Problèmes de construction
« à la règle et au compas »

Constructions géométriques au collège avec GéoPlan : triangles, carrés, trapèzes, cercles, tangentes…

Les translations ne sont plus aux programmes 2009 du collège

Sommaire

Construction à la règle et au compas

Constructions géométriques
au collège

Problèmes de construction en 1L

Index
GéoPlan

Les problèmes de construction

Accompagnement des programmes de 5^ème - 4^ème

Le tracé est une chose, sa description raisonnée en est une autre. Les élèves sont amenés à mettre en œuvre des définitions ou des propriétés caractéristiques de figures géométriques et des propriétés d'une transformation qui agit sur ces figures. L'intérêt d'une construction porte plus sur la procédure utilisée que sur l'objet obtenu. La justification qui l'accompagne est une occasion de raisonnement. L'existence d'une solution dans l'un ou l'autre problème de construction peut se poser sans que, pour autant, elle soit soulevée de façon systématique et formalisée. En outre, l'examen d'une figure géométrique peut conduire à un inventaire (non nécessairement exhaustif) de ses propriétés, puis à un choix de certaines d'entre elles en vue d'une construction. Ces propriétés retenues jouent alors le rôle d'hypothèses, les autres de conclusions.
Une telle démarche contribue à la compréhension du statut d'un énoncé dans une démonstration.

1. Parallélogramme

Construire un parallélogramme ABCD connaissant les longueurs AB = a, BC = b de deux côtés consécutifs
et la longueur AC = d d'une diagonale.

Construire un triangle ABC et compléter le parallélogramme avec le quatrième point D.

Placer un point A,
sur le cercle de centre A et de rayon a, placer un point B.

Tracer les cercles (c₁) de centre A, de rayon d et (c₂) de centre B de rayon b.

Si les cercles (c₁) et (c₂) sont sécants en C et C’, choisir C.

Compléter avec le point D : ici en continuant avec le compas, avec un des points d'intersection des cercles de centres A et C; de rayons b et a.

Il est aussi possible d'utiliser la symétrie par rapport au milieu de [AC] ou encore, en seconde, la translation de vecteur .

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2. Rectangle

Construire un rectangle ABCD connaissant la longueur AB = a d'un côté et de la diagonale AC = c.

Indications

Placer un point A sur une droite (d),
Le cercle de centre A et de rayon a rencontre (d) en B et B’.

Si c > a les cercles de centre B et B’ et de rayon c permette de construire la médiatrice (DD’) de [BB’].

Lorsque le point D existe, l'angle BÂD est droit.

Compléter le rectangle par le point C à l'aide, par exemple, de la translation de vecteur .

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Faire de la géométrie dynamique

3. Construction d'un trapèze

Construire un trapèze connaissant les longueurs des quatre côtés

Construction d'un trapèze de bases b et b’ et de côtés a et c :
AB = b = 6.
AD = a = 2,5 ; D est sur le cercle c₁ de centre A et de rayon a.
BC = c = 3,5 ; C est sur le cercle c₂ de centre B et de rayon c.
CD = b’ = 3 ; placer le point E sur [AB] tel que AE = b’.
Le point C est aussi sur le cercle c₃ de centre E et de rayon a.
C est donc un des points d'intersection de c₂ et de c₃.
D est le quatrième point du parallélogramme AECD, image du point C par la translation de vecteur .

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4. Construire un triangle connaissant un angle, un côté adjacent et la somme des deux autres

Trouver un triangle ABC connaissant l'angle BCA, la longueur c du côté AB et la somme d des côtés AC + BC.

– l'angle BCA est donné par BAx. Avec GéoPlan, déplacer le « point noté x » pour modifier cet angle ;
– la longueur c du côté adjacent AB est donnée : le point B variable sur la droite horizontale passant par A permet de faire varier cette longueur AB ;
– la somme des côtés AC + BC est donnée par d, d > c. Avec GéoPlan, déplacer le « point d » pour modifier ce nombre.

Le cercle de centre A et de rayon d rencontre la demi-droite [Ax) en C’.
La médiatrice de [BC’] rencontre [Ax) en C.
Le triangle ABC est solution.

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Voir aussi : construire un triangle connaissant deux côtés et l'angle compris entre ces deux côtés

Voir : construire un triangle rectangle connaissant l'hypoténuse c et la somme r des deux autres côtés de l'angle droit.

5. Construire un triangle connaissant un angle, la somme des côtés adjacents et le côté opposé

Trouver un triangle ABC tel que :
- le côté AB soit donné : le point B variable sur la droite horizontale passant par A permet de modifier la longueur AB ;
- la somme des côtés AC + BC soit donnée par d, avec GéoPlan déplacer le « point d » pour faire varier ce nombre ;
- et l'angle ACB soit égal à l'angle donné xÎy où (Ix) est parallèle à (AB). Avec GéoPlan déplacer le « point y » pour modifier cet angle.

