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Dix figures interactives GéoPlan : médiatrice, bissectrice, perpendiculaire, parallèle… |
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 Constructions élémentaires à la « règle et au compas » |
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Sommaire1. Médiatrice d'un segment |
Construction à la règle seule | ||||
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Page no 57, réalisée le 6/12/2003 - Mise à jour le 3/3/2007 | |||||
GéoPlan | Droites remarquables dans le triangle | GéoPlan | GéoPlan en 3e | Faire de la géométrie dynamique | |
À l'école les constructions géométriques de figures simples à la règle, à l'équerre et au compas sont au programme du cours moyen.
Il est essentiel de montrer que le compas ne sert pas uniquement à tracer des cercles, mais aussi à reporter des longueurs égales.
1. Médiatrice d'un segment
Par pliage d'une feuille rabattre un point A sur un point B : appuyer le pli de la feuille qui marque la médiatrice de [AB].
Dessiner la médiatrice d'un segment [AB] avec un compas et une équerre
Ouvrir suffisamment le compas, tracer deux arcs de cercle de même rayon qui se coupent en C. Avec l'équerre, tracer la perpendiculaire à (AB) passant par C.
Dessiner la médiatrice d'un segment [AB] avec la règle et le compas (sans équerre)
Construction d'Œnopide de Chios (Vème siècle avant J.-C.)
Dessiner le segment [AB].
Tracer les cercles de ce ntres A et B et de rayon AB (cercles de centre A passant par B et de centre B passant par A).
Dans le menu Créer > point, choisir intersection de deux cercles, pour tracer les points C et D.
Tracer la médiatrice (CD) passant par les deux points d'intersection.
Placer un point M sur la médiatrice (menu : Créer > point > point libre > sur une droite) et vérifier l'égalité des longueurs AM = BM.
Gommer les cercles (non dessinés).
Cette construction permet de trouver à la « règle et au compas » le milieu d'un segment.
Télécharger la figure GéoPlan mediatrice.g2w
Télécharger la figure Cabri mediatrice.fig
Télécharger la figure GeoLabo mediatrice.glb
Losange de diagonale [AC]
Placer deux points A et C, tracer un cercle (c) de centre A et de rayon supérieur à AC/2,
et un cercle (c’) de même rayon et de centre C.
Les cercles (c) et (c’) se coupent en B et D. La droite (BD) est la médiatrice du segment [AC].
Tracer le quadrilatère ABCD et montrer que ABCD est un losange.
Marquer le centre O et remarquer les droites parallèles.
Les « anciens Égyptiens » utilisaient cette méthode, par exemple dans la construction des pyramides, pour tracer un angle droit :
prendre une corde, faire un nœud au milieu et fixer les deux extrémités sur deux piquets placés en A et C. Tendre la corde de part et d'autre de (AC) en la prenant par le nœud et marquer les points B et D, puis le centre O.
Télécharger la figure GéoPlan losange.g2w
Télécharger la figure Cabri cons_losange.fig
Télécharger la figure GeoLabo losange.glb
Application : construction d'une hauteur d'un triangle
Pour construire des droites parallèles ou perpendiculaires à la « règle et au compas », il faut souvent se ramener à la construction de la médiatrice d'un segment.
Pour trouver, à la règle et au compas, la hauteur relative au côté [BC] d'un triangle ABC tel que AC > AB, construire un triangle isocèle ABD où le point D est l'intersection du cercle de centre A passant par B avec la droite (BC).
Avec les cercles de centres B et D passant par A, tracer la médiatrice (AI) de [BD].
I est le deuxième point d'intersection de ces deux derniers cercles.
La médiatrice (AI) coupe (CD) en H et (AH) est la hauteur cherchée.
Télécharger la figure GéoPlan hauteur_triangle.g2w
Voir : Cabri en sixième
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2. Bissectrice d'un angle
GéoPlan permet de tracer une bissectrice à partir d'un angle défini par trois points.
Pour tracer une bissectrice « à la règle et au compas », on se place dans la situation d'un triangle isocèle OAB que l'on complète par un point I tel que le quadrilatère BOAI soit un losange.
Soit un angle de sommet O formé par deux demi-droites (d1) et (d2) ayant ce point pour origine. Placer un point A sur un des côtés (d1) de l'angle. Tracer le cercle de centre O passant par A qui coupe la deuxième demi-droite (d2) en B.
Tracer les deux cercles de centre A et B passant par O. Ces deux cercles se recoupent en I.
[OI) est la bissectrice intérieure de l'angle des demi-droites (d1) et (d2) :
La diagonale (OI) du losange OABI, est la médiatrice de [AB] car les diagonales du losange se coupent en H milieu de [AB] et sont perpendiculaires.
Dans le triangle isocèle OAB, les angles AÔH et HÔB sont égaux, (OI) est donc la bissectrice, issue de O, de ce triangle.
