Puissance d'un point par rapport à un cercle

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Géométrie du cercle

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puissance d'un point

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en : power of a point
de : Die Potenz eines Punktes bezüglich eines Kreises

Notion disparue de l'enseignement français au lycée.

Théorème d'Euclide
Si deux droites passant, par un point A, coupent un cercle (c), l'une en B et C, l'autre en D et E, on a :

AB × AC = AD × AE.

Dans le cas où A est à l'intérieur du cercle, pour le démontrer, il suffit de remarquer que les triangles ABE et ADC sont semblables ayant les angles en A opposés par le sommet et les angles inscrits BCD et BÊD égaux.
En écrivant l'égalité des rapports = , on conclut avec le produit des « extrêmes » égal à celui des « moyens ».

Lorsque A est à l'extérieur du cercle, avec une tangente (AT), on a :

AB × AC = AD × AE = AT².

Définition

Pour un point A extérieur à un cercle (c), la puissance du point A par rapport au cercle est le produit AB × AC, où une sécante issue de A coupe le cercle en B et C. Cette puissance est constante lorsque la droite varie.
Elle est égale au carré de la longueur AT d'une tangente au cercle issue de A :

AB × AC = AT².

Elle est aussi égale à la différence du carré de la distance du point au centre du cercle moins le carré du rayon : AB × AC = AO² - OT² = d²- r².

Si le point A est à l'intérieur du cercle la puissance négative est égale à :

- AB × AC = d²- r².

Mesures algébriques

Quel que soit le point A, la puissance du point A par rapport au cercle est le produit  × .

Réciproques :

• si les droites (BC) et (DE) se coupent en un point A et qu'on a AB × AC = AD × AE (avec l'ordre des points A, B, C le même que l'ordre des points A, D, E), alors B, C, D et E sont cocycliques,
• l'égalité AB × AC = AT² est suffisante pour affirmer que la droite (AT) est tangente au cercle.

Démonstration : angles inscrits et triangles semblables - A extérieur au cercle

L'angle inscrit CBT interceptant l'arc CT est égal à l'angle CTT’ de la corde [TC] et de la tangente (TT’). Les angles supplémentaires ABT et ATC sont aussi égaux et les triangles ABT et ATC ont cet angle égal et l'angle  en commun : ils sont donc semblables.

Des rapports de similitude égaux = on déduit, avec l'égalité des produits des « extrêmes » et des « moyens », que AB × AC = AT².
Il résulte que le produit AB × AC ne dépend pas de la sécante, mais seulement du point A.

En particulier pour la sécante (AO) la puissance du point A est aussi AD × AE = (AO - OD) × (AO + OE) = AO² - OE² = d² - r².
Résultat conforme à la relation de Pythagore dans le triangle rectangle AOT.

Télécharger la figure GeoGebra puissance_point.ggb
Télécharger la figure GéoPlan puissance_point2.g2w

Lors du téléchargement le fichier GeoGebra est enregistré sous le nom « puissance_point.zip », le renommer avec l'extension « .ggb ».

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Page créée le 16/1/2009
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