Le point C se trouve sur l'arc capable qui « voit » le segment [AB] sous un angle égal à xÎy. Le centre J de cet arc se trouve à l'intersection de la médiatrice de [AB] et de la perpendiculaire à (Iy) passant par A. En effet, l'angle AOJ est égal à xÎy, c'est la moitié de l'angle au centre AJB.

Le cercle de centre A et de rayon d recoupe la droite (AC) en C’.

La somme AC + BC est égale à AC₁ avec le point C₁ sur la droite (AC) tel que CC₁ = BC. Le triangle BCC₁ est isocèle ; les angles CBC₁ et BC₁C sont égaux, la somme des angles est CBC₁ + BC₁C + C₁CB = 180°, donc 2 BC₁C + C₁CB = 180°.
De l'angle plat ACB + BCC₁ = 180° on en déduit que ACB = 2 BC₁C = 2 AC₁B = xÎy.

C₁ est sur l'arc capable de centre M qui « voit » [AB] sous un angle égal à xÎy/2 ;
en effet : le point d'intersection M de la médiatrice de [AB] avec le cercle de centre J correspond à un angle inscrit AMB égal à xÎy.
AMB est l'angle au centre associé à l'angle inscrit AC₁B. La médiatrice de [BC₁] passe par M.

Une solution se trouve lorsque les points C’ et C₁ sont confondus à l'intersection du cercle de centre A et de rayon d et du cercle de centre M passant par A et B.
À partir d'une solution, on trouve les trois autres par symétries par rapport à la droite (AB) ou à la médiatrice de [AB].

Déplacer C pour une recherche avec GéoPlan.

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Une des quatre solutions.

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Technique GéoPlan

Pour tracer les deux solutions, correspondant aux points d'intersection C₁ ou C₂, des deux cercles utiliser des commandes d'affectations directes.

Réaliser la figure avec un point libre C’ :
Par simple appui sur la touche 1 l'affectation directe permet de donner la valeur de l'objet C₁ à l'objet libre C’ (point de même genre).
Cette affectation est provisoire puisque la variable C’ reste libre.
Par appui sur la touche 2 une autre affectation directe permet de donner la valeur du point C₂ au point libre C’.

6. Construire un triangle connaissant deux sommets et le centre de gravité

Du triangle ABC, il ne reste que le côté [AB] et le centre de gravité G.
Construire le point C à la « règle et au compas ». Expliquer la construction.

Tracer le milieu I de [AB].

Placer le point C sur la demi-droite [IG) tel que GC = 2 IG
(au lycée on dira que C est l'image de I par l'homothétie de centre G et de rapport -2).

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Pieds des médianes : D'un triangle ABC, il ne reste que les points I milieu de [AB], J milieu de [BC] et K milieu de [CA]. Reconstituer le triangle ABC, voir : le triangle, c'est le pied
7. Construire un cercle passant par trois points	Paragraphe repris de la géométrie du triangle

Accompagnement du programme de 5^e

Dans le cas du concours des médiatrices d'un triangle, c'est la caractérisation de la médiatrice d'un segment à l'aide de l'équidistance qui intervient. Elle est mobilisée deux fois dans un sens et une fois dans l'autre sens.

Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes au même point,
centre du cercle circonscrit au triangle.

Les points A’, B’ et C’ sont les milieux des côtés du triangle ABC.

Soit O l'intersection des médiatrices de [AB] et de [BC].
Pour la médiatrice (OC’) on a OA = OB et pour (OA’) on a OB = OC.
D'où par transitivité OA = OC ; O appartient à la médiatrice de [AC].
Les trois médiatrices sont concourantes en O, centre du cercle circonscrit.

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feuille de travail dynamique avec GeoGebra

8. Construire un cercle tangent à trois cercles de même rayon

Soit trois cercles c₁(O₁, r) ; c₂(O₂, r) et c₃(O₃, r), de même rayon.

Construire le point O intersection des médiatrices du triangle O₁O₂O₃.
Le cercle (c₄) de centre O circonscrit au triangle O₁O₂O₃ a pour rayon OO₁ = r₄.

Le cercle de centre O et de rayon r + r₄ est tangent à ces trois cercles et les contient tous les trois.

Si O est à l'extérieur des trois cercles, alors r₄ > r. Le cercle de centre O et de rayon r₄ - r est tangent à ces trois cercles, à l'extérieur de tous les trois.

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9. Construire un cercle de rayon donné, tangent à deux cercles donnés

Soit deux cercles c₁(O₁, r₁) et c₂(O₂, r₂).

