Vitre cassée

La géométrie dynamique
avec GeoGebra

IG maths : les arcs en architecture

Anse de panier

Faire de la géométrie dynamique

1. Problème

On doit remplacer le carreau cassé au-dessus d’une porte d’entrée.

Comment le vitrier peut-il faire pour construire ce carreau ?

On utilise le logiciel GeoGebra :

On crée trois nombres :
   • grand axe, largeur de l'ellipse : l = 1,04,
   • la flèche : f = 0,26
   • et h la hauteur de la porte (ajustée à la taille de l'écran).

Télécharger la figure GeoGebra fenetre_arc_cercle.ggb
Lors du téléchargement le fichier GeoGebra est enregistré sous le nom « fenetre_arc_cercle.zip », le renommer avec l'extension « .ggb ».

Déterminer la position du centre du cercle :
  • technique de l'intersection de deux médiatrices de [AB] et de [BF], où F est le milieu de l'arc AB) ;
  • Les triangles rectangles OFB et JFI sont semblables (côtés perpendiculaires).

Déterminer le rayon r du cercle et l'angle au centre de l'arc AB :

Des rapports de similitudes IF/BF = JF/ OF, avec a = l/2 = OB, f = OF et d = BF où Pythagore dans OFB donne d² = a² + f²,
on trouve IF/d = (d/2)/f soit r = IF = d²/(2f) = (a² + f²)/(2f).

Avec α = AÎB, l'aire de la vitre est égale à l'aire πr²(α/360) du secteur circulaire IAB moins l'aire IO × AB du triangle IAB.

Télécharger la figure GeoGebra fenetre_ellipse.ggb

Avec GeoGebra il est facile de tracer l'ellipse de grand axe AB = l = 1,04 = 2a, de demi-axe OF = f = 0,26 en plaçant sur [AB] les foyers F et F’ d'abscisses c = rac(a² - f ²) et -c.

Technique : comment effacer avec GeoGebra la demi-ellipse située sous (AB) : remplir le rectangle ABCD, condition d'affichage ?

L'aire de la demi-ellipse est égale à π af.

La fenêtre est certainement placée sous une voûte. Depuis l'antiquité avec Héron d'Alexandrie, on utilise l'anse de panier pour les dessiner.

Une anse de panier est une courbe destinée à remplacer une demi-ellipse, courbe formée d'un en nombre impair d’arcs de cercle, souvent utilisée en architecture pour réaliser une voûte.

Sa forme se rapproche de celle de l'ellipse.

Nous utilisons la méthode de Huyghens, de partage en trois arcs de cercle correspondant à des angles au centre de 60°, arcs qui facilitent les calculs.

Arc (architecture) ; photo : Miroslav Zlevský

Sur le grand axe [AB], de longueur 2a, décrivons une demi-circonférence de milieu E.
Partageons ce demi-cercle en trois arcs de même longueur aux points N et N’.
Par le sommet F de la flèche, traçons les parallèles à (EN) et (EN’). Elles coupent [AN] et [AN’] en M et M’.
Les parallèles à (ON) et (ON’) coupent [AB] en J et K et se coupent en I.
Les points J, I et K sont les centres de trois arcs cherchés.

La surface de la vitre se calcule facilement avec l'aire des trois secteurs circulaires, d'angles 60° (mesurant πr² avec r = JM ou r = IM), diminuée de l'aire du triangle équilatéral IJK.

Télécharger la figure GeoGebra fenetre_anse_panier.ggb

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Page n^o 183, créée le 1/12/2011
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