Les problèmes du BOA : construction de carrés autour d'un triangle - Figure de Vecten - Symédianes.
Carrés autour d'un triangle BOA
SommaireDeux carrés autour de BOA1. La médiane de l'un est la hauteur de l'autre Page no 92, réalisée le 20/8/2006, modifiée le 29/10/2009 |
Trois carrés autour de BOA6.a. Figure de Vecten Quatre carrés autour d'un quadrilatère8. Quadrilatère : théorème de Von Aubel Triangles autour d'un triangle BOA | ||||
GéoPlan |
Seconde |
Faire de la géométrie dynamique | |||
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Voici quelques configurations pouvant facilement s'étudier de diverses manières : avec les transformations (rotations - homothéties), le produit scalaire en première S ou les complexes en terminale S. Deux carrés autour de BOAUn triangle, deux carrés autour du triangle, voici une configuration d'une grande richesse où les 5 exercices ci-dessous conduisent à 15 sujets pouvant être traités aux trois niveaux du lycée. 1. La médiane de l'un est la hauteur de l'autreBOA est un triangle quelconque tel que ( Montrer que la droite (OJ) est une hauteur du triangle BOA et que OK = AB. |
, 
) = α (α Î ]0, π[)|
Indications Utiliser l'invariance d'un carré dans la rotation d'angle 90°, dont le centre est le milieu du carré du carré.
Démonstration avec une rotation de centre O, voir triangle du BOA |
Dualité : la médiane [OI] du triangle BOA est hauteur du triangle COE
Commandes GéoPlan : Touche 1 : (OL) hauteur de OCE, |
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Classe de première S - produit scalaire
Al-Kashi permet de calculer AB2 : c² = a² + b² - 2 ab cos α, TS - nombres complexes L'apport des complexes est la grande simplicité des calculs et la mise en évidence directe de la rotation z’ = iz. Prendre O comme origine, les affixes des points sont notées par les minuscules correspondantes. c = ia, e = −ib donc k = i(a-b) ; d'où |k| = |a-b| avec |k| = OK, |a-b| = AB, soit OK = AB ; arg(k) = |
= 
+ 
; 
= 
+ arg(a-b) d'où (
, 2.a. Droites perpendiculaires
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Complexes : bac S, Toulouse 1985 Construction de deux carrés OADC et OEFB à l'extérieur du triangle BOA. Montrer que les droites (BD) et (AK) sont perpendiculaires, et que BD = AK.  Indication Cas particulier : BOA rectangle en O, voir Renan Commande GéoPlan
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Solution
Soit BARS le carré de côté [BA], de centre O3, situé du même côté de (BA) que O. La rotation de centre O3 et d'angle AR = BA = OK et (AR), perpendiculaire à (BA), est parallèle à (OK), L'image de D par la rotation est donc K, [BD] a pour image [AK] : Remarques : le triangle SKR, translaté du triangle BOA, est isométrique à BOA. FKD est un triangle rectangle isocèle en K : voir 3. |
b. Droites concourantesLes droites (BD) et (AF) sont concourantes en M. Indication Le point M est situé sur la droite (OK), hauteur de BOA, qui est aussi une médiane de OCE. En effet M, point commun aux hauteurs (AF) et (BD), est l'orthocentre du triangle ABK. (KM) est la troisième hauteur perpendiculaire à (AB) issue de K. On a vu au paragraphe 1 que les points O, J sont alignés sur une perpendiculaire à (AB) passant par K, la droite (KM). Autre formulation avec des triangles rectangles isocèles : Sommaire 3. Quadrilatère de Varignon
Soit I le milieu de [AB], O1 et O2 les centres des carrés. Le triangle IO1O2 est rectangle isocèle. En effet, la rotation de centre O et d'angle Le quadrilatère ABEC est un pseudo-carré (quadrilatère orthodiagonal à diagonales de même longueur). Il est de même pour [IO1] et [IO2], segments des droites des milieux des triangles BAC et ABE, respectivement parallèles aux segments précédents et de longueurs moitiés.
Montrer que les centres des carrés et des parallélogrammes sont les sommets d'un carré. Indications Le théorème de Varignon affirme que IO1JO2 est un parallélogramme dont les côtés sont parallèles aux diagonales [AE] et [BC] du quadrilatère BACE, avec IO1 = BC/2 et IO2 = AE/2. Nous avons montré ci-dessus que ces deux diagonales sont de longueurs égales et perpendiculaires ce qui permet d'assurer que IO1JO2 est un carré. Le concours EPF de 2003 propose un repère d'origine O et d'introduire les affixes des points A, C, B et E (voir : annales ABC bac S - Nathan).