Un cercle (c) de rayon r est tangent extérieurement à (c₁) si son centre est situé à une distance r + r₁ de O₁,
il est tangent intérieurement à (c₁) et (c) est à l'intérieur de (c₁) si r₁ > r et si son centre est situé à une distance r₁ - r de O₁,
enfin (c₁) est à l'intérieur de (c) si r > r₁ et le centre de (c) est situé à une distance r - r₁ de O₁.
De même, le cercle (c) est tangent à (c₂) si son centre est situé à une distance de O₂ égale, selon les cas, à r + r₂, r - r₂ ou r₂ - r.
Lorsque le problème admet une solution (c), le cercle (c’) symétrique par rapport à la ligne des centres (O₁O₂) s'en déduit immédiatement.
On trouvera 0, 2, 4, 6 ou 8 solutions illustrées par les exemples ci-dessous :

Cercle de rayon donné tangent à deux cercles - cas 1

(c) tangent extérieurement à (c₁) et (c₂). Son centre A ou A’ est à l'intersection des cercles de centre O₁, de rayon r + r₁ et de centre O₂, de rayon r + r₂.

Cercle de rayon donné tangent à deux cercles - cas 2

(c) tangent intérieurement à (c₁) et (c₂). Son centre B ou B’ est ici à l'intersection du cercle de centre O₁, de rayon r - r₁ et du cercle de centre O₂, de rayon r - r₂.

Cercle de rayon donné tangent à deux cercles

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Cercle passant par un point tangent à deux cercles : voir construction de cercles

10. Construire un cercle de rayon donné, tangent à deux droites données

On donne deux droites (d₁ ), (d₂ ) sécantes, construire les cercles de rayon donné, tangents à ces deux droites.

Indications

Le rayon r étant donné, construire les droites parallèles à (d₁ ) et (d₂ ) situées à une distance r de ces deux droites.

Les parallèles construites forment un losange de sommets O, O₁, O₂, O₃.

Les quatre cercles de rayon r, centrés aux sommets du losange, sont les solutions du problème.

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11. Construire un cercle de rayon donné, tangent à une droite et à un cercle donnés

On donne une droite (d) et un cercle (Γ), construire les cercles de rayon donné, tangents à cette droite et à ce cercle.

Remarque

Le cercle (Γ) ayant pour centre I et pour rayon R, un cercle (c) de centre O et de rayon r est tangent extérieurement à (Γ) si IO = R + r, le point O est sur le cercle (Γ₁) de centre I et de rayon R + r.

Si R > r, le cercle (c) est tangent intérieurement à (Γ) si IO = R - r, le point O est sur le cercle (Γ₂) de centre I et de rayon R - r.

Indications

Le rayon r étant donné, construire les deux droites parallèles à (d), situées à une distance r de cette droite.

Trouver les points d'intersection de ces parallèles avec les cercles (Γ₁) et (Γ₂) de centre I et de rayons R + r et R - r.

Commandes GéoPlan

Touche E : afficher/effacer les cercles tangents Extérieurement à (Γ),
touche I : afficher/effacer les cercles tangents Intérieurement.

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Cercles tangents extérieurement à (Γ) :

Tracer le cercle (Γ₁) de centre I et de rayon R + r.

Les points d'intersection de (Γ₁) et des parallèles, lorsqu'ils existent, sont les centres de cercles solutions.

Cercles tangents intérieurement à (Γ) :

cercle de rayon donné tangent à une droite et à un cercle

Si R > r, il est possible de tracer le cercle (Γ₂) de centre I et de rayon
R - r.

Les points d'intersection de (Γ₂) et des parallèles, lorsqu'ils existent, sont les centres d'autres cercles solutions.

Résolution complète

Au maximum huit solutions.

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12. Construire les tangentes communes à deux cercles (sécants ou non)

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tangentes communes à deux cercles

Commande GéoPlan
Taper N pour visualiser le point J et éventuellement
les deux Nouvelles tangentes.

Soit deux cercles c(O, r) et c’(O’, r’) avec r < r’, le petit cercle (c) n'est pas à l'intérieur de (c’) : r + OO’ > r’.

Trouver le point I, intersection de deux tangentes, situé sur la ligne des centres (OO’). Pour le tracer il suffit, étant donné un point M variable sur (c), de trouver un point M₁ de (c’) tel que le rayon OM₁ soit parallèle à OM et de même sens. Le point I est l'intersection des droites (OO’) et (MM₁).

Par I on peut mener les deux tangentes communes aux deux cercles.
Pour les tracer avec précision, on trouve les points de contact comme intersection du cercle (c) avec le cercle de diamètre [IO] ou comme intersection du cercle (c’) avec le cercle de diamètre [IO’].

