Sommaire

1. Médianes
    Avec une symétrie axiale

2. Hauteurs
    a. Tracer des perpendiculaires
    b. Points cocycliques
    c. Symétriques de l'orthocentre

3. Bissectrices
    a. Changement de point de vue : problème de hauteurs
    b. Centres de cercles exinscrits
    c. Suppression d'une contrainte
    d. Cercle inscrit dans le triangle

4. Médiatrices
    a. Changement de point de vue : problème de hauteurs
    b. Suppression d'une contrainte
    c. Recherche avec GéoPlan
    d. Avec une translation

Géométrie du triangle

Un triangle a été effacé, il ne reste que certains points : le triangle, c'est le pied

La géométrie du triangle (droites remarquables)
Le triangle équilatéral

Problèmes de construction : le triangle rectangle

Démonstrations géométriques de Pythagore
Théorème de Thalès

Page n^o 15, réalisée le 13/2/2002 - mise à jour le 5/11/2008

Faire de
la géométrie dynamique

Construction à la
règle et au compas

Construction du
pentagone régulier

Index
GéoPlan

Étant donné trois droites concourantes, construire un triangle ABC tel que ces droites en soit les médianes, les hauteurs, les bissectrices, les médiatrices.
Les triangles-solutions seront définis à une homothétie près (le centre étant le point de concours des trois droites). Il sera possible de déterminer arbitrairement un élément du triangle, en général un sommet comme le point A.

Voici douze exercices de « résolution de triangle » assez difficiles de 14 à 77 ans. Ces casse-tête géométriques consistent à retrouver un triangle à partir de points ou de droites remarquables. Ils sont particulièrement adaptés aux classes de la quatrième à la seconde. L'utilisation des logiciels Cabri-Géomètre ou GéoPlan est une aide précieuse dans la recherche des solutions.

Les exercices 1 et 2 sont les plus abordables. Ils ont été réalisés en classe de quatrième en 2001, et avec guère moins de difficultés, en seconde en 2004. Les autres font l'objet du défi.

Dans un premier temps, en collège et en seconde, nous ne sommes pas posés le problème de l'existence des solutions. Nous avons choisi trois droites non perpendiculaires, deux à deux, pour éliminer la majorité des cas particuliers et nous avons évité les angles obtus.
Déplacer les droites avec GéoPlan pour une idée sur la justification des solutions.

Tracer trois droites (d₁ ), (d₂ ) et (d₃ ) concourantes au point G.
Construire un triangle ABC tel que les droites (d₁ ), (d₂ ) et (d₃ ) soient les médianes.

Placer un point I, distinct de G, sur la droite (d₃).

La droite (d₁’) symétrique de (d₁) par rapport à I coupe (d₂) en B et (d₃) en Q.

Soit le point A le symétrique de B par rapport à I.

Compléter C symétrique de Q par rapport à G.

Le triangle ABC est une solution.

Remarque : GABQ est un parallélogramme.

Recherche avec GéoPlan : figure mediane2.g2w

Télécharger la figure GéoPlan mediane3.g2w
Télécharger la figure Cabri médianes2.fig

La géométrie du triangle
Reconstituer un triangle à partir du triangle médian, voir : le triangle, c'est le pied

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Tracer trois droites (d₁ ), (d₂ ) et (d₃ ) concourantes au point H et non perpendiculaires deux à deux.
Construire un triangle ABC dont les droites (d₁ ), (d₂ ) et (d₃ ) sont les hauteurs.

Choisir le côté [AB] en plaçant arbitrairement le pied I d'une des hauteurs, distinct de H, sur (d₃).
La perpendiculaire à (d₃) passant par I coupe (d₁) en A et (d₂) en B.

Il revient même, quoi que un peu plus compliqué, de choisir un point A, distinct de H, sur (d₁) et de trouver le côté [AB] en traçant la perpendiculaire à (d₃) passant par A qui la coupe en I et coupe (d₂) en B.

a. Tracer des perpendiculaires

Ayant choisi le côté [AB], il reste à tracer les deux autres côtés (AJ) et (BK) du triangle ABC, perpendiculaires à (d₁) et (d₂), et à trouver le sommet C.

Pour cela, tracer le cercle de diamètre [AB] qui coupe (d₁) en K et (d₂) en J.
Les triangles AKB et AJB, inscrits dans un demi-cercle, sont rectangles. Les droites (AJ) et (BK) se coupent en C.

Les droites (d₁) et (d₂) sont deux hauteurs du triangle ABC qui admet H comme orthocentre. (CH) est la troisième hauteur du triangle. (CH) et (d₃) sont toutes deux perpendiculaires à (AB) passant par H. Elles sont donc confondues et C est bien sur la droite (d₃).

