Travaux pratiques de géométrie avec GeoGebra. Feuille de travail dynamique.
MIAM : échelle contre un mur |
Faire de la géométrie dynamique |
1. ProblèmeUn problème très ancien, trouvé sur une tablette babylonienne de 2000/1800 avant J.-C. : « Un bâton 5 unités de longueur est appuyé contre un mur. Le haut glisse d'une unité. Intérêt Les élèves n'ont pas d'idée immédiate du résultat et plusieurs conjectures peuvent surgir. La construction d'un segment de longueur constante dont les extrémités sont mobiles sur des demi-droites perpendiculaire nécessite l'élaboration d'une stratégie de construction. La démonstration est accessible en classe quatrième.
Une autre version : Une échelle de 7 m est appuyée contre un mur, Étudier le lieu du milieu de l'échelle. Télécharger la figure GeoGebra echelle.ggb Bug : lors du téléchargement le fichier GeoGebra est enregistré sous le nom « echelle.zip », |
Télécharger la figure GeoGebra echelle2.ggb Le lieu du milieu I de [AB] est un quart de cercle de centre O de rayon égal à la moitié de la longueur de l'échelle. Indication OAB un triangle rectangle et le segment [IO] est la médiane de ce triangle, issue de l'angle droit, médiane égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse [AB]. Compétences mathématiques En classe de cinquième, on inscrit le triangle rectangle AOB dans un rectangle AOBC et on exploite les propriétés des diagonales. Problème de Pappus - échelle contre un mur Dans un repère Oxy, on considère un carré OIJK de côté a avec I sur [Ox) et J sur [Oy). Une échelle de longueur l, passant par J, est posée en A sur la demi-droite [Ox) et s'appuie en B sur la demi-droite [Oy). |
3. Lieu d'un point de l'échelleÉtudier le lieu d'un point G situé sur le segment [AB]. Dans ce cas particulier, le point G est le barycentre des points pondérés (A, 1-k) et (B, k) ; avec k ≠ 0. On trouve un quart d'ellipse comme lieu du point G. Télécharger la figure GéoPlan echelle_contre_mur.g2w Démonstration analytique - Après bac On note a l'abscisse de A, b l'ordonnée de B et l la longueur de l'échelle. Dans le triangle rectangle OAB, on a la relation de Pythagore a2 + b2 = l2. Soit G(x, y) un point fixe de l'échelle tel que AG = k AB (0 < k < 1). Soit H(x, 0) et K(0, y) les projections de G sur les axes. Par substitution dans la relation de Pythagore on a : |
4.Lieux des barreaux d'une échelleÉchelle à cinq barreaux Une échelle, de longueur 6, a cinq barreaux. On représente les lieux des cinq barreaux à partir des points : G barycentre des points pondérés (A, 5) et (B, 1),
Les trajectoires sont des arcs d'ellipses. Télécharger la figure GéoPlan echelle_contre_mur2.g2w |
Faire de la géométrie dynamique…Page no 184, créée le 24/1/2012 Bibliographie : Le LGD mène l'enquête, IREM de Lyon |