Constructions par pliage

Sommaire

1. Pliage d'une feuille
2. Partage d'une feuille en trois parties égales
3. Pliage d'un triangle selon une droite des milieux
4. Triangle équilatéral
5. Pentagone
6. Hexagone

Autres pliages

Pliage du coin d'une feuille (un devoir qui ne fait pas un pli)

Trisection de l'angle

Page n^o 129, réalisée le 6/12/2003,
mise à jour le 7/11/2009

Faire de la géométrie dynamique

GéoPlan
Problèmes de construction

Construction du pentagone régulier

Construction à la règle et au compas

GéoPlan
Construction à l'équerre

Problèmes de construction
en 1L

Cet art, originaire de la Chine, regroupe les techniques de pliage de papier. Le mot origami vient du japonais.

Le pliage d'une feuille permet d'obtenir (sans autre instrument) :

• la perpendiculaire à une droite,
• la médiatrice d'un segment,
• le milieu d'un segment,
• les bissectrices d'un angle,
• un angle de 60° ou de 30°,,
• la trisection de l'angle.

Perpendiculaire à une droite

Plier une feuille le long de la droite, puis plier une seconde fois en superposant les deux bords du pli précédant. On a fabriqué un angle droit.
Si on déplie la feuille, les deux plis forment deux droites perpendiculaires.

Droite parallèle à une droite donnée passant par un point extérieur

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles ; donc on plie une feuille trois fois afin d’obtenir « la perpendiculaire d’une perpendiculaire » :
  • Un premier pli suit la droite (d) donnée.
  • Un second pli sur le point extérieur A donné, en superposant les deux bords du pli précédant de la droite (d),
    ceci permet d’obtenir la perpendiculaire (Δ) à (d) passant par A.
  • Un troisième pli sur A, (Δ) se superposant à elle-même, pour obtenir la perpendiculaire au deuxième pli passant par A.
    C’est ainsi que ce dernier pli représente la droite (d’) parallèle à la droite (d).

Médiatrice et milieu d'un segment

Par pliage d'une feuille rabattre un point A sur un point B : appuyer le pli de la feuille qui marque la médiatrice de [AB].
En réalisant un second pli passant par A et B, on obtient deux plis qui se coupent au milieu de [AB].

Bissectrice de deux droites

Deux droites (d) et (d’) étant inscrites sur une feuille, amener (d) en coïncidence avec (d’), la trace du pli donne la bissectrice.
Si les deux droites sont concourantes en un point I situé sur la feuille, il y a deux façons de faire le pli permettant d'obtenir les deux bissectrices.

Voir : le point de concours de deux droites étant situé hors de la feuille, construire une droite passant par ce point inaccessible.

Triangle équilatéral

Triangle équilatéral par pliage d'une feuille rectangulaire,
Triangle équilatéral à partir d'un cercle.

Pentagone

Construction d'un pentagone régulier : en réalisant un nœud avec une bande ; en pliant une feuille.

Hexagone

Construction d'un hexagone par pliage d'un triangle équilatéral

Trisection de l'angle

a. Deux diagonales

Tracer une diagonale d'une feuille rectangulaire puis, sans extrémité commune, une diagonale du demi-rectangle. Elles se rencontrent en I au tiers de la hauteur et au tiers de la largeur de la feuille.

Justification : voir parallélogramme et milieux

Cas particulier : si ABCD est une feuille au format A4, les droites (AK) et (BD) sont perpendiculaires (appliquer la réciproque du théorème de Pythagore dans le triangle AIB, sachant que I est aux deux tiers de chaque diagonale et que AB = CD).

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b. Réseau de droites parallèles

À partir d'un réseau de quatre droites parallèles, on sait poser dessus la feuille de papier et l'incliner de façon à ce que deux coins d'un bord soient situés sur les deux parallèles extrêmes.
Les deux autres parallèles intérieures déterminent sur le bord deux points qui permettront le partage de la feuille en trois.

Voir partage d'un segment en parties égales : construction à la règle seule.

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c. Pliage du coin d'une feuille

D'après ce que propose Valérie dans le forum momes.net, on peut utiliser les droites parallèles obtenues en pliant la feuille en quatre (la largeur étant supérieure aux deux tiers de la longueur, ce qui est le cas pour une feuille A4) :
Je plie une feuille de papier en 4 parties égales (en 2 deux fois de suite) ;
je plie l'un des bords longs depuis le coin D en amenant le coin C qui est à l'autre extrémité de ce bord sur la troisième ligne [HG] des pliages précédents.
Les deux premières lignes de pliage permettent de repérer sur le bord long deux points I’ et J’ partageant [AC’] en trois.
La feuille remise à plat, je n'ai plus qu'à plier la feuille en trois parties égales (parallèlement aux bords courts) en utilisant les deux repères I et J sur le bord long [CD].