De même, si les cercles (c) et (c’) sont extérieurs l'un à l'autre (r + r’ < OO’), on trouve un deuxième point J en traçant le point M₂ de (c’), tel que le rayon OM₂ soit parallèle à OM et de sens contraire. L'intersection J des droites (OO’) et (MM₂) est alors le point de concours de deux autres tangentes. Tracer les points de contact de ces tangentes, par exemple comme intersection du cercle (c) avec le cercle de diamètre [OJ].

Cet article est adapté pour le collège de la page : homothéties

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13. Construire un cercle tangent à trois droites

Classe de quatrième - Droites remarquables d'un triangle - Bissectrices intérieures

a. Cercle tangent à trois droites sécantes deux à deux, non concourantes

Les trois bissectrices intérieures d'un triangle ABC sont concourantes en I.
Le point I est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC, tangent aux trois côtés de ce triangle.

Construction

Avec GéoPlan, il existe des commandes pour tracer la bissectrice d'un angle, le cercle inscrit et le centre de ce cercle.

Il est aussi possible de réaliser la « construction à la règle et au compas » comme suit :

Tracer la bissectrice de l'angle BAC en utilisant la configuration du losange :
Placer un point M sur le côté (AB).
Tracer le cercle de centre A passant par M qui coupe le deuxième côté (AC) en N.
Tracer les deux cercles de centre M et N passant par A.
Ces deux cercles se recoupent en P.
La droite (AP) est la bissectrice cherchée.

Commande GéoPlan : touche A.

Bissectrice en B

De même, tracer une deuxième bissectrice, celle de l'angle ABC.

La bissectrice (AS) coupe le côté [AC] en B’.

Commande : touche B.

Trois bisssectrices

Ces deux bissectrices se coupent en I.
La droite (CI) est la troisième bissectrice.

Commande : touche C.

Par projection orthogonale du point I, par exemple sur le côté (AB), on obtient un point en C₁ qui permet de construire le cercle inscrit.

GéoPlan permet de tracer directement ce cercle avec l'instruction :
« Créer>Ligne>Cercle>Cercle défini par centre et tangente ».

Commande : touche D.

Scénario GéoPlan : taper C, A, A, B, B, C, D :

Charger la figure des trois bissectrices, taper C pour les effacer et retrouver uniquement le triangle ABC,
taper A pour tracer la bissectrice en A, retaper A pour l'effacer,
taper B pour tracer la bissectrice en B, retaper B pour l'effacer,
taper C pour retrouver les trois bissectrices,
terminer par D pour obtenir le cercle inscrit.

Au lycée, on construira aussi les trois cercles exinscrits du triangle avec les bissectrices extérieures : voir : géométrie du triangle

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b. Cas particulier : cercle tangent à trois droites dont deux sont parallèles

Le rayon r du cercle est égal à la moitié de la distance entre les deux parallèles (d₁) et (d₂).

Le centre du cercle se trouve sur la droite équidistante des deux parallèles et sur une des droites situées à une distance r de la sécante (d₃).

Il y a donc deux cercles solutions, centrés en O et O’.

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Cercles tangents à des droites ou à des cercles : voir construction de cercles en seconde

Activité B2i

Domaine B2i

Item collège validable

Construction de figures

1 – S'approprier un environnement informatique de travail.

1.1 – Je sais m'identifier sur un réseau ou un site et mettre fin à cette identification.

1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail.

3 – Créer, produire, traiter, exploiter des données.

3.6 – Je sais utiliser un outil de simulation (ou de modélisation) en étant conscient de ses limites (le logiciel ne fournit pas de conditions nécessaires pour l'existence d'une solution dans laquelle les droites ne sont pas parallèles).

Extrait de l'ancien programme de 5^e (2007)

Contenu

Compétences exigibles

Commentaires

Construction de triangles et inégalité triangulaire.

Connaître et utiliser l'inégalité triangulaire.

Construire un triangle connaissant :
- la longueur d'un côté et les deux angles qui lui sont adjacents,
- les longueurs de deux côtés et l'angle compris entre ces deux côtés,
- les longueurs des trois côtés.

– Sur papier uni, reproduire un angle au compas.

Dans chaque cas où la construction est possible, les élèves sont invités à remarquer que lorsqu'un côté est tracé, on peut construire plusieurs triangles, deux à deux symétriques par rapport à ce côté, à sa médiatrice et à son milieu.

L'inégalité triangulaire est mise en évidence à cette occasion et son énoncé est admis :
AB + BC ≥ AC.
Le cas de l'égalité AB + BC = AC est reconnu comme caractéristique de l'appartenance du point B au segment [AC].

Construction de triangles au lycée

Exercices de géométrie au collège

Collège
Cercle

Retrouver un triangle à partir de droites remarquables

Triangle
au collège

GéoPlan en seconde