Exercices avec GéoPlan : triangles, orthocentre, médiatrice, point fixe. Problèmes de concours.
Configurations fondamentales - Seconde
Sommaire1. Puzzle et triangle isocèle |
GéoPlan en secondetriangles Hors programme : Point de concours - Translation et orthocentre Page no 61, réalisée le 6/12/2003 - mise à jour le 3/6/2009 | ||||
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Démonstrations géométriques de Pythagore |
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Exemples d'exercices pouvant être résolus, en classe de seconde, avec les configurations du planPour les triangles, il s'agit de savoir mettre en œuvre : En seconde la difficulté des raisonnements vient souvent de l'enchaînement de deux propriétés remarquables. Montrer un alignementAngle : trois points A, B, C sont alignés si l'angle ABC est nul ou plat. Deux parallèles : trois points A, B, C sont alignés si les droites (AB) et (AC) sont parallèles. Deux perpendiculaires : trois points A, B, C sont alignés si les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires à une même troisième. Voir : diamètres de deux cercles sécants. En TS, transformation : A, B et C sont alignés s'ils sont l'image de trois points alignés par une transformation (isométrie, homothétie, similitude…). Homothétie : alignement du centre, d'un point et de son image. Inégalité triangulaire : l'égalité AB + BC = AC est caractéristique de l'appartenance du point B au segment [AC]. Géométrie analytique : les coordonnées du point C vérifient l'équation de la droite (AB). Utiliser le barycentre ou les complexes en terminale. Voir : Carré et deux triangles équilatéraux - Prouver des alignements Espace : Pour prouver l'alignement de trois points dans l'espace, on peut montrer que ces trois points sont communs à deux plans sécants, ils sont alors sur la droite d'intersection de ces deux plans. Montrer que trois droites sont concourantesDeux étapes : trouver le point d'intersection de deux des droites, puis montrer qu'il appartient à la troisième droite. Droites remarquables du triangle : les trois droites sont des droites remarquables et le point de concours est alors le point remarquable correspondant (centre de gravité, orthocentre…). Homothétie : Le point de concours est le centre d'une homothétie. Barycentre |
1. Puzzle et triangle isocèle
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Recomposer les quatre pièces du carré permet d'obtenir un triangle isocèle. Les angles à la base ont pour tangente 2 : tan(KÔJ) = KJ/OJ = 2
2. Puzzle et carrés
Deux droites perpendiculaires, passant par le centre d'un carré, le partagent en quatre quadrilatères égaux. Avec les mêmes pièces, former deux carrés. Solution : le deuxième carré est un trou au centre du grand carré. Cinq pièces Avec les quatre quadrilatères et le petit carré central, on obtient un puzzle de cinq pièces qui permet d'obtenir : Ce puzzle permet de retrouver le découpage de Périgal, une des démonstrations géométriques du théorème de Pythagore.
3. Propriété de Thalès : une moyenne géométrique
Placer les points F sur [OY) et C sur [OX) tels que les droites (AE) et (BF) soient parallèles, ainsi que les droites (BE) et (CF). Montrer que OB2 = OA × OC.
Théorème de Thalès en troisième : moyenne géométrique 4. Utiliser un orthocentreD'après Déclic - Maths seconde - Hachette -2000 ABC est un triangle rectangle en A, de hauteur (AK). Montrer que la droite (CH) est perpendiculaire à (AM). Indication (AK) et (MI) sont deux hauteurs du triangle AMC qui se coupent en H. H est donc l'orthocentre du triangle AMC. (CH) est la troisième hauteur de ce triangle. La hauteur (CH) est perpendiculaire au côté [AM].
Sommaire 5. Reconnaître un orthocentre
ABC est un triangle. Le cercle de diamètre [AB] recoupe les côtés [BC] et [AC] en H et K. Que représente le point I, intersection de (AH) et (BK) pour le triangle ABC ? Montrer que la droite (CI) est perpendiculaire au côté [AB]. Indication (AH) et (BK) sont deux hauteurs du triangle ABC. I est donc l'orthocentre du triangle ABC. (CI) est la troisième hauteur de ce triangle. Cette hauteur (CI) est perpendiculaire au côté [AB].
6. Point d'une médiatrice
(AH) et (BK) sont deux hauteurs du triangle ABC. Indication H et K sont deux points du cercle de diamètre [AB].
Sommaire 7. Point fixe
La parallèle à (AC) passant par M coupe le côté [AB] en E et la parallèle à (AB) passant par M coupe le côté [AC] en F. Montrer que la médiatrice (d) de [EF] pivote autour d'un point fixe lorsque M décrit le segment [BC]. Démonstration avec une rotation Soit O le centre du cercle circonscrit à ABC, point de concours des médiatrices.
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Quatre pièces
Soit A et B deux points sur une demi-droite [OX) et E un point sur [OY).
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D'après Déclic - Maths seconde - Hachette -2000
D'après
Déclic - Maths seconde - Hachette -2000
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transforme A en B, C en A et donc F en E puisque8. Deux rectangles de même aire
Un exercice de Pierrick Bouttier
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ABCD et AEFG sont deux rectangles de même aire.
Commandes GéoPlan |
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Indicationsa. Réciproque de Thalès De l'égalité des aires des rectangles AB × AD = AE × AG on tire Notons K le point d'intersection de [CD] et [EF ] ; les rectangles ABCD et AEFG ayant même aire, par soustraction de la partie commune on en déduit que les rectangles BCKE et DKFG ont la même aire ; d'où KC × KE = KD × KF
et par suite Les droites (CF) et (BG), parallèles à (DE), sont parallèles. b. Géométrie analytique AB = b, AD = d, AE = e, AG = g. La droite (DE) a pour équation La droite (BG) a pour équation La parallèle à (DE) passant par C(b, d) a pour équation |
= 
. Les droites (BG) et (DE) sont parallèles d'après la réciproque de Thalès dans le triangle rectangle ABG avec la sécante (DE).
= 
.
= 
.
+ 
= 1.
+ 
= 1. En multipliant les deux termes de cette équation par l'aire S on trouve dx+ ey = bd.Faire de la géométrie en seconde |
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