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d. Droites concourantes au milieu de la demi-feuille

On considère une feuille rectangulaire ABCD.

La plier en deux pour obtenir les milieux N de [AD] et M de [BC].

Plier le rectangle ABMN suivant ses deux diagonales pour obtenir le point G.

Plier la feuille en marquant les droites joignant les deux autres sommets au point G.

Ces deux droites (CG) et (DG) déterminent, sur l'autre bord, deux points I et J qui partagent [AB] en trois parties égales.

Voir justification en 1S : barycentre

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Classe de quatrième

Plier un triangle ABC suivant la droite des milieux (B’C’).

Pour cela, ayant découpé le triangle ABC dans une feuille de papier, rabattre le point A en H, pied de la hauteur issue de A.

Il est possible de trouver la hauteur par pliage en faisant glisser le point C sur le segment [BC], en superposant les deux bords et en marquant le pli lorsque celui-ci passe par A.

Rabattre ensuite les points B ou C en H. On obtient un rectangle.

 Dans ce rectangle on retrouve la somme des angles du triangle égale à l'angle plat IHJ, soit 180°.

 L'aire du triangle est le double de l'aire de ce rectangle d'où la formule :
 Aire(ABC) = 2 B’C’ × B’I = 2 × BC × AH = base × hauteur.

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Voir : triangle au collège ; aire du triangle

4. Triangle équilatéral
a. Construction par pliage à partir d'un cercle

Classe de troisième

Dessiner un cercle et tracer deux diamètres perpendiculaires [AA’] et [DE]. Rabattre le point A’ sur O. Le pli rencontre [AA’] en H le cercle en B et C. Quelle est la nature du triangle ABC ?

Solution

Les triangles OBA’ et OCA’, ayant leurs trois côtés de longueur égale au rayon du cercle, sont équilatéraux ; l'angle au centre BOC mesure 120°. L'angle inscrit BAC mesure 60°. ABC est un triangle équilatéral.

Longueur du côté et aire

Si R est le rayon du cercle circonscrit,
la hauteur h du triangle est AH = AO + OH = R.

Dans le triangle rectangle ABH, le cosinus de l'angle BÂH de 30° permet de calculer
h = a, en simplifiant R = a on trouve que a, longueur du côté BC, est égal à R.
L'aire du triangle est AH × BC = 3R².

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Paragraphe extrait de la page triangle équilatéral

Sommaire
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b. Construction d'un triangle ayant pour côté, la largeur de la bande

Plier une bande rectangulaire ABB’A’ de largeur a = AB suivant la médiatrice (A₁B₁) du rectangle.

Plier l'angle en B en rabattant le coin A, sur la médiatrice (A₁B₁), en C. Le coin BAD se trouve alors en BCD.

C est équidistant de A et B, soit BC = AC = a.
Par le pliage BC = BA = a. Les trois côtés sont de même longueur.
ABC est un triangle équilatéral de côté a.

Avec GéoPlan, construire le point C intersection de [A₁B₁] et du cercle de centre A passant par B.
La médiatrice de [AC] coupe (AA’) en D.

Télécharger la figure GéoPlan bande_equi.g2w

Retrouver ces paragraphes dans la page : construction à la règle seule
Voir ci-dessous : construction d'un hexagone par pliage d'un triangle équilatéral

c. Construction d'un triangle ayant pour hauteur, la hauteur de la bande

Plier une bande rectangulaire ABB’A’ de hauteur h = AB suivant la médiatrice (A₁B₁) du rectangle.

Plier l'angle en B pour amener le coin A, sur la médiatrice (A₁B₁), en H.

On obtient le pied H de la hauteur [BH] du triangle. Le pli marque le côté [BC]. Marquer enfin le pli (CH) pour obtenir le côté [CD].

H est équidistant de A et B. Par le pliage BH = BA = h. H est le milieu de [CD] du triangle équilatéral BCD de hauteur h.

Avec GéoPlan, construire le point H intersection de [A₁B₁] et du cercle de centre A passant par B.
La médiatrice de [AH] coupe (AA’) en C et la droite (CH) coupe (BB’) en D, troisième sommet du triangle équilatéral BCD.

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1. Pliage d'une feuille
2. Partage d'une feuille en trois parties égales
3. Pliage d'un triangle selon une droite des milieux
4. Triangle équilatéral
5. Pentagone
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