Constructions interactives avec GéoPlan : losange, décagone, dodécagone, quadrature du rectangle.
	Constructions géométriques au collège	…avec GéoPlan

I. Constructions par pliage

1. Pliage d'une feuille

Le pliage d'une feuille permet d'obtenir (sans autre instrument) :

• la perpendiculaire à une droite,
• la médiatrice d'un segment,
• le milieu d'un segment,
• les bissectrices d'un angle,
• un angle de 60° ou de 30°.

Perpendiculaire à une droite

Plier une feuille le long de la droite, puis plier une seconde fois en superposant les deux bords du pli précédant. On a fabriqué un angle droit.
Si on déplie la feuille, les deux plis forment des droites perpendiculaires.

Médiatrice et milieu d'un segment

Par pliage d'une feuille rabattre un point A sur un point B : appuyer le pli de la feuille qui marque la médiatrice de [AB].
En réalisant un second pli passant par A et B, on obtient deux plis qui se coupent au milieu de [AB].

Bissectrice de deux droites

Deux droites (d) et (d’) étant inscrites sur une feuille, amener (d) en coïncidence avec (d’), la trace du pli donne la bissectrice.
Si les deux droites sont concourantes en un point I situé sur la feuille, il y a deux façons de faire le pli permettant d'obtenir les deux bissectrices.

Voir : le point de concours de deux droites étant situé hors de la feuille, construire une droite passant par cette intersection inaccessible.

Triangle équilatéral

Triangle équilatéral par pliage d'une feuille rectangulaire,
Triangle équilatéral à partir d'un cercle.

Pentagone

Construction d'un pentagone régulier : en pliant une bande ; en pliant une feuille.

Trisection de l'angle

2. Partage d'une feuille en trois parties égales

Voir aussi : Partage d'un segment en trois dans constructions élémentaires, règle à bords parallèles

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II. Programmes de construction

Un programme de construction est un texte qui permet d'établir une figure géométrique. C'est souvent ainsi que débute un problème de géométrie au collège ou au lycée. C'est d'abord un exercice de lecture. L'exécution demande du soin et aboutit à une validation complète : l'observation d'une propriété de la figure. Cette propriété est justifiée ultérieurement. On établit ainsi une continuité entre un capital d'observations et d'expériences et, plus tard, des preuves qui tissent entre elles un réseau rationnel. (François Boule)

2.1. Losange

Tracer un triangle dont les côtés ont pour longueurs AB = 3, AC = 4 et BC = 5. Tracer les symétriques B’ et C’ de B et C par rapport à A.

Que peut-on dire du quadrilatère BCB’C’ ?

Indications : le quadrilatère BCB’C’ admet A comme centre de symétrie, c'est un parallélogramme.
Par la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. Les diagonales de BCB’C’ sont perpendiculaires, ce parallélogramme est un losange.

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2.2. Œuf

Tracer un cercle de centre O et de rayon 3, puis centré en un point I du cercle, un autre cercle de rayon 6 - 3. Tracer le diamètre [AB] du grand cercle perpendiculaire à (OI) ; puis vers le petit cercle, l'arc de centre A, d'extrémité B et d'angle 45°, et l'arc de centre B, d'extrémité A et d'angle 45°.

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2.3. Point de concours

Soit un segment [BC] et un point G non situé sur (BC). Tracer les milieux de [BG] et de [CG] ainsi que le milieu M de [BC].

Prolonger [BG] d'une longueur GN = BG
et [CG] d'une longueur GP =  CG.

Prolonger [BP] et [CN].

Qu'observe-t-on ?

Les droites (BP) et (CN) se rencontrent en A sur (GM) :
de plus BP = PA, CN = NA et AG = 2 GM. Ceci résulte de la propriété du centre de gravité G du triangle ABC.

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2.4. Décagone

Tracer un cercle c₁ de centre O, un diamètre [IA], puis le cercle c₂ de centre I et de rayon IA. Construire un rayon [IB] perpendiculaire à [IA].
La droite (BO) rencontre le petit cercle en J et K (BJ<BK).

Le cercle c₃ de centre B passant par J rencontre le grand cercle en B₁ (et en B₉). Reporter l'ouverture BB₁ sur le cercle en B₂, puis de B₂ en B₃, etc.

