et c ont la même norme bc.
Donc, = + = + . Ces deux vecteurs ont même norme et AB₁IC₁ est un losange : la diagonale [AI] est la bissectrice de l'angle Â.

Formule des aires

Soit I le centre du cercle inscrit dans le triangle et r son rayon. Le triangle ABC est décomposable en trois triangles de sommet I et de même hauteur r.
L'aire du triangle est donc S = ar + br + cr = (a + b + c) × r = p × r, où p désigne le demi-périmètre : p = (a + b + c).

Doc S = pr et r = = .

Avec la formule de l'aire du triangle S = bc sin A, on trouve que le rayon du cercle inscrit est r = = .

Relation d'Euler

Distance entre les centres des cercles inscrit et circonscrits

Si le cercle circonscrit d'un triangle a pour centre O et pour rayon R et le cercle inscrit a pour centre I et pour rayon r, la relation d'Euler permet de calculer le carré de la distance des deux centres :

OI² = R² - 2Rr.

Démonstration : voir la puissance du point I par rapport au cercle circonscrit (c) et un cercle (Γ).

Voir : relations d'Euler

Bissectrices extérieures et cercles exinscrits

Les bissectrices extérieures partagent en deux l'angle bordé par un côté du triangle et le prolongement de l'autre côté.
En un sommet, les bissectrices intérieure et extérieure sont orthogonales.

Deux bissectrices extérieures, associées à deux sommets, et la bissectrice intérieure, associée au troisième sommet, sont concourantes.
Leur point d'intersection situé à égale distance des trois côtés du triangle est le centre d'un cercle exinscrit, tangent aux trois côtés du triangle.

Le point I₁ intersection de la bissectrice intérieure issue de A et des deux bissectrices extérieures issues de B et C est le barycentre de (A, –a) ; (B, b) ; (C, c). I₁ est le centre du cercle (c₁) exinscrit au triangle,
son rayon est r₁ = = = .

Relation d'Euler : OI₁² = R² + 2Rr₁.

Le point I₂ intersection de la bissectrice intérieure issue de B et des deux bissectrices extérieures issues de A et C est le barycentre de (A, a) ; (B, –b) ; (C, c).
I₂ est le centre du cercle (c₂) exinscrit au triangle, son rayon est .

Le point I₃ intersection de la bissectrice intérieure issue de C et des deux bissectrices extérieures issues de A et B est le barycentre de (A, a) ; (B, b) ; (C, – c).
I₃ est le centre du cercle (c₃) exinscrit au triangle, son rayon est .

Le triangle I₁I₂I₃ formé par les centres des trois cercles exinscrits s'appelle le triangle de Bevan de ABC.
Le centre I du cercle inscrit est l'orthocentre du triangle I₁I₂I₃ de Bevan.
Le triangle ABC est le triangle orthique du triangle de Bevan I₁I₂I₃.
Les milieux des côtés du triangle I₁I₂I₃ de Bevan sont situés sur le cercle circonscrit à ABC : voir problèmes d'antan.

L'ensemble des points équidistants des droites (AB), (BC) et (AC) est formé des quatre points I, I₁, I₂ et I₃.

Télécharger la figure GéoPlan bissect5.g2w

Cercles tangents à des droites : voir construction de cercles

Bissectrices intérieure et extérieure

Les bissectrices recoupent le cercle circonscrit aux milieux des arcs déterminés par le côté opposé au sommet de l'angle.

Dans l'exemple ci-contre pour le sommet A du triangle ABC direct,
la bissectrice intérieure (AI) recoupe le cercle circonscrit en A₂ qui est le milieu de l'arc BC (parcouru dans le sens trigonométrique) ;
la bissectrice extérieure (AJ) recoupe le cercle circonscrit en A₁ qui est le milieu de l'autre arc BC, lorsque l'on parcourt le cercle en sens inverse.

Dessin des bissectrices à partir du cercle circonscrit.