Le triangle ABC ayant pour hauteurs (d₁), (d₂) et (d₃) est une solution de problème.

Télécharger la figure GéoPlan hauteur4.g2w
Télécharger la figure Cabri hauteurs.fig

La géométrie du triangle
Reconstituez un triangle à partir des pieds des hauteurs : le triangle, c'est le pied

Placer un point quelconque A, distinct de H, sur la droite (d₁),

le cercle de diamètre [HA] coupe (d₂) et (d₃) en K et I.

La droite (AI) coupe (d₂) en B et (AK) coupe (d₃) en C.

Le triangle ABC est solution.

Justification

Les points I, K, B et C existent, car les droites données ne sont pas deux à deux perpendiculaires.

Télécharger la figure GéoPlan hauteur6.g2w

c. Symétriques de l'orthocentre

Comme pour le premier exercice, choisir le côté [AB] en plaçant arbitrairement le pied I d'une des hauteurs, distinct de H, sur (d₃). La perpendiculaire à (d₃) passant par I coupe (d₁) en A et (d₂) en B.

Les symétriques de l'orthocentre, par rapport à chacun des côtés du triangle, se trouvent sur le cercle circonscrit au triangle.

Soit H’ le symétrique de H par rapport au côté (AB).
Le cercle (c), circonscrit au triangle ABH’ recoupe (d₃) en C.

Le triangle ABC convient.

Preuve

Montrons que (d₂) est perpendiculaire à (AC).

Soit K le point d'intersection de (d₂) et (AC).
Étudions les triangles BIH et CKH. Leurs angles en H sont égaux comme opposés par le sommet.
Par symétrie par rapport à (BA), l'angle IBH est égal à IBH’.
Les angles ABH’ et ACH’ inscrits dans le cercle (c) sont égaux, car ils interceptent le même arc AH’.

Donc IBH = HCK. Les triangles BIH et CKH ont les mêmes angles. Le triangle BIK est rectangle en I, le triangle semblable CKH est rectangle en K et
CKH = 90°. (d₂) est une hauteur et H est l'orthocentre du triangle ABC. (AH) est la troisième hauteur.

Télécharger la figure GéoPlan hauteur7.g2w

Tracer trois droites (d₁ ), (d₂ ) et (d₃ ) concourantes au point I et non perpendiculaires deux à deux.
Construire un triangle ABC dont les droites (d₁ ), (d₂ ) et (d₃ ) sont les bissectrices.

a. Changement de point de vue : problème de hauteurs

Nous ramenons au problème : construire un triangle PQR dont les droites (d₁ ), (d₂ ) et (d₃ ) sont les hauteurs.

Avec la première méthode du chapitre 2, placer un point A, distinct de I, sur la droite
(d₃). La perpendiculaire à (d₃) passant par A coupe (d₁) en P et (d₂) en Q.
Pour trouver le point R, tracer le cercle de diamètre [PQ] qui coupe (d₁) en B et (d₂) en C, les triangles PBQ et PCQ, inscrits dans un demi-cercle, sont rectangles. (QB) et (PC) se coupent en R. (d₁) et (d₂) sont deux hauteurs du triangle PQR qui admet I comme orthocentre. (AI) est la troisième hauteur du triangle PQR. (AI) et (d₃) sont toutes deux perpendiculaires à (PQ) passant par I. Elles sont donc confondues et R est sur la droite (d₃).

Le triangle ABC est le triangle orthique de PQR. Les hauteurs (d₁), (d₂) et (d₃) de PQR sont les bissectrices du triangle orthique ABC.
Le triangle ABC est une solution de problème.

Télécharger la figure GéoPlan bissect2.g2w

b. Centres de cercles exinscrits

Remarque :

Dans la figure ci-dessus, le point I est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC, P, Q et R y sont les centres des cercles exinscrits.
Les droites (PA) et (PC) sont perpendiculaires aux bissectrices (d₂) et (d₃).
Les points I, A, C et P sont cocycliques, sur le cercle de diamètre [IP].

On en déduit une deuxième méthode de construction :

Placer un point quelconque A, distinct de I, sur (d₃).
La médiatrice de [IA] coupe (d₁) en O et (d₂) en O’.

Le cercle de centre O, passant par A et I, recoupe (d₂) en C (et (d₁) en P).

On construit de même le point B, intersection de (d₂) et du cercle de centre O’, passant par A et I.