Voir : construction avec la règle à bords parallèles
Télécharger la figure GéoPlan cons_bisect.g2w
Télécharger la figure Cabri cons_bissectrice.fig
Télécharger la figure GeoLabo cons_bissectrice.glb
Voir : Cabri en sixième
b. Construction par report de mesure
Soit un angle de sommet O formé par deux demi-droites (d1) et (d2) ayant ce point pour origine. Placer deux points A et B sur un des côtés (d1) de l'angle. Reporter les longueurs OA et OB sur la deuxième demi-droite (d2) en y plaçant les points C et D tels que OC = OA et OD = OB.
Tracer les deux segments [AD] et [BC]. Ces deux segments se recoupent en I.
[OI) est la bissectrice intérieure de l'angle des demi-droites (d1) et (d2) : les triangles isométriques OAD et OBC sont symétriques par rapport à (OI).
Télécharger la figure GéoPlan cons_bisect2.g2w
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3. Report d'un angle
Eudème, cité par Proclus, attribuait à Œnopide de Chios (Vème siècle avant J. -C.), la découverte du problème relatif à la proposition 23 du livre I d'Euclide : « Sur une droite donnée, et en un point donné sur cette droite, construire un angle égal à un angle donné. » (Histoire des mathématiques - Colette - 1973).
Reproduire un angle d'origine O à partir d'une demi-droite d'origine I :
Soit deux points O, I et un point A,
Soit deux demi-droites [OA) et [OB1) ayant pour origine le point O et une demi-droite [IC1) d'origine I.
Pour reporter l'angle d'origine O, tracer le cercle de centre O passant par A qui coupe la droite (OB1) en B et B2, choisir pour B le point sur le deuxième côté [OB1) de l'angle.
Nommer r la longueur OA et tracer le cercle de centre I et de rayon r.
Nommer C et C2 les intersections de ce cercle avec la droite (IC1), choisir pour C le point sur la demi-droite [IC1).
Nommer d la longueur AB et tracer le cercle de centre C et de rayon d. Nommer D et D1 les intersections des deux derniers cercles. Tracer la demi-droite [ID).
Les angles AÔB et CÎD sont égaux.
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Télécharger la figure Cabri copier_copier_angle.fig
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Voir : Cabri en sixième
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4. Perpendiculaire abaissée d'un point M sur une droite (d)
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Un cercle de centre M rencontre la droite (d) en A et B. Deux autres cercles de même rayon de centres A et B passent par M et se recoupent en N. |
Un point A de la droite (d) est le centre d'un cercle passant par M. Il rencontre (d) en B. Le cercle de centre B passant par M rencontre le premier cercle en N. La perpendiculaire est la droite (MN). |
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5. Perpendiculaire élevée d'un point A à une droite (d)
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Figure 1 Un cercle de centre A rencontre (d) en B et C. Tracer la médiatrice de [BC] grâce aux cercles de centre A passant par B et de centre B passant par A. Ces deux cercles se coupent en M et N. La perpendiculaire est la droite (MN). Figure 2 À partir d'un point O hors de (d), tracer un cercle de centre O passant par A. Si O n'est pas sur la perpendiculaire,
il recoupe (d) en un deuxième point B. Tracer la droite (OB) qui recoupe le cercle en C. Figure 3 Tracer un cercle de centre A qui rencontre (d) en B, puis avec le même rayon, un cercle de centre B
qui rencontre le premier cercle en O. C est le symétrique de B par rapport à O : pour cela, toujours
avec le même rayon, tracer un troisième cercle de centre O passant par A et B, le deuxième point
d'intersection de ce dernier cercle et de la droite (BO) est un point C tel que le triangle BAC, inscrit dans un demi-cercle, est rectangle en A. |
Figure 1
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Figure 2
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Figure 3
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6. Parallèle à une droite passant par un point donné
Proposition 31 du livre I des Éléments d'Euclide : par un point donné, construire une ligne parallèle à une droite donnée.
L'unicité se déduit du postulat 5 : si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs d'un même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.
Ce postulat est par la suite plus souvent énoncé sous la forme : « par un point il passe une et une seule parallèle à une droite donnée ».
a. Médiatrice
Il est possible d'utiliser deux fois la construction de la médiatrice du paragraphe 1 pour tracer la perpendiculaire à (d) passant par le point A, puis d'élever en A la perpendiculaire à cette droite :
Un cercle (c1) de centre A passant par un point B de la droite (d) recoupe cette droite en C. Les cercles de centre B et C passant par A se recoupent en D et la droite (AD) est perpendiculaire à (d). Le cercle (c1) coupe (AD) en E et F. Les cercles de centre E passant par F et de centre F passant par E se coupent en G et H. La droite (GH) est la parallèle à (d) passant par A.