Soit ABC un triangle inscrit dans un cercle (c).
Tracer le diamètre [A₁A₂] orthogonal à (BC).
(AA₂) et (AA₁) sont les bissectrices en A des angles, de sommet A, formés par les droites (AB) et (AC).

Théorème du pied de la bissectrice d'un triangle : IB/IC = c/b
La bissectrice intérieure d'un triangle divise le côté opposé en deux segments proportionnels aux deux autres côtés.

Démonstration d'une division harmonique par Thalès

Le pied de la bissectrice sur [BC] est I.
On pose AB = c et AC = b.
La parallèle à (AI) passant par B coupe (AC) en D₁.
Le calcul des angles permet de montrer que le triangle ABD₁ est isocèle.
Donc, AD₁ = AB = c.

La propriété de Thalès dans le triangle BCD₁ montre que :
IB/IC = AD₁/AC = c/b.
I est le barycentre de (B, b) et (C, c).

Bissectrice intérieure et Thalès

Commande GéoPlan
Taper I pour uniquement la bissectrice Intérieure

De même(figure de gauche ci-dessus), si J est le pied de la bissectrice extérieure sur (BC), la parallèle à (AJ) passant par B coupe (AC) en D₂.
Le triangle ABD₂ est isocèle et AD₂ = AB = c.
La propriété de Thalès dans le triangle JAC montre que JB/JC = AD₂/AC = c/b.
J, à l'extérieur de [BC], est le barycentre de (B, -b) et (C, c).

IB/IC = JB/JC = c/b : les quatre points [B, C, I, J] forment une division harmonique de rapport c/b.

Relations métriques

AB × AC = AI² + IB × IC.

AB × AC = JB × JC - AJ².

Télécharger les figures GéoPlan bissect2.g2w ou bissect4.g2w
Télécharger la figure Cabri bissectrices_2.fig
Télécharger la figure GeoLabo bissectrices_2.glb

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Construire un triangle connaissant ses bissectrices
Théorème de Feuerbach
Barycentre
Cercles d'Apollonius
Faisceau harmonique des bissectrices

4. Hauteurs et orthocentre

en : altitude and orthocenter

Quadrangle orthocentrique

Si H est l'orthocentre du triangle ABC,
A est l'orthocentre de BCH, B de ACH, C de ABH.

ABCH est un quadrangle orthocentrique.

Classe de cinquième

Les hauteurs sont les perpendiculaires abaissées d'un sommet sur le côté opposé.
Les trois hauteurs sont concourantes au même point H orthocentre du triangle.

Démonstration

Classe de quatrième

Soit (AA’), (BB’) et (CC’) les hauteurs d'un triangle ABC.

Les parallèles aux côtés du triangle ABC passant par les sommets opposés forment un triangle A₁B₁C₁ où A, B et C sont les milieux des côtés.

(AA’), (BB’) et (CC’) perpendiculaires aux milieux des côtés du triangle A₁B₁C₁ sont les médiatrices de ce triangle. Elles sont concourantes au point H centre du cercle circonscrit à A₁B₁C₁.

Les hauteurs du triangle médian ABC sont donc concourantes en H.
H est l'orthocentre du triangle ABC.

Remarques :

Un triangle est rectangle si et seulement si son orthocentre est un des sommets du triangle
Un triangle est acutangle (dont les trois angles sont aigus) si et seulement si son orthocentre est à l'intérieur du triangle
Un triangle est obtusangle (ayant un angle obtus) si et seulement si son orthocentre est à l'extérieur du triangle

Télécharger la figure GéoPlan hauteurs.g2w sans le triangle A₁B₁C₁,
la figure GéoPlan hauteur4.g2w avec le triangle A₁B₁C₁.
Télécharger la figure Cabri hauteurs.fig
Télécharger la figure GeoLabo hauteurs.glb

Barycentre

L'orthocentre H est le barycentre de [A, tan(Â)] ; [B, tan(B)] ; [C, tan(C)].

Symétriques de l'orthocentre

Les symétriques A₃, B₃ et C₃ de H par rapport aux milieux des côtés du triangle se trouvent sur le cercle circonscrit.