Télécharger la figure GéoPlan bissect3.g2w

c. Suppression d'une contrainte : recherche avec GéoPlan du lieu du point C lorsque B varie.

D'après Jean-Jacques Dahan - Plot n^o 101-102

Avec GéoPlan, à partir de deux points A sur (d₁) et B sur (d₂), tracer le triangle ABC ayant (d₁) et (d₂) comme bissectrices.
Il suffit de tracer les droites symétriques de (AB) par rapport à (d₁) et (d₂). C est le point d'intersection de ces deux bissectrices.

En général, le point C n'est pas sur (d₃). En déplaçant le point B on peut trouver une position amenant le point C sur (d₃).

Cherchons cette position en affichant la trace du point C, il semble que le lieu soit un arc de cercle passant par I.

Une analyse plus précise permet de conjecturer que l'arc est contenu dans le cercle passant par A et I, dont le centre O est situé dur (d₂).

Il suffit donc de trouver le deuxième point C’ d'intersection du cercle et de (d₃) et de trouver le triangle solution AB’C’ où B’ est l'intersection de (d₂) et la droite symétrique de (AC’) par rapport à (d₁).

Télécharger la figure GéoPlan bissect_a.g2w

Tracer un cercle (c₁) et choisir un point J sur ce cercle. La tangente en J à ce cercle coupe, par exemple, (d₁) en A et (d₂) en B.
Les deux autres tangentes au cercle, issues respectivement de A et B, tangentes en L et K, se coupent en C. Le cercle (c₁) est inscrit dans le triangle ABC.

En général, le point C n'est pas sur (d₃).
La droite (IA) est aussi la bissectrice de l'angle JÎL.
De même, la droite (IB) est la bissectrice de l'angle JÎK.
Donc, la somme des angles JÎL+JÎK est le double de l'angle AÎB.
L'angle supplémentaire KÎL est constant et lorsque J varie les triangles rectangles CIL et CIK restent constants.

Donc, le point C, situé à une distance fixe de I, est sur un cercle (c₂) de centre I.

Il suffit de prendre C à l'intersection de ce cercle (c₂) et de (d₃) pour obtenir une solution de ce problème.

Télécharger la figure GéoPlan bissect6.g2w

La géométrie du triangle
Reconstituez un triangle à partir des pieds des bissectrices situés sur le cercle circonscrit : le triangle, c'est le pied
Construction à la « règle et au compas » : problèmes de construction

Tracer trois droites (d₁ ), (d₂ ) et (d₃ ) concourantes au point O et non perpendiculaires deux à deux.
Construire un triangle ABC dont les droites (d₁ ), (d₂ ) et (d₃ ) sont les médiatrices.

a. Changement de point de vue : problème de hauteurs

Nous ramenons au problème : construire un triangle IJK dont les droites (d₁ ), (d₂ ) et (d₃ ) sont les hauteurs.

Les médiatrices d'un triangle ABC sont les hauteurs du triangle médian IJK. Cette propriété permet de trouver une démonstration au niveau de la classe de quatrième.

À partir d'un point I arbitraire sur (d₁), tracer comme dans l'exercice 2, le triangle IJK, ayant pour hauteurs les droites (d₁), (d₂) et (d₃).
Le triangle ABC s'obtient en traçant les parallèles aux côtés du triangle IJK, passant par les sommets opposés : la droite (AB) est la parallèle à (IJ) passant par K…
En étudiant les parallélogrammes AKIJ et KBIJ, on montre que AK = IJ et IJ = BK, donc que K est le milieu de [AB], (d₃) perpendiculaires à [IJ] l'est aussi à [AB] ; c'est la médiatrice de [AB].
La deuxième propriété des milieux permet de dire que I et J sont les milieux de [BC] et de [AC] :
on en déduit que les hauteurs de IJK sont les médiatrices du triangle ABC.

Télécharger la figure GéoPlan mediat_a.g2w
Télécharger la figure Cabri mediatrices_a.fig

À partir de la classe de troisième.

En s'affranchissant de la contrainte pour (d₁), sur un cercle fixe (c) de centre O, placer au hasard un point A puis tracer les points B et C symétriques de A par rapport respectivement à (d₃) et (d₂). Le triangle ABC est inscrit dans (c) et a pour médiatrices (d₂) et (d₃).

Soit I le milieu I de [BC]. La médiatrice (OI) de [BC] coupe le cercle (c) en un point M, situé sur la demi-droite [OI). En général cette médiatrice est distincte de la droite (d₁), qui coupe le cercle (c) en P et Q.

