Figures géométriques et concept de limiteCourbe de poursuite C'est Léonard de Vinci qui étudia le premier les problèmes de poursuite. Ce sont des problèmes idéaux pour les ordinateurs, qui se décrivent facilement à l'aide d'algorithmes simples. Problème Ce problème important en balistique pour l'étude de la poursuite de missiles a été étudié au XIXème siècle et nous allons le simuler avec GéoPlan. Situation Figures itératives avec GéoPlanCommentaires sur la réalisation Commande GéoPlan Faire de la géométrie dynamique Figures itératives : carrés
Carré : télécharger la figure GéoPlan chien4_1.g2w CalculsAssocions à ce problème la suite a des mesures des côtés des carrés an = AnBn. Choisissons comme unité de longueur A0B0, le côté du premier carré, soit a0 = 1. Cas particulier k =Dans le triangle rectangle A1B0B1 d'après la propriété de Pythagore : a1 = A1B1 = ,
a2 = A2B2 = . Les aires des carrés sont s0 = 1, s1 = , s2 = … ; (sn) est une suite géométrique de premier terme s0 = 1 et de raison . Le chien situé en A parcourt les longueurs b0 = A0A1 = , b1 = A1A2 = , b2 = A2A3 = … La trajectoire parcourue par le chien A est la ligne polygonale A0A1A2A3 … An-1An. Elle a pour longueur : Comme λ est compris entre 0 et 1, lorsque n tend vers +∞, λn tend vers 0, la limite est égale à : Cas généralDans le triangle rectangle A1B0B1, d'après la propriété de Pythagore, on a : La suite (an) des côtés des carrés est une suite géométrique de premier terme a0 = 1 La suite (sn) des aires des carrés est une suite géométrique de premier terme s0 = 1 et de raison 1 - 2k + 2k2. La ligne polygonale A0A1A2A3 … An-1An parcourue par le chien
A a pour longueur tn = b0 + b1 + b2 + … + bn-1
somme des n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme k et de raison λ = . Comme λ est compris entre 0 et 1, lorsque n tend vers + ∞, λn tend vers 0, la limite est égale à : Approximation de lkLe chemin idéal où le chien modifie sa trajectoire à tout instant correspond au cas où k tend vers 0. Pour calculer la limite de lk lorsque k tend vers 0, nous connaissons en 1S, lorsque x est « petit », les approximations affines : Ici nous devons développer la racine à l'ordre 2, avec par exemple sur la TI-92 la fonction taylor(√(1+x),x,2), Donc, lk = ≈ ≈ ≈ ≈ 1 + Lorsque k tend vers 0, a pour limite 0, lk
tend vers 1. La longueur d'une trajectoire est égale au côté du carré. Encadrement de lkPour démontrer, utilisons l'encadrement 1 - k < < 1 - k + k2. On a (1 - k + k2)2 = 1 - 2k + 3k2 - 2k3 + k4 et en élevant au carré la double inégalité : 1 - 2k + k2 < 1 - 2k + 2k2 < 1 - 2k + 2k2 + k2(1-k)2. Les différences entre les termes sont les nombres positifs k2 et k2(1-k)2. Ces inégalités sont bien vérifiées. d'où k <1 - < k - k2 et 1 < < . Donc, 1 < lk < . Si 0 < k < alors < 1 + 2k. 1 < lk < 1 + 2k, lorsque k tend vers 0, 1 + 2k a pour limite 1 et d'après le théorème des gendarmes lk tend vers 1. La longueur d'une trajectoire est bien égale au côté du carré. Faire de la géométrie dynamique Figures itératives : triangles
Triangle : télécharger la figure GéoPlan chien3_1.g2w Faire de la géométrie dynamique Carrés emboîtésAutre forme d'après la brochure d'accompagnement des programmes de 1S - page 47 (CNDP) : la suite obtenue n'est ni arithmétique, ni géométrique, une formule explicite ne peut se conjecturer facilement et la limite n'est pas nulle. À chaque étape le déplacement la longueur parcourue sur le côté du carré est d'une unité. On part d'un carré A0B0C0D0 de côté 10 unités. Sur chaque côté, en tournant dans le même sens, on place un point situé à la distance 1 de chaque sommet du carré. On obtient le carré A1B1C1D1, et on itére… Télécharger la figure GéoPlan car_em_1.g2w On obtient des carrés de plus en plus petits, mais on a l'impression que cela s'arrête. Nous admettrons que tous les quadrilatères sont des carrés. Soit un la longueur du côté du carré AnBnCnDn avec u0 = 10. Voici les calculs effectués avec un tableur :
On remarque que pour GéoPlan les résultats se stabilisent à partir de n = 12 : l'affichage de An+1 est confondu avec Bn. Le tableur affiche la valeur approchée 1 à partir de n = 15. Les chiens ne se rattrapent pas, mais tournent sur les bords de carrés de côtés de longueurs voisinent de 1. Mais on peut démontrer que pour tout n, un ≥ 1, et montrer, par l'absurde, que un ≠ 1, donc un > 1. Pour montrer que la suite u est convergente vers l = 1 solution de l'équation : v est une suite décroissante dont tous les termes sont strictement positifs. Laisser donc courir vos chiensD'après le jeune Archimède no 5 Un chien a l'habitude de courir avec son maître.
Commande GéoPlan : cliquer dans une des figures et taper sur la touche S pour le bond suivant.
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