Télécharger la figure GéoPlan hauteur2.g2w
Télécharger la figure GeoGebra sym_orthocentre.ggb

Feuille de travail dynamique avec GeoGebra

Les symétriques A₂, B₂ et C₂ de l'orthocentre, par rapport aux côtés du triangle, se trouvent sur le cercle circonscrit.

Cercles circonscrits

Les symétries par rapport aux côtés du triangle transforment le cercle circonscrit au triangle ABC en des cercles passant par H : les cercles circonscrits au triangle ABC et aux triangles AHB, BHC et CHA sont de même rayon.

Démonstration : droite d'Euler

Les quatre points A, B, C et H jouissent de la propriété que l'un d'entre eux est l'orthocentre du triangle formé par les trois autres. On dit qu'ils forment un groupe orthocentrique.

Voir théorème de Clifford : cercle
Groupe orthocentrique dans l'espace

Télécharger la figure GéoPlan hauteur5.g2w

Démonstration d'Archimède (287-212 av. J.-C.)

Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes au même point H.

ABC est un triangle ayant un angle aigu en A.
Les hauteurs (BB’) et (CC’) se coupent en H.
La droite (AH) coupe [BC] en A’.

Les angles droits BB’C et BC’C sont inscriptibles dans une même demi-circonférence de diamètre [BC].
Pareillement les quatre points B’, A, C’, H sont sur une même circonférence de diamètre [AH]. Dans ce cercle, les angles inscrits HB’C’ et HÂC’ sont égaux.

Dans le demi-cercle les angles inscrits BCC’ et BB’C’ sont aussi égaux ; par suite BÂA’ = BCC’ ; les triangles ABA’ et BCC’, ayant en outre l'angle B en commun, sont semblables.
Le triangle ABA’ est aussi rectangle : l'angle AÂ’B est droit et (AA’) est la troisième hauteur.

Télécharger la figure GéoPlan hauteur3.g2w

Si le triangle ABC est acutangle (dont les trois angles sont aigus), alors le point H est le centre du cercle inscrit dans A’B’C’ et les points A, B, C sont les centres des cercles exinscrits à A’B’C’.
Construire un triangle connaissant ses hauteurs	Sommaire Faire de la géométrie dynamique

5. Médiatrices

en : perpendicular bisector

Télécharger la figure GéoPlan mediatrices.g2w
Télécharger la figure GeoGebra mediatrices.ggb
Télécharger la figure Cabri mediatrices.fig
Télécharger la figure GeoLabo mediatrices.glb

feuille de travail dynamique avec GeoGebra

Accompagnement du programme de 5^e

Dans le cas du concours des médiatrices d'un triangle, c'est la caractérisation de la médiatrice d'un segment à l'aide de l'équidistance qui intervient. Elle est mobilisée deux fois dans un sens et une fois dans l'autre sens.

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment en son milieu. C'est l'ensemble des points équidistant des extrémités du segment.
Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes au même point, centre du cercle circonscrit au triangle.

les points A’, B’ et C’ sont les milieux des côtés du triangle ABC.

Soit O l'intersection des médiatrices de [AB] et de [BC].
Pour la médiatrice (OC’) on a OA = OB et pour (OA’) on a OB = OC.
D'où par transitivité OA = OC ; O appartient à la médiatrice de [AC].
Les trois médiatrices sont concourantes en O, centre du cercle circonscrit.

Remarques :

Un triangle est acutangle si et seulement si les médiatrices se coupent à l'intérieur du triangle
Un triangle est obtusangle si et seulement si les médiatrices se coupent à l'extérieur du triangle

Barycentre

Le point O est le barycentre de [A, sin(2Â)] ; [B, sin(2B)] ; [C, sin(2C)].
Avec la relation vectorielle d'Euler = + + , on trouve aussi que O est le barycentre de [A, tan(B)+tan(C)] ; [B, tan(Â)+tan(C)] ; [C, tan(Â)+tan(B)].