Constructions par pliage

Plier une feuille le long de la droite, puis plier une seconde fois en superposant les deux bords du pli précédant. On a fabriqué un angle droit.
Si on déplie la feuille, les deux plis forment deux droites perpendiculaires.

Droite parallèle à une droite donnée passant par un point extérieur

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles ; donc on plie une feuille trois fois afin d'obtenir « la perpendiculaire d'une perpendiculaire » :
• Un premier pli suit la droite (d) donnée.
• Un second pli sur le point extérieur A donné, en superposant les deux bords du pli précédant de la droite (d),
ceci permet d'obtenir la perpendiculaire (Δ) à (d) passant par A.
• Un troisième pli sur A, (Δ) se superposant à elle-même, pour obtenir la perpendiculaire au deuxième pli passant par A.
C'est ainsi que ce dernier pli représente la droite (d’) parallèle à la droite (d).

Médiatrice et milieu d'un segment

Par pliage d'une feuille rabattre un point A sur un point B : appuyer le pli de la feuille qui marque la médiatrice de [AB].
En réalisant un second pli passant par A et B, on obtient deux plis qui se coupent au milieu de [AB].

Bissectrice de deux droites

Deux droites (d) et (d’) étant inscrites sur une feuille, amener (d) en coïncidence avec (d’), la trace du pli donne la bissectrice.
Si les deux droites sont concourantes en un point I situé sur la feuille, il y a deux façons de faire le pli permettant d'obtenir les deux bissectrices.

Voir : le point de concours de deux droites étant situé hors de la feuille, construire une droite passant par ce point inaccessible.

Triangle équilatéral

Triangle équilatéral par pliage d'une feuille rectangulaire,
Triangle équilatéral à partir d'un cercle.

Pentagone

Construction d'un pentagone régulier : en réalisant un nœud avec une bande ; en pliant une feuille.

Hexagone

Construction d'un hexagone par pliage d'un triangle équilatéral

Trisection de l'angle

2. Partage d'une feuille en trois parties égales

a. Deux diagonales

Partage d'une feuille en trois parties

Tracer une diagonale d'une feuille rectangulaire puis, sans extrémité commune, une diagonale du demi-rectangle. Elles se rencontrent en I au tiers de la hauteur et au tiers de la largeur de la feuille.

Justification : voir parallélogramme et milieux

Cas particulier : si ABCD est une feuille au format A4, les droites (AK) et (BD) sont perpendiculaires (appliquer la réciproque du théorème de Pythagore dans le triangle AIB, sachant que I est aux deux tiers de chaque diagonale et que AB = CD).

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b. Réseau de droites parallèles

Réseau de droites parallèles

À partir d'un réseau de quatre droites parallèles, on sait poser dessus la feuille de papier et l'incliner de façon à ce que deux coins d'un bord soient situés sur les deux parallèles extrêmes.
Les deux autres parallèles intérieures déterminent sur le bord deux points qui permettront le partage de la feuille en trois.

Voir partage d'un segment en parties égales : construction à la règle seule.

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c. Pliage du coin d'une feuille

Réseau de droites parallèles

D'après ce que propose Valérie dans le forum momes.net, on peut utiliser les droites parallèles obtenues en pliant la feuille en quatre (la largeur étant supérieure aux deux tiers de la longueur, ce qui est le cas pour une feuille A4) :
Je plie une feuille de papier en 4 parties égales (en 2 deux fois de suite) ;
je plie l'un des bords longs depuis le coin D en amenant le coin C qui est à l'autre extrémité de ce bord sur la troisième ligne [HG] des pliages précédents.
Les deux premières lignes de pliage permettent de repérer sur le bord long deux points I’ et J’ partageant [AC’] en trois.
La feuille remise à plat, je n'ai plus qu'à plier la feuille en trois parties égales (parallèlement aux bords courts) en utilisant les deux repères I et J sur le bord long [CD].

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d. Droites concourantes au milieu de la demi-feuille

Droites concourantes au milieu de la demi-feuille

On considère une feuille rectangulaire ABCD.

La plier en deux pour obtenir les milieux N de [AD] et M de [BC].

Plier le rectangle ABMN suivant ses deux diagonales pour obtenir le point G.

Plier la feuille en marquant les droites joignant les deux autres sommets au point G.

Ces deux droites (CG) et (DG) déterminent, sur l'autre bord, deux points I et J qui partagent [AB] en trois parties égales.

