Pavage

Sommaire

1. Patchwork
2. Pavage d'hexagones
3. Pavage de Diane

4. Cabri : pavages avec des pentagones

a. Pavage du Caire
b. Pavage de Marjorie Rice
c. Pavage de Richard James
d. Pavage de Rolf Stein

Page n^o 77, créée le 26/9/2004, mise à jour le 18/4/2010

Pavage non périodique du plan
    Rectangle d'or
    Triangle d'or

Puzzle

Composer un carré de cinq carrés égaux

Configurations du plan en seconde :
    Puzzle et triangle isocèle
    Puzzle et carrés

Démonstrations géométriques de Pythagore :
    Puzzle chinois
    Puzzle de Périgal

GéoPlan en 4^ème
Théorème de Thalès

Collège
Problèmes de construction

Cercle -
Angle inscrit
au collège

Retrouver un triangle à partir de droites remarquables

GéoSpace 6^ème
Parallélépipède rectangle

Faire de la géométrie dynamique

Est-il possible de réaliser un patchwork avec des pièces identiques de tissus, ayant tous la forme de ce quadrilatère convexe ?

Il s'agit d'obtenir un grand morceau de tissu plan, sans laisser de vide et sans que deux morceaux se recouvrent.

Solution

Il est possible de paver le plan avec n'importe quel quadrilatère convexe.

Il suffit de construire les symétriques du morceau initial par rapport au milieu de chacun de ses quatre côtés et de réitérer l'opération.

Télécharger la figure GéoPlan mon_394.g2w

2. Pavage d'hexagones : Méthode 1 par approximation

Extrait de Cabri-Géomètre en sixième

Créer trois centres O, O’ et O” et un point A.

Avec la macro hexagone construire les hexagones de centre O, O’ et O” passant par A.

Déplacer les centres O’ et O” pour faire coïncider les côtés des hexagones.

Puis construisez d'autres hexagones à partir de nouveaux centres.

Méthode 2 par symétries

On constate, dans la méthode précédente, que les centres sont symétriques par rapport aux côtés des hexagones.

On peut donc créer le centre O et un point A. Avec la macro hexagone construire l'hexagone de centre O passant par A. Construire le symétrique O’ du point O par rapport au segment [AB].

Avec la macro hexagone construire l'hexagone de centre O’, passant par A.

Puis construire de nouveaux symétriques des centres par rapport aux côtés des hexagones et d'autres hexagones à partir de ces nouveaux centres.

Rosace du temple de Diane à Nîmes.

Reproduire cette rosace : les triangles compris entre deux carrés sont équilatéraux.

Télécharger la figure GéoPlan pi_diane.g2w

Pavage semi-régulier formé d'hexagones réguliers, de carrés et de triangles équilatéraux.

Télécharger la figure GéoPlan pi_diane_2.g2w

En s'inspirant du Dictionnaire Penguin des curiosités géométriques de David Wells (Éd. Eyrolles) Roland BABOUD a proposé, dans le bulletin n^o 423 d'octobre 1999 de l'APMEP (Association des Professeurs de Mathématiques), quatre types de pavages pentagonaux, ainsi que la procédure pour construire le « pavé » élémentaire. De tels pavages peuvent servir de points de départ à bien des activités géométriques et calculatoires, avec différents niveaux d'exigence, depuis la simple réalisation de dessins jusqu'à la justification précise de leur qualité de « paveurs ». Sans parler de la recherche d'autres pavages…

Les quatre paragraphes qui suivent sont l'illustration de cet article avec Cabri-Géomètre.

a. Pavage du Caire : pentagonal semi-régulier uniforme

Le motif de base

Le motif est un pentagone ayant ces cinq côtés égaux et deux angles droits, que l'on trouve, au Caire, dans l'art islamique.

À partir d'un segment [AB], tracer sa médiatrice et du milieu I de [AB] dessiner les deux bissectrices faisant des angles de 45° avec cette médiatrice. Le cercle de centre B passant par A rencontre une des bissectrices en C et par symétrie le cercle de centre A passant par B rencontre l'autre bissectrice en E. La perpendiculaire en C à (BC) coupe la médiatrice en D.

ABCDE est un pentagone semi-régulier : les cinq côtés sont égaux :
en effet, par construction AB = BC = AE. Le quadrilatère IBCD, ayant deux angles droits, est inscriptible dans le cercle de diamètre [BD].