On peut continuer la construction du décagone avec les symétries par rapport aux droites (IA) et (IB). Les points B₃ et B₇ sont aussi situés sur le cercle de centre B, passant par K.

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Voir pentagone : méthode des cercles tangents
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2.5. Dodécagone

On choisit OA comme unité.

Un dodécagone régulier est inscrit dans le cercle (c) de centre O et de rayon 1.

On le partage en 12 triangles isocèles.

Dès la cinquième on peut, en remarquant que le triangle isocèle OBB’ ayant un angle de 60° est équilatéral, montrer que BB’ = 1.

La hauteur BK du triangle OAB est égale à et l'aire du triangle est égale à .

Le dodécagone a donc une aire égale à 3. Elle est inférieure à l'aire du cercle (c), d'où 3 < π.

Au lycée on montrera que OH = cos =
voir angle-trigonométrie.

En choisissant OI = = on construit un dodécagone tangent extérieurement au cercle (c) d'aire 3 OI² ≈ 3.22,
donc 3 < π < 3,22.

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2.6. Carré dont les côtés passent par quatre points

On donne quatre points A, B, C, D. Faire passer une droite par chaque point de telle sorte quelles déterminent un carré.

Problème assez difficile ne faisant malgré tout appel qu'à des connaissances de troisième.

Supposons le problème résolu. MNPQ est le carré cherché de centre O.

Dans la rotation d'un quart de tour de centre O, B a pour image B’ et C a pour image C’. B’C’ = BC ; BC et B’C’ faisant un angle de 90°. Comme B et C sont sur les droites portées par deux côtés du carré, les images B’ et C’ sont sur les deux autres droites portées par les deux autres côtés perpendiculaires. Dans la translation qui transforme B’ en D, le point C’ a pour image un point D₁ situé sur la droite (AC’). B’DD₁C’ est un parallélogramme [DD₁] étant parallèle et égal à [B’C’].
Donc, (DD₁) est perpendiculaire à (BC) avec DD₁ = BC.

Démonstration : par construction, MNPQ est un rectangle (trois angles droits).

Deux côtés consécutifs de MNPQ ont la même longueur ?

Soit B’ le projeté orthogonal de B sur (NP) et D’ le projeté orthogonal de D sur (MN).

Les triangles rectangles B’BC et D’DD₁ ont leurs côtés deux à deux perpendiculaires.
L'hypoténuse [BC] est perpendiculaire à [DD₁] avec BC = DD₁. Les triangles sont égaux et BB’ = DD’.

Ce qui prouve que deux côtés consécutifs ont même longueur : MNPQ est un carré.

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2.7. La quadrature du rectangle

Construire un carré ABCD de même aire qu'un rectangle donné.

ABCD un rectangle de longueur [AB]. Rabattre D en D’ sur [AB].

Tracer un cercle quelconque passant par D’ et B, puis la tangente AT à ce cercle.
La puissance du point A par rapport au cercle est AT² = AD’ ×AB = AD × AB.

Le carré ATUV de côté [AT] répond à la question.

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Méthode de Samuel Marolois (1617)

Euclide, proposition II 14

Sur la figure ci-dessus, un rectangle ABCD.
Le transformer en un carrée, de même aire, bordé par les droites (AB) et (BC).
Réaliser la construction uniquement à l'aide d'un compas et d'une règle non graduée.

Solution

Le long de (AB), on prolonge la longueur du rectangle d'un segment [BE] égal à sa largeur, et on trace le demi-cercle qui admet ce côté prolongé pour diamètre.
L'intersection du prolongement de la largeur (le long de BC) avec ce demi-cercle définit [BT], l'un des côtés du carré BTUV.

Explication : le carré de la hauteur BT issue de l'angle droit T du triangle rectangle ATE est égal au produit des segments AB et BE découpés sur l'hypoténuse.

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III. Animation

4.1 Rosace

Par Denise PASQUET
Guadeloupe

Animation : cliquer dans une rosace et taper :
M : pour bouger les points sur le grand cercle,
E : pour bouger les points sur le petit cercle (dans l'autre sens),
T : pour tourner la rosace,
D : position de départ.