Télécharger la figure GéoPlan parallele_4.g2w
b. Angles alternes-internes
La droite (BC) = (d) et la parallèle (AD) cherchée doivent faire avec une sécante (AB) des angles alternes-internes ABC et BAD égaux entre eux :
Tracer le cercle (c1) de centre A passant par un point B de la droite (d) et le cercle (c2) de centre B passant par A. Le cercle (c2) coupe cette droite en C.
Le cercle (c3) de centre B et de rayon AC coupe le cercle (c2) en un point D situé du même côté que A par rapport à (d).
La droite (AD) est la parallèle cherchée.
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c. Droite des milieux
Classe de quatrième
Placer deux points B et C sur la droite (d).
Sur la droite (AB), placer le point O tel que BO = AB,
Sur la droite (OC), placer le point D tel que CD = OC.
La droite (AD) est la parallèle à (d) cherchée.
En effet, (BC) est la droite des milieux du triangle OAD : (AD) est parallèle à (BC).
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Voir : géométrie en troisième
d. Construction avec deux ou trois cercles
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O étant un point libre de la droite (d), le cercle (c) de centre O passant par A coupe la droite (d) en B et C. Mesurer, avec le compas, la longueur AB et tracer le cercle de centre C et de rayon AB. Ce dernier cercle rencontre (c) en M situé dans le même demi-plan que le point A par rapport à (d). La droite (AM) est parallèle à (d).
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Tracer trois cercles de même rayon. La droite (AM) est parallèle à (d).
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7. Parallèle à une droite (D) située à une distance donnée d
À partir d'un point A de la droite (D), tracer un cercle (c) de rayon d. Ce cercle coupe la droite en B et C.
Utiliser la méthode du paragraphe 5 pour construire la médiatrice de [BC] grâce aux cercles de centre B passant par C et de centre C passant par B. Ces deux cercles se coupent en M et N. La droite (MN) est perpendiculaire en A à (D).
Le cercle (c) coupe (MN) au point D situé à une distance d de A.
Les cercles de rayon d, passant par A, centrés en B et en D se coupent en E.
La droite (DE) est parallèle à la droite (D) et située à la distance d.
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8. Constructions de tangentes
Classe de quatrième Tangente en un point du cercleD'un point A situé sur un cercle de centre O, on mène une tangente à ce cercle, en traçant la perpendiculaire en A au rayon [OA]. Construction à la « règle et au compas » (sans équerre). Tracer le point B, symétrique de O par rapport à A, et la médiatrice de [BO].
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Classe de troisième Tangentes à un cercle passant par un point donnéD'un point M extérieur à un cercle, on peut mener deux tangentes à ce cercle ; elles touchent le cercle en A et B et on a : MA = MB. Construction d'Euclide Étant donné un cercle (c) de centre O et un point M à l'extérieur du cercle, les points de contact A et B des tangentes issues de M sont les points d'intersection du cercle (c) et du cercle de diamètre [MO].
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9. Division d'un segment en n parties égales
Cet exercice repose sur la propriété de Thalès, mais peut être utilisé avant de l'avoir justifiée.
Pour partager un segment [AB] en n parties égales, tracer sur demi-droite issue de A n segments égaux [AC1], [C1C2]…, [Cn-1B’].
Tracer le segment [BB’] et les parallèles à (BB’) passant par C1, C2…, Cn-1.
Elles découpent [AB] en n parties égales.
Télécharger la figure GéoPlan diviser_segment.g2w
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Méthode de la règle à bords parallèles : partage d'un segment en n parties égales
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10. Partage d'un segment en trois
Tracé de médianesPartager un segment [AB] en trois. Placer un point I à l'extérieur de (AB). Sur la droite (BI) reporter la longueur BI et placer le point C tel que IC = BI. Sur la droite (CA) reporter la longueur CA et placer le point D tel que AD = CA. La droite (DI) coupe (AB) en G. Le point G est au tiers de [AB]. En reportant la longueur AG sur (AB), on trouve le point J milieu de [GB]. En effet, G, point d'intersection des médianes, est le centre de gravité de BCD.
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Tracé de parallèles dans un rectanglePartager un segment [AB] en trois. Il est aussi possible de faire cette construction qui sera justifiée par Thalès en quatrième : Sur la perpendiculaire en B à (AB) placer un point C, puis terminer le rectangle ABCD.
Application : Cabri en sixième |
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Partage du côté d'un parallélogramme On considère un parallélogramme ABCD. K est le milieu de [AD], L le milieu de [BC].
Voir alignement et concours : barycentre |
Partage de la diagonale d'un parallélogramme Dans un parallélogramme, les segments, joignant deux sommets opposés aux milieux des côtés opposés, sont parallèles et partagent la diagonale joignant les deux autres sommets en trois parties égales.
Voir : Parallélogramme au collège |
de [AB] à partir de A.Voir aussi : pliage d'une feuille en trois parties égales : constructions - pliages
Partage d'un segment en parties égales : règle à bords parallèles
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Sommaire1. Médiatrice d'un segment |
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