Pavage du plan avec des carrés, pentagones, hexagones ; triangles et rectangles d'or.
	Pavage avec GéoPlan	Faire de la géométrie dynamique

1. Patchwork

Est-il possible de réaliser un patchwork avec des pièces de tissus, ayant tous la forme de ce quadrilatère convexe ?
Il s'agit d'obtenir un grand morceau de tissu plan, sans laisser de vide et sans que deux morceaux se recouvrent.

Solution

Il est possible de paver le plan avec n'importe quel quadrilatère convexe.

Il suffit de construire les symétriques du morceau initial par rapport au milieu de chacun de ses quatre côtés et de réitérer l'opération.

Cliquer dans la figure et déplacer A, B, C ou D.
Taper P pour le polygone initial.

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2. Pavage non périodique du plan - Rectangle d'or

Extrait de la page : nombre d'or

Il est possible de paver le plan à partir de rectangles d'or. Ce pavage non régulier est formé de rectangles de plus en plus grands.

Une bonne occasion d'utiliser la fonction de création itérative de GéoPlan :

Tracer un rectangle d'or initial A₀B₀F₀E₀ à partir du carré A₀B₀C₀D₀. Tracer A₀E₀A₁B₁. B₀F₀A₁B₁ est un rectangle d'or. Remplacer A₀, B₀, F₀, E₀ respectivement par C₁, F₁, E₁, D₁ pour obtenir le rectangle d'or A₁B₁F₁E₁ contenant le carré A₁B₁C₁D₁ de niveau 1. Avec la commande d'itération (touche S) tracer les carrés suivants.

En traçant dans chaque nouveau carré, le quart de cercle de centre D_n, reliant A_nA_n+1, on obtient la spirale d'or C₀A₀A₁A₂…

Cliquer sur la figure de gauche et à chaque frappe de la touche S un nouveau triangle est créé. Faire apparaître un plus grand nombre de triangles avec un zoom par appui sur la touche <.

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3. Triangle d'or

Il est possible de paver le plan à partir de triangles d'or. Ce pavage non régulier est formé de triangles de plus en plus grands.

À partir du triangle A_nA_n+1A_n+2 créer le point A_n+3 tel que A_n+1A_nA_n+3 soit une section d'or et recommencer.

Encore une occasion d'utiliser la fonction de création itérative de GéoPlan :

tracer un triangle d'or initial A₀B₀C₀. Trouver le point A₁ tel que B₀C₀A₁ forme une section d'or. Remplacer A₀ et B₀ respectivement par B₁, C₁ pour obtenir le triangle d'or A₁B₁C₁ de niveau 1. Avec la commande d'itération (touche S) tracer les triangles suivants.

Cliquer sur la figure de gauche et à chaque frappe de la touche S un nouveau triangle est créé. Faire apparaître un plus grand nombre de triangles avec un zoom par appui sur la touche <.

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4. Composer un carré de cinq carrés égaux

Extrait de produit scalaire

Problème du carreleur : avec cinq carreaux de céramique, paver un grand carré.

Disposer les cinq carrés autour du carré central PQRS en forme de croix suisse.

Joindre A à B, B à C, C à D et D à A, on obtient un carré.

Les quatre triangles rectangles AS'S₁, BP’P₁… sont, par symétries centrales de centres S’, P’… égaux aux triangles DS’S, AP’P…

En découpant les quatre triangles AS’S₁… et en les portant, par des rotations de 180°, en DS’S… on obtient un carré ABCD, d'aire égale à 5 fois l'aire de PQRS.

Puzzle : Avec les dix fragments issus de cinq carrés découpés, comme le carré ci-dessus à droite, on reconstitue le carré de gauche.

Remarque : en découpant le carré central en quatre triangles rectangles égaux à DS'S, les trapèzes autour en trois triangles et avec les quatre triangles dans les creux de la croix, on obtient un pavage du grand carré ABCD en 20 triangles rectangles.

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Voir : carré au collège
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5. Pavage d'hexagones : Méthode 1 par approximation

Extrait de Cabri-Géomètre en sixième

Créer trois centres O, O’ et O” et un point A.

Avec la macro hexagone construire les hexagones de centre O, O’ et O” passant par A.

Déplacer les centres O’ et O” pour faire coïncider les côtés des hexagones.

Puis construisez d'autres hexagones à partir de nouveaux centres.

Méthode 2 par symétries

On constate, dans la méthode précédente, que les centres sont symétriques par rapport aux côtés des hexagones.

On peut donc créer le centre O et un point A. Avec la macro hexagone construire l'hexagone de centre O passant par A. Construire le symétrique O’ du point O par rapport au segment [AB].

Avec la macro hexagone construire l'hexagone de centre O’, passant par A.

Puis construire de nouveaux symétriques des centres par rapport aux côtés des hexagones et d'autres hexagones à partir de ces nouveaux centres.

6. Pavage semi-régulier de Diane