Les angles inscrits CID et CBD sont égaux à 45°, BCD est un triangle rectangle isocèle et BC = CD.
Soit IB = 1, alors BC = CD = 2 et BD = 2 .

Dans le triangle rectangle IBD, ID² = BD² − IB² = 8 − 1 = 7, d'où ID = .
cos(IBD) = = = . IBD = 69,3°, IBC = IBD + 45° = 114,3°,
BDI = 90° − IBD = 20,7°, CDI = 45° + IBD = 65.7°, CDE = 2 CDI = 131.4°.

Deux des angles du pentagone sont droits, deux autres angles mesurent environ 114,3° et le dernier 131,4°, la somme de ces trois angles obtus est de 360° rendant possible l'assemblage de trois pentagones autour des points D et D’ (voir la figure de la macro ci-dessous).

Pour une construction plus efficace du pavé de base avec Cabri, placer deux points A et B. Avec le compas mesurer AB et tracer le cercle de centre le milieu I, de rayon × AB qui coupe la médiatrice de [AB] en D.
Le triangle BCD étant rectangle isocèle, il suffit de trouver C à l'intersection du cercle de diamètre [BD] et de la médiatrice de [BD]. Le point E est le symétrique de C par rapport à (ID).

Macro

Pour faciliter le tracé, on pourra dessiner un pavé de base hexagonal formé de quatre pentagones.

Pour cela, utiliser la symétrie par rapport à (CD) pour obtenir B’, la symétrie par rapport à (DE) pour obtenir A’ et la symétrie par rapport à (A’B’) pour obtenir le pentagone A”B”C’D’E’.

Créer une macro ayant comme objets initiaux les points A et B et comme objets finaux tous les segments de l'hexagone.

Le pentagone ABCDE pave le plan.

b. Pavage de Marjorie Rice

Voici comment construire son « pavé » :

Sur deux droites perpendiculaires, sécantes en O, placer les points A et B, puis C symétrique de A par rapport à O.
Construire ensuite D, symétrique de B par rapport à C.

Puis on applique au triangle ABD une rotation de centre A qui amène D sur la demi-droite d'origine O contenant B. On note G l'image de D, E l'image de B et F celle de C (F est donc le milieu du segment [EG]).

Le triangle ABD est donc transformé en AEG.

On construit enfin H sur (BG), en projetant E sur (OB).

Le pentagone AEFHB pave le plan.

Pour réaliser la figure de gauche, utiliser des symétries axiales et des symétries centrales.
Les traces des centres de symétrie, situés aux milieux des côtés des pentagones, ont été laissées.

c. Pavage de Richard E. James

Voici comment construire son « pavé » :

On dessine tout d'abord deux carrés de même centre, l'un de dimension 2, l'autre de dimension 3.

On place ensuite sur le grand carré quatre points A, B, C et D de telle façon que ABCD soit un carré (de même centre que les deux autres). Chacun des segments AB, BC, CD et DA coupe le petit carré en deux points.

Sur le dessin, la droite (AB) coupe le petit carré en deux points E et F. On a noté O le centre commun des trois carrés. (BC) coupe le petit carré en deux points G et H. (DA) coupe le petit carré en deux points K et L.

On introduit ensuite M, le milieu du segment LE.

On trace enfin la parallèle à (AM) passant par O et la perpendiculaire à (AM) passant aussi par O.

La première coupe la droite (LE) en un point R. La seconde coupe la droite (FG) en un point S.

Le pentagone OREFS pave le plan.

d. Pavage de Rolf Stein

Construction du « pavé » :

Dans ce qui suit, a représente le nombre
= 1,13745…

On trace tout d'abord deux demi-droites perpendiculaires de même origine A. Sur l'une, on place B et C de manière que : AB = a et BC = .

On construit ensuite D équidistant de A et B avec DA = DB = 1.

On place ensuite E symétrique de D par rapport à B.

Enfin, sur la demi-droite d'origine C contenant E, on place F de sorte que EF = 2.

Notons G la projection orthogonale de F sur la demi-droite perpendiculaire en A à (AB), on vérifie que FG = 1.

Le pentagone ADEFG pave le plan.

Construction du pentagone régulier au collége :
      TP classe de troisième
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6^e - 5^e :
Parallélogramme

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GéoPlan
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GéoPlan
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