Voir justification : le barycentre

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Voir aussi le partage d'un segment en trois dans constructions élémentaires, règle à bords parallèles

3. Triangle équilatéral
a. Construction par pliage à partir d'un cercle

Classe de troisième

Dessiner un cercle et tracer deux diamètres perpendiculaires [AA’] et [DE]. Rabattre le point A’ sur O. Le pli rencontre [AA’] en H le cercle en B et C. Quelle est la nature du triangle ABC ?

Solution

Les triangles OBA’ et OCA’, ayant leurs trois côtés de longueur égale au rayon du cercle, sont équilatéraux ; l'angle au centre BOC mesure 120°. L'angle inscrit BAC mesure 60°. ABC est un triangle équilatéral.

Longueur du côté et aire

Si R est le rayon du cercle circonscrit,
la hauteur h du triangle est AH = AO + OH = R.

Dans le triangle rectangle ABH, le cosinus de l'angle BÂH de 30° permet de calculer
h = a, en simplifiant R = a on trouve que a, longueur du côté BC, est égal à R.
L'aire du triangle est AH × BC = 3R².

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Paragraphe extrait de la page triangle équilatéral

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

b. Construction d'un triangle équilatéral dans une feuille carrée

Triangle équilatéral dans un carré Plier une feuille carrée ABB’A’ de côté a = AB suivant la médiatrice (A₁B₁) du carré.

Pour la construction du triangle équilatéral de côté [AB] plier l'angle en A pour amener le coin A’, sur la médiatrice (A₁B₁), en C. Le coin AA’D se trouve alors en ACD.

C est équidistant de A et B, soit AC = BC = a.
Comme AB = a. Les trois côtés sont de même longueur.
Le triangle ABC est équilatéral.

Avec GéoPlan, construire le point C intersection de [A₁B₁] et du cercle de centre A passant par B.
La médiatrice de [A’C] coupe (A’B’) en D.

Remarque : cette construction permet de construire des angles de 60°, 30° et 15° :
BÂC = 60°, A’ÂC = 30°, DÂC = 15°.

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c. Voir : construction d'un triangle équilatéral par pliage d'une bande rectangulaire

4. Constructions du pentagone par pliage
a. Nœud avec une bande

Ruban Irem de Montpellier Cet ingénieux procédé de construction du pentagone régulier se trouve indiqué sans démonstration dans un Ouvrage d'Urbano d'Aviso, publié à Rome, en 1682.

Édouard Lucas - Mathématicien français 1842-1891
L'arithmétique amusante - Adamant Media Corporation

Lorsque l'on fait un nœud avec une bande rectangulaire, si l'on aplatit ce nœud en marquant les plis, la silhouette qui apparaît est celle d'un pentagone.

La construction est exacte, mais un peu difficile.

Pentagone de kiko21 Forum ilemaths :
Je connaissais la construction avec le nœud ou le pliage d'une bande de papier, c'est comme cela que l'on fait des étoiles en pliant toute la bande plusieurs fois et en écrasant ensuite un peu les côtés.

J'ai pris deux bandes de papier mises bout à bout de 1 cm de large sur 29,7 cm de long soit une longueur totale de 59,4 cm.
C'est plus joli avec du papier de Noël !

A+, kiKo21.

Application : construction du dodécaèdre par pliage de bandes de papier

b. Construction approchée par pliage d'une feuille A4

Pliage d'une feuille A4 AbId est une feuille au format A4 (ou An). Ab = Ib .

[AI] étant une diagonale, replier I sur A. Le pli est le segment [ef]. Le point b se place en b’. Plier ensuite [b’e] sur la diagonale [AI] en plaçant b’ en b₁. De même, plier [df] sur la diagonale [AI] en plaçant d en b₁.

ABCD est pentagone presque régulier tel que tan IÂB = b’I/Ib’ = ce qui correspond à un angle d'environ 54,8° supérieur aux 54° degrés attendus.

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5. Hexagone

Construction d'un hexagone par pliage d'un triangle équilatéral

Ayant découpé un triangle équilatéral PQR dans une feuille de papier, amener par pliage un sommet sur l'autre pour marquer une médiatrice (par exemple, plier P sur R pour marquer QJ),
déplier, puis un deuxième pliage permet de marquer une autre médiatrice.
Les médiatrices se coupent au centre O du triangle.
Il est alors possible de réaliser un hexagone régulier en ramenant les trois sommets au centre du triangle et en pliant pour marquer les côtés [BC], [DE] et [FA].

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Voir : polygones réguliers
Construction en partageant le diamètre d'un cercle en quatre

Triangle équilatéral

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