En déplaçant le point A, on s'aperçoit que la longueur BC est constante.
En effet, comme angles ayant leurs côtés perpendiculaires, l'angle BÂC, égal à l'angle de droites (d₂, d₃), est constant. Soit α cet angle.
L'arc BC, intercepté par cet angle, est un invariant de la construction et la longueur du segment [BC] est constante.
On en déduit que, l'arc moitié BM est également constant.
L'angle au centre (OC, OB) vaut 2α, l'angle au centre (OM, OB) vaut α.

Comme BC est constant, IB l'est également. Le triangle rectangle OIB, d'angle aigu α, est invariant et la longueur OI est constante. Le milieu I est situé sur un cercle fixe (c’) de centre O.

On appelle J et K les points où la droite (d₁) coupe le cercle (c’).

Cette figure nous donne plusieurs axes pour une recherche, que nous ne justifierons pas :

Avec GéoPlan déplacer A pour que M soit sur (d₁) et observer la figure.
Nous obtenons deux triangles-solutions en faisant tourner A et le triangle ABC pour que M soit en P ou soit en Q.

Recherche avec GéoPlan

M en P

Report d'angle

Une construction en reportant l'angle des droites (d₂, d₃) de part et d'autre de (d₁) :

La longueur MB est constante et égal à RS, où R et S sont les intersections des médiatrices (d₂) et (d₃) avec le cercle (c).

Avec le compas, reporter la longueur RS en P : le cercle de centre P et de rayon RS coupe le cercle (c) en B et C.
Le point A, symétrique de B par rapport à (d₃), achève la construction du triangle ABC, solution du problème.

Justification (composition de transformations) : la rotation r de centre O, d'angle α qui transforme R en S, transforme C en P et P en B. Les points B et C sont symétriques par rapport à (d₁).
B est l'image de C dans la rotation de centre O, d'angle 2α. Cette rotation est la composé s₃ o s₂ de la symétrie axiale par rapport à (d₂), suivie de la symétrie par rapport à (d₃) : B = s₃ o s₂ (C).
Par construction A symétrique de C par rapport à (d₂) s'écrit C = s₂ (A).
En composant B = s₃ o s₂ (s₂ (A)) = s₃ (A) car s₂o s₂ est l'identité. B est symétrique de A par rapport à (d₃). (d₃) est bien la troisième médiatrice du triangle ABC

Pied d'une médiatrice

Une autre construction en traçant la tangente en J à (c’). Cette tangente coupe le cercle (c) en B et C.
Le point A, symétrique de C, termine la construction d'une solution.

Justification : l'angle au centre (OC, OB) est le double de l'angle inscrit (AC, AB) égal à α.
(d₁) est la médiatrice de [CB] et la rotation de centre O, d'angle 2α transforme C en B. On se retrouve dans les conditions de la justification précédente.

M en Q

Report d'angle

Le cercle de centre Q coupe le cercle (c) en B et C.
Terminer avec le point A symétrique de B par rapport à (d₃).

Pied d'une médiatrice

Une dernière construction en traçant la tangente en K à (c’). Cette tangente coupe le cercle (c) en B et C.

Commandes GéoPlan

Déplacer le point A,
taper les touches P ou Q pour les deux solutions.

Télécharger la figure GéoPlan mediat_b.g2w
Télécharger la figure Cabri mediatrices_b.fig

La géométrie du triangle

Activité B2i

Domaine B2i

Item collège validable

Droites remarquables en 4^ème

1 – S'approprier un environnement informatique de travail.

1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail.

Le triangle rectangle

GéoPlan
Problèmes de construction

GéoPlan
Constructions géométriques

Accompagnement des programmes de 3^e

Sommaire

1. Médianes
    Avec une symétrie axiale

2. Hauteurs
    a. Tracer des perpendiculaires
    b. Points cocycliques
    c. Symétriques de l'orthocentre

3. Bissectrices
    a. Changement de point de vue : problème de hauteurs
    b. Centres de cercles exinscrits
    c. Suppression d'une contrainte
    d. Cercle inscrit dans le triangle

4. Médiatrices
    a. Changement de point de vue : problème de hauteurs
    b. Suppression d'une contrainte
    c. Recherche avec GéoPlan
    d. Avec une translation

 Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec la version ActiveX de GéoPlan

Recherche de triangles connaissant les pieds de droites remarquables

Géométrie du triangle

I. Droites remarquables
II. Points caractéristiques
III. Cercles - Euler - Feuerbach
IV. Lieux géométriques
V. Relations métriques

Constructions de triangles en cinquième, au lycée

Le triangle en seconde,
le triangle au collège

Faire de la géométrie dynamique

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