4. Triangle rectangle isocèle
Le point K complète le parallélogramme EOCK. Montrer que le triangle DFK est rectangle isocèle. Indication L'homothétie de centre O de rapport Remarque Le point O3, milieu de [DF] est le sommet d'un triangle rectangle isocèle d'hypoténuse [AB]. Voir 2.a.
4.b. Bissectrices
Les droites (BC), (AE) et (DF) sont concourantes en I. On a démontré dans les triangles du BOA - chapitre 1, que les droites (BC) et (AE) sont perpendiculaires. Les droites (OI) et (DF) sont les bissectrices des droites (BC) et (AE) et réciproquement. La démonstration se fait en remarquant que I est le deuxième point d'intersection des deux cercles c1 et c2 circonscrits aux carrés puis en étudiant les angles inscrits dans ces cercles : les angles OÎD et OÎF, interceptant
des demi-cercles, sont égaux à O1 et O2 étant les centres des cercles c1 et c2, la droite (O1O2) est parallèle à (DF) et est perpendiculaire à (OI).
5.a. BOA triangle rectangle - Homothéties
Le but de l'exercice est de montrer que les droites (OK), (AF) et (BD) sont concourantes. Pour cela, on appelle S l'intersection de (AF) et (BD), puis on définit : h1 : l'homothétie de centre S qui transforme D en B, On utilise le fait que l'image d'une droite par une homothétie est une droite parallèle et que la composée de deux homothéties de même centre est une homothétie de même centre. La médiane [OI] de COE est hauteur du triangle BOA. Nombres complexes : bac S national 2005
5.b. BOA triangle rectangle : Hauteur de l'un, médiane de l'autre - Calcul d'angles
OACE et ODFD sont deux carrés de sens direct aux côtés parallèles, ayant uniquement le sommet O en commun. Les points J, C, O et F sont alors alignés. Indication Pour montrer que la hauteur (OH) est perpendiculaire à (DE), utiliser la propriété du triangle rectangle vue au collège « le milieu de l'hypoténuse est équidistant des trois sommets », d'où des triangles isocèles, puis des égalités d'angle…, jusqu'à conclure avec des angles complémentaires.
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Classe de seconde
Construction de deux carrés OADC et OEFB à l'extérieur du triangle BOA.
transforme DFK en O1O2J, triangle dont les sommets sont les milieux des carrés et du parallélogramme. Ce triangle, moitié du carré de Varignon étudié ci-dessus est un triangle isocèle rectangle.
Construction de deux carrés OADC
et OEFB à l'extérieur du triangle BOA.
.
Construction de deux carrés OADC
et OEFB à l'extérieur du triangle BOA rectangle en O.
Classe de secondeTrois carrés autour de BOA
6.a. Figure de Vecten (1817)
Construction de trois carrés OADC, OEFB et ABLM à l'extérieur du triangle BOA.
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Les segments [OO1] et [O2O3] sont de même longueur et orthogonaux. |
Les hauteurs du triangle O1O2O3 sont les droites (OO1), (AO2) et |
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Solution par composition de similitudes En examinant la figure ci-dessus à gauche, on voit que la similitude S(B,
La composée de ces deux similitudes est une rotation d'angle On raisonne de même pour [AO2] et [O1O3] ; [BO3] et [O1O2]. Solution par calcul d'affixes de complexes Les affixes des points sont notées par les minuscules correspondantes. De même, le vecteur Et On a donc 2(o2 - o3) = 2oi + b(1 - i) - a(1 + i) [O2O3] et [OO1] sont orthogonaux et de même longueur.
