Pavage du plan avec des pentagones, hexagones ; triangles et rectangle d'or.
Sommaire1. Patchwork 4. Cabri : pavages avec des pentagones
Page no 77, créée le 26/9/2004, mise à jour le 18/4/2010 |
Pavage non périodique du plan PuzzleComposer un carré de cinq carrés égaux Configurations du plan en seconde : Démonstrations géométriques de Pythagore : | ||||
GéoPlan en 4ème |
Collège |
Cercle - |
GéoSpace 6ème |
Faire de la géométrie dynamique |
Il s'agit d'obtenir un grand morceau de tissu plan, sans laisser de vide et sans que deux morceaux se recouvrent. Solution Il est possible de paver le plan avec n'importe quel quadrilatère convexe. Il suffit de construire les symétriques du morceau initial par rapport au milieu de chacun de ses quatre côtés et de réitérer l'opération.
2. Pavage d'hexagones : Méthode 1 par approximationExtrait de Cabri-Géomètre en sixième Créer trois centres O, O’ et O” et un point A. ![]() Avec la macro hexagone construire les hexagones de centre O, O’ et O” passant par A. Déplacer les centres O’ et O” pour faire coïncider les côtés des hexagones. Puis construisez d'autres hexagones à partir de nouveaux centres. Méthode 2 par symétriesOn constate, dans la méthode précédente, que les centres sont symétriques par rapport aux côtés des hexagones. On peut donc créer le centre O et un point A. Avec la macro hexagone construire l'hexagone de centre O passant par A. Construire le symétrique O’ du point O par rapport au segment [AB]. Avec la macro hexagone construire l'hexagone de centre O’, passant par A. Puis construire de nouveaux symétriques des centres par rapport aux côtés des hexagones et d'autres hexagones à partir de ces nouveaux centres. |
Rosace du temple de Diane à Nîmes. Reproduire cette rosace : les triangles compris entre deux carrés sont équilatéraux.
|
Pavage semi-régulier formé d'hexagones réguliers, de carrés et de triangles équilatéraux.
|
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique
Les quatre paragraphes qui suivent sont l'illustration de cet article avec Cabri-Géomètre. a. Pavage du Caire : pentagonal semi-régulier uniformeLe motif de base
À partir d'un segment [AB], tracer sa médiatrice et du milieu I de [AB] dessiner les deux bissectrices faisant des angles de 45° avec cette médiatrice. Le cercle de centre B passant par A rencontre une des bissectrices en C et par symétrie le cercle de centre A passant par B rencontre l'autre bissectrice en E. La perpendiculaire en C à (BC) coupe la médiatrice en D. ABCDE est un pentagone semi-régulier : les cinq côtés sont égaux :
Dans le triangle rectangle IBD, ID2 = BD2 − IB2 = 8 − 1 = 7, d'où ID = Deux des angles du pentagone sont droits, deux autres angles mesurent environ 114,3° et le dernier 131,4°, la somme de ces trois angles obtus est de 360° rendant possible l'assemblage de trois pentagones autour des points D et D’ (voir la figure de la macro ci-dessous). Pour une construction plus efficace du pavé de base avec Cabri, placer deux points A et B. Avec le compas mesurer AB et tracer le cercle de centre le milieu I, de rayon Macro![]() Pour faciliter le tracé, on pourra dessiner un pavé de base hexagonal formé de quatre pentagones. Pour cela, utiliser la symétrie par rapport à (CD) pour obtenir B’, la symétrie par rapport à (DE) pour obtenir A’ et la symétrie par rapport à (A’B’) pour obtenir le pentagone A”B”C’D’E’. Créer une macro ayant comme objets initiaux les points A et B et comme objets finaux tous les segments de l'hexagone. |
Le pentagone ABCDE pave le plan. b. Pavage de Marjorie Rice
![]() Sur deux droites perpendiculaires, sécantes en O, placer les points A et B, puis C symétrique de A par rapport à O. Puis on applique au triangle ABD une rotation de centre A qui amène D sur la demi-droite d'origine O contenant B. On note G l'image de D, E l'image de B et F celle de C (F est donc le milieu du segment [EG]). Le triangle ABD est donc transformé en AEG. On construit enfin H sur (BG), en projetant E sur (OB). Le pentagone AEFHB pave le plan. Pour réaliser la figure de gauche, utiliser des symétries axiales et des symétries centrales. c. Pavage de Richard E. James
![]() On dessine tout d'abord deux carrés de même centre, l'un de dimension 2, l'autre de dimension 3. On place ensuite sur le grand carré quatre points A, B, C et D de telle façon que ABCD soit un carré (de même centre que les deux autres). Chacun des segments AB, BC, CD et DA coupe le petit carré en deux points. Sur le dessin, la droite (AB) coupe le petit carré en deux points E et F. On a noté O le centre commun des trois carrés. (BC) coupe le petit carré en deux points G et H. (DA) coupe le petit carré en deux points K et L. On introduit ensuite M, le milieu du segment LE. On trace enfin la parallèle à (AM) passant par O et la perpendiculaire à (AM) passant aussi par O. La première coupe la droite (LE) en un point R. La seconde coupe la droite (FG) en un point S. Le pentagone OREFS pave le plan. d. Pavage de Rolf Stein
![]() Dans ce qui suit, a représente le nombre On trace tout d'abord deux demi-droites perpendiculaires de même origine A. Sur l'une, on place B et C de manière que : AB = a et BC = On construit ensuite D équidistant de A et B avec DA = DB = 1. On place ensuite E symétrique de D par rapport à B. Enfin, sur la demi-droite d'origine C contenant E, on place F de sorte que EF = 2. Notons G la projection orthogonale de F sur la demi-droite perpendiculaire en A à (AB), on vérifie que FG = 1. Le pentagone ADEFG pave le plan. Construction du pentagone régulier au collége : |
6e - 5e : |
GéoPlan 5e |
GéoPlan |
GéoPlan en 2nde |
GéoSpace 3e |
|
Sommaire1. Patchwork 4. Cabri : pavages avec des pentagones
|
| ||||
Faire de la géométrie dynamiqueSuggestions, remarques, problèmes : me contacter. |