Les mathématiques de la tarte à la crème
Les problèmes de partage en parts égales
Sélection d'articles sur le partage d'aires.
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Vingt ans après la chute du mur de Berlin et la fin des utopies socialistes, il semble que le partage équitable n'intéresse plus grand monde. Reste au géomètre le loisir de se poser le problème du partage en parts égales. |
1. Partages du triangle
1.1. Partage du triangle en deux
Partage à partir d'un sommetFigure extraite de l'article aire et médiane
Une médiane partage un triangle en deux triangles d'aires égales.
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Partage à partir d'un point I situé sur un des côtésExtrait de l'article olympiades 2004
Soit I le milieu de [AC] La droite, passant par P, qui divise ABC en deux parties d'aires égales coupe l'un des côtés [AB] ou [AC] en un point M tel que (MI) est parallèle à (BP).
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1.2. Partage du triangle en trois ou en sixSoit G le centre de gravité d'un triangle ABC, point d'intersection des médianes [AA’], [BB’] et [CC’]
Les trois triangles ABG, BCG et ACG sont d'aires égales. Corollaire : [GA’] est la médiane de GBC, les triangles GA’B et GA’C ont même aire. On en déduit que G permet le partage du triangle ABC en six triangles d'aires égales. Extrait de l'article théorème du chevron
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1.3. Partage du triangle en quatrePour partager un triangle en quatre triangles d'aires égales, tracer le triangle médian.
Les droites des milieux partagent un triangle en quatre triangles homothétiques : dans le rapport
Remarque : le partage en 9 se fait avec un triangle homothétique trois fois plus petit, et en général pour n carré d'un entier p, construire les triangles homothétiques dans un rapport p. |
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pour le triangle médian, dans le rapport 
pour les trois autres.
Partage du triangle en sept triangles de même aire
Sur les côtés du triangle ABC, placer les points I, J, K tels que : P, Q et R sont les points d'intersection des droites (AI), (BJ) et (CK). Le triangle PQR est 7 fois plus petit que le triangle ABC. Aire(PQR) = Aire(ABC)/7. Aire(APC) = Aire(AQB) = Aire(BRC) = 2 Aire(ABC)/7. Avec les milieux M, N et P des côtés du triangle ABC, en traçant les médianes des trois triangles précédents, on obtient six triangles, représentés sur la figure en vert ou en blanc, d'aire égale à celle de PQR.
Paragraphe extrait de la page triangles en seconde |
AB,2. Partages du carré
Partage en quatre
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Partage par les médiatrices en quatre petits carrés.
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Partage par les diagonales en quatre triangles rectangles isocèles.
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Deux droites perpendiculaires, passant par le centre d'un carré, le partagent en quatre quadrilatères égaux.
Voir aussi : puzzle et carrés et puzzle de Périgal
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Carré d'aire cinq fois plus petite…
I, J, K et L sont les milieux des côtés d'un carré ABCD (longueur du côté AB = a). PQRS est un carré, d'aire égale à Un découpage de ABCD permet de reconstituer 5 petits carrés en collant aux 4 trapèzes adjacents au carré central PQRS, les 4 triangles rectangles : faire pivoter ces triangles par des rotations de 180° autour des milieux des côtés du grand carré. Les triangles ABL, BCP, CDQ et DAR ont même aire que PQRS, soit Paragraphe importé de la page produit scalaire
Voir aussi : olympiades 2008 - un partage équitable |
de l'aire de ABCD.3. Partages du rectangle
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Dans ce découpage classique, la part du milieu a moins de croûte que les deux autres.
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Le géomètre peut proposer cette solution où toutes les parts ont même quantité de croûte. La troisième part est formée par le polygone croisé hachuré.
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4. Partages du parallélogramme
Partage en deuxUne diagonale d'un parallélogramme le partage en deux triangles d'aires égales. 4.1. Partage d'un parallélogramme en deux polygones croisésM est un point variable à l'intérieur du parallélogramme ABCD.
La somme des aires des deux triangles hachurés est égale à celle des deux triangles non hachurés. Paragraphe extrait de la page aire du parallélogramme.
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Partage en cinq
On obtient le petit parallélogramme à partir du grand, en joignant les sommets aux milieux des côtés suivants (dans le sens direct). Paragraphe extrait de la page parallélogramme.
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Télécharger la 5. Partages de quadrilatères
Pour les amateurs de calcul :
Diviser en deux l'aire d'un trapèzeDiviser un trapèze en deux parties d'aires équivalentes par une parallèle aux bases. |
Partage en deux d'un trapèze par un sommet |
6. Partages du cercle
Partage en six - Construction d'un hexagone régulier
Pour découper un disque (c) de centre O, en six parties égales, partager en quatre un diamètre [AD] avec les points I milieu de [OA] et J milieu de [OD]. Les perpendiculaires au diamètre en I et J rencontre le cercle (c) aux points cherchés. Indication ABCDEF est un hexagone régulier de côtés de même longueur que le rayon du cercle.
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Triangle |
GéoPlan 5e |
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Sommaire1. Partages du triangle |
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