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, 
, 
est directement orthogonal au vecteur 
est orthogonal au vecteur 
, donc f - b = i(o - b). O2 est le milieu de [FO] et o2 vérifie :|
Figure 3
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Figure 4
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Figure 3 : la rotation de centre A et d'angle Soit O1 le centre du carré ABLM. Nous trouvons ici que K1 est situé sur la droite (OO1). Mêmes raisonnements avec les deux autres carrés : Figure 4 : compléter avec les points P, Q et R en construisant les parallélogrammes COEP, DAMP et FBLR. Les droites (OP), (AQ) et (BR) sont les hauteurs de BOA. La hauteur (OP) contient le point P1 intersection de (AF) et (BD), de même (OP) contient le point P2 intersection de (LQ) et (MR). |
b. Extriangles : triangles extérieurs
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Les triangles DAM, OCE, BFL à l'extérieur du triangle BOA ont même aire que BOA. Pour le montrer sur le triangle DAM par exemple, il suffit d'opérer une rotation de 90° du triangle autour de son sommet A. La base AM vient dans le prolongement de BA, avec la même longueur.
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Les médiatrices des côtés des triangles extérieurs,
Sommaire |
c. Symédianes
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Définition La symédiane en O du triangle BOA est la droite (d) telle que cette droite (d) et la médiane issue de O ont pour bissectrice la bissectrice de BÔA. Les droites (CD) et (EF) se coupent en P, Symédiane (OP) en O du triangle BOA : |
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Les droites (OP), (AQ) et (BR) sont les symédianes du triangle BOA. Leur point d'intersection K est le point de Lemoine du triangle.
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Les tangentes au cercle circonscrit, menées à partir des sommets d'un triangle, se coupent sur les symédianes de ce triangle.
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Lemoine Émile, mathématicien français spécialiste de la géométrie du triangle, 1840- 1912 Les trois symédianes d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le point de Lemoine ou point symédian du triangle. Les distances de ce point aux trois côtés du triangle sont proportionnelles à ses côtés.
Ces points sont cocycliques et sont situés sur un cercle dit de Tücker du triangle ABC. Le centre du cercle est le milieu du segment formé par les centres des cercles circonscrits aux triangles ABC et A’B’C’. Démonstrations : Sortais Yvonne et René - La géométrie du triangle - Hermann 1997
d. BOA triangle rectangle - Figure d'Euclide
Le point O est sur la droite (O2O3) et [OO1] est la hauteur du triangle O1O2O3 issue de O1. AF et BK sont égaux et orthogonaux. Les droites (AF), (BK) et (O1O2) sont concourantes en un point situé sur le cercle circonscrit. Enfin, les triangles rectangles AOT et AEF sont semblables, d'où les rapports Les triangles rectangles BOU et BCD sont semblables d'où les rapports On a donc OT = OU.
7. Théorème de Neuberg
I1, I2, I3 sont les centres des trois carrés construits intérieurement sur les côtés du triangle O1O2O3. Montrer que les points I1, I2 et I3 sont les milieux des côtés du triangle BOA.
Sommaire Quatre carrés autour d'un quadrilatère8. a. Quadrilatère : configuration de Von Aubel
Théorème de Von Aubel : Le quadrilatère PQRS est un pseudo-carré. SolutionSoit I, J, K et L les milieux des côtés de ABCD et On a : 2
On a donc Nombres complexes : bac S national 2005
b. Parallélogramme - Théorème de Thébault
Le quadrilatère PQRS formé par les centres des carrés est un carré. Victor Thébault 1882-1960 PreuveEn effet, la rotation de centre R et d'angle De même, par la rotation de centre P et d'angle Le quadrilatère PQRS a ses quatre angles droits et des côtés consécutifs égaux : c'est un carré.
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Dans une homothétie de rapport k positif (k ≠ 1), le triangle ABC a pour image A’B’C’. Les côtés du triangle A’B’C’ rencontrent ceux de ABC en six points.
La figure du « moulin à vent » utilisée par Euclide, pour la démonstration du théorème de Pythagore, suggère des résultats inattendus :
O1, O2, O3 sont les centres des trois carrés construits à l'extérieur du triangle BOA.
Construction de quatre carrés à l'extérieur d'un 
la rotation vectorielle d'angle 
= 2 
= (
) - (
+ 
,
= 2 
- 2 
= 
.
) = 
) + 
)
+ 2 
.
Construction de quatre carrés à l'extérieur d'un parallélogramme ABCD.…avec | Construction du pentagone régulier | Collège | GéoPlan | Démonstrations géométriques de Pythagore | |
SommaireDeux carrés autour de BOA1. La médiane de l'un est la hauteur de l'autre Trois carrés autour de BOA6.a. Figure de Vecten Quatre carrés autour d'un quadrilatère8. Quadrilatère : théorème de Von Aubel |
Triangles autour d'un triangle BOA
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