Exercices réalisés avec GéoPlan : losange, décagone, dodécagone, quadrature du rectangle.
Constructions géométriques au collège
SommaireProgrammes de construction1. Losange |
Pliage d'une feuille
Page no 59, réalisée le 6/12/2003 - Mise à jour le 23/11/2009 | ||||
Construction à la règle et au compas | GéoPlan |
Construction du pentagone régulier | GéoPlan | Faire de la géométrie dynamique | |
L'outil informatique et l'enseignement des mathématiques au collège.Les logiciels de géométrie permettent de varier « à l'infini » les cas de figure dans une situation donnée. Document d'accompagnement du programme de troisième |
Programmes de construction
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Un programme de construction est un texte qui permet d'établir une figure géométrique. C'est souvent ainsi que débute un problème de géométrie au collège ou au lycée. C'est d'abord un exercice de lecture. L'exécution demande du soin et aboutit à une validation complète : l'observation d'une propriété de la figure. Cette propriété est justifiée ultérieurement. On établit ainsi une continuité entre un capital d'observations et d'expériences et, plus tard, des preuves qui tissent entre elles un réseau rationnel. (François Boule) 1. Losange
Que peut-on dire du quadrilatère BCB’C’ ? Indications : le quadrilatère BCB’C’ admet A comme centre de symétrie, c'est un parallélogramme.
Sommaire 2. Point de concours
Prolonger [BG] d'une longueur GN = Prolonger [BP] et [CN]. Qu'observe-t-on ? Les droites (BP) et (CN) se rencontrent en A sur (GM) : de plus BP = PA, CN = NA et AG = 2 GM. Ceci résulte de la propriété du centre de gravité G du triangle ABC.
3. Décagone
Le cercle c3 de centre B passant par J rencontre le grand cercle en B1 (et en B9). Reporter l'ouverture BB1 sur le cercle en B2, puis de B2 en B3, etc. On peut continuer la construction du décagone avec les symétries par rapport aux droites (IA) et (IB). Les points B3 et B7 sont aussi situés sur le cercle de centre B, passant par K.
Voir pentagone : méthode des cercles tangents Sommaire 4. Dodécagone
Un dodécagone régulier est inscrit dans le cercle (c) de centre O et de rayon 1. On le partage en 12 triangles isocèles. Dès la classe de 5ème on peut, en remarquant que le triangle isocèle OBB’ ayant un angle de 60° est équilatéral, montrer que BB’ = 1. La hauteur BK du triangle OAB est égale à Le dodécagone a donc une aire égale à 3. Elle est inférieure à l'aire du cercle (c), d'où 3 < π. Au lycée on montrera que OH = cos En choisissant OI =
5. Carré dont les côtés passent par quatre pointsOn donne quatre points A, B, C, D. Faire passer une droite par chaque point de telle sorte quelles déterminent un carré. Problème assez difficile ne faisant malgré tout appel qu'à des connaissances niveau troisième. Indications Supposons le problème résolu. MNPQ est le carré cherché de centre O. Dans la rotation d'un quart de tour de centre O, B a pour image B’ et C a pour image C’. B’C’ = BC ; BC et B’C’ faisant un angle de 90°. Comme B et C sont sur les droites portées par deux côtés du carré,
les images B’ et C’ sont sur les deux autres droites portées par les deux autres côtés perpendiculaires. Dans la translation qui transforme B’ en D, le point C’ a pour image un point D1 situé sur la droite (AC’).
B’DD1C’ est un parallélogramme [DD1] étant parallèle et égal à [B’C’]. |
Tracer un triangle dont les côtés
ont pour longueurs AB = 3, AC = 4 et BC = 5. Tracer les symétriques B’ et C’ de B et C par rapport à A.
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Soit un segment [BC] et un point G non situé sur (BC). Tracer les milieux de [BG] et de [CG] ainsi que le milieu M de [BC].
BG et [CG] d'une longueur GP = 
Tracer un cercle c1 de centre O, un diamètre [IA], puis le cercle c2 de centre I et de rayon IA. Construire un rayon [IB] perpendiculaire à [IA].
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On choisit OA comme unité.
et l'aire du triangle est égale à 
.
= 
,
= 
on construit un dodécagone tangent extérieurement au cercle (c) d'aire 3 OI2 ≈ 3.22,|
On peut donc construire un point D1 sur la perpendiculaire à (BC) passant par D, à une distance égale à BC de D. On obtient la première droite (AD1), les trois autres droites étant parallèle ou perpendiculaires à (AD1).
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On obtient un deuxième carré M’N’P’Q’ avec l'autre point D2, à une distance égale à BC de D, sur cette même perpendiculaire.
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Deux côtés consécutifs de MNPQ ont la même longueur ? Soit B’ le projeté orthogonal de B sur (NP) et D’ le projeté orthogonal de D sur (MN). Les triangles rectangles B’BC et D’DD1 ont leurs côtés deux à deux perpendiculaires. Ce qui prouve que deux côtés consécutifs ont même longueur : MNPQ est un carré.
Sommaire 6. La quadrature du rectanglea. SulbasutrasD'après Marie-Noëlle Racine Textes rituels de l'Inde, rédigés en sanskrit vers le VIII ème siècle avant J.-C., issus de tradition orale remontant à plus de 2000 ans avant notre ère. |
 Dans le rectangle ABCD, reporter la largeur pour obtenir le carré AEFD. Partager en deux parties égales le rectangle EBCF excédentaire et déplacer le demi-rectangle GBCH en DFIJ. Dans la figure ci-contre, compléter la place vide pour obtenir le carré AGKJ. Le cercle de centre J passant par A coupe [DH] en L.
Sulbasutras : |
Preuve moderne avec ce que nous appelons le théorème de Pythagore. Si la longueur du rectangle est AB = 2a et la largeur BC = 2b,
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b. Figure d'EuclideLes Éléments d'Euclide, proposition II 14
Sur la longueur (AB), on reporte la largeur du rectangle en E et on trace le cercle qui admet ce côté prolongé [AE] pour diamètre. |
Le carré BTUV a même aire que le rectangle ABCD. Explication : le carré de la hauteur BT issue de l'angle droit T du triangle rectangle ATE est égal au produit des segments AB et BE découpés sur l'hypoténuse (Construction d'Euclide reprise par Descartes).
c. Rectangle et carré côte à côte
Sur (AB), on reporte la largeur en E. (BC) coupe le demi-cercle de diamètre [AE] en T. On reporte le point T en V sur (AB). Le carré de côtés [BT] et [BV] a même aire que le rectangle.
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d. Construction de Wallis
ABCD un rectangle de longueur [AB]. Rabattre D en D’ sur [AB]. Démonstration (après le bac) : La puissance du point A par rapport au cercle est
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e. Méthode de Samuel Marolois (1617)
Sur la figure ci-dessus, un rectangle ABCD. Solution Le long de (AB), on prolonge la longueur du rectangle d'un segment [BE] égal à sa largeur, et on trace le demi-cercle qui admet ce côté prolongé pour diamètre.
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Construire un carré de même aire qu'un rectangle donné.
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