Droite de Simson Dans un triangle ABC (non plat), soit M un point du plan et I, J et K les projetés orthogonaux de M sur les droites (AB), (BC) et (AC).
Le point M est sur le cercle circonscrit au triangle si et seulement si I, J et K sont alignés.
Dans ce cas, la droite portant les points I, J et K s'appelle la droite de Simson associée au point M.

Cette droite est aussi qualifiée de droite de Wallace du point M.

Théorème : pour que quatre points soient cocycliques, il faut et il suffit que les projections orthogonales de l'un d'eux sur les côtés du triangle déterminé par les trois autres soient trois points alignés.

Théorème de Steiner : « L'enveloppe des droites de Simson d'un triangle est une deltoïde. »

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2. Droite de Steiner

Droite de Steiner Dans un triangle ABC (non plat), soit M un point du plan et I’, J’ et K’ les symétriques de M par rapport aux droites (AB), (BC) et (AC). Alors M est sur le cercle circonscrit au triangle si et seulement si les points I’, J’ et K’ sont alignés.

Dans ce cas, la droite portant les points I’, J’ et K’ s'appelle la droite de Steiner associée au point M.

L'orthocentre H du triangle est situé sur la droite de Steiner.

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