Le parallélogramme au collège

Sommaire

1. A. Dessiner un parallélogramme
    B. Dessiner un losange
    C. Dessiner un rectangle
2. Théorème de Varignon
3. Parallélogramme et milieux : partage en trois d'une diagonale
4. Bissectrices d'un parallélogramme
5. Multiplication par cinq de l'aire d'un parallélogramme
      Multiplication de l'aire d'un carré

Page n^o 74, réalisée le 20/7/2004, modifiée le 15/1/2010

Voir aussi

Parallélogrammes en seconde

Parallélogramme avec contraintes
Construire un parallélogramme dont deux sommets sont situés sur deux droites

Calculs d'aires de parallélogrammes

Problèmes de partage

Carré au collège

Faire de la géométrie
dynamique

Démonstrations géométriques de Pythagore

GéoPlan en 3^ème
Théorème
de Thalès

GéoPlan en 5^ème
Construction de triangles

Le rectangle
au collège

Index
collège

Quadrilatère convexe, concave, croisé

Un quadrilatère ABCD est un polygone qui a quatre côtés [AB], [BC], [CD] et [DA].
Les points A et C d'une part ; B et D d'autre part, sont les sommets opposés du quadrilatère.
Les diagonales [AC] et [BD] sont les segments qui joignent deux sommets opposés.

Un quadrilatère est convexe si les deux diagonales sont à l'intérieur du quadrilatère (le parallélogramme est convexe).
Un quadrilatère est concave si (au moins) une des diagonales est à l'extérieur du quadrilatère.
Un quadrilatère est croisé si les deux diagonales sont à l'extérieur du quadrilatère. Un quadrilatère croisé est concave (papillon).

Propriétés du parallélogramme

En classe de 5^e, les élèves doivent connaître et utiliser une définition et les propriétés (relatives aux côtés, aux diagonales et aux angles) du parallélogramme.

En privilégiant les transformations, on définit un parallélogramme comme quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu.

Le point d'intersection des diagonales d'un parallélogramme est son centre de symétrie (et son centre de gravité).
La symétrie centrale permet de justifier des propriétés caractéristiques équivalentes du parallélogramme que les élèves doivent connaître :

• les côtés opposés sont parallèles,
• les côtés opposés sont la même longueur,
• les angles opposés ont la même mesure,
• les angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme fait 180°).

Les diagonales partagent le parallélogramme en quatre triangles de même aire.

Télécharger la figure GéoPlan parallelogramme.g2w

Translation, vecteur

En classe de seconde, sera faite la liaison entre parallélogramme, translation et vecteur :

On peut définir la translation à partir du parallélogramme : dire que le point M’ est l'image du point M par la translation qui transforme A en B signifie que le quadrilatère ABM’M est un parallélogramme.
Définir le parallélogramme à partir de la translation : ABCD est un parallélogramme si la translation qui transforme A en B, transforme D en C.

On peut définir le vecteur à partir du parallélogramme : = si ABCD est un parallélogramme.
Définir le parallélogramme à partir de vecteur : ABCD est un parallélogramme si = .

Propriétés caractéristiques

Les propriétés suivantes d'un quadrilatère sont équivalentes et définissent chacune un parallélogramme :

• Les côtés opposés sont parallèles deux à deux,
• le quadrilatère est convexe et les côtés opposés sont de même longueur, deux à deux,
• les diagonales se coupent en leur milieu,
• ABCD est un parallélogramme si = ,
• le quadrilatère est convexe et les angles opposés ont la même mesure deux à deux,
• les angles consécutifs sont supplémentaires deux à deux.

Contre-exemple montrant l'importance de la convexité : antiparallélogramme, quadrilatère croisé ayant ses côtés opposés de même longueur et ses angles opposés de même mesure.

1. Dessiner un parallélogramme à partir de trois sommets

Classe de cinquième 

Le but de ce chapitre est de dessiner des quadrilatères qui gardent leurs propriétés lorsque l'on déplace leurs sommets. En général, ces figures s'obtiennent à partir de trois points libres A, B et D. L'ordinateur calcule la position du point C (point lié qui ne peut pas être déplacé).

Placer trois points A, B et D, dessiner les segments [AB] et [AD], et trouver le point C qui complète le parallélogramme en utilisant une des quatre méthodes ci-dessous correspondant aux quatre définitions proposées plus haut.

a. En utilisant le parallélisme

Tracer les parallèles à (AB) passant par D et à (AD) passant par B,
nommer C le point d'intersection de ces deux parallèles.

Télécharger la figure GéoPlan paralel2.g2w
Télécharger la figure Cabri parallelogramme2.fig
Télécharger la figure GeoLabo parallelogramme_2.glb

b. Avec le compas (méthode la plus précise avec papier et crayon)

Dans le menu numérique > calcul géométrique, nommer r₁ la longueur AB et r₂ la longueur AD. Tracer les cercles de centre D de rayon r₁ et de centre B de rayon r₂. C est le point d'intersection de ces deux cercles situé dans l'angle BÂD.

Télécharger la figure GéoPlan paralel3.g2w
Télécharger la figure Cabri parallelogramme3.fig
Télécharger la figure GeoLabo parallelogramme_3.glb

c. Symétrie par rapport au milieu des diagonales

Tracer le milieu O de [BD].
Pour tracer le point C symétrique de A par rapport au point O, dans le menu point>point image par
choisir :
symétrie centrale de centre O, A point de départ, image de ce point : C.

Télécharger la figure GéoPlan paralel4.g2w
Télécharger la figure Cabri parallelogramme4.fig
Télécharger la figure GeoLabo parallelogramme_4.glb

d. Avec une translation (seconde)

En classe de seconde, utiliser la définition :
ABCD est un parallélogramme si = .

Dans le menu point>point image par choisir :

Télécharger la figure GéoPlan paralel1.g2w
Télécharger la figure Cabri parallelogramme1.fig
Télécharger la figure GeoLabo parallelogramme_1.glb

Compléter le parallélogramme avec les segments [BC] et [DC],
gommer les constructions (non dessiné).

Commandes GéoPlan
Déplacer les points A, B ou D et vérifier que ABCD est bien un parallélogramme.
Touche M : Masquer les constructions.

Prototype

GéoPlan permet d'automatiser cette dernière construction avec un prototype, permettant de trouver le 4^e sommet d'un parallélogramme.

À partir de trois points A, B et C, le prototype calcule le point D tel que ABCD soit un parallélogramme avec l'instruction :

D sommet parallélogramme A, B, C

Télécharger le prototype GéoPlan paralel5.g2w

e. Dessiner un parallélogramme à partir de deux sommets et du centre

Étant donné trois points A, B et O, tracer un parallélogramme ABCD tel que O que soit le point d'intersection des diagonales.

Indications : les points C et D sont les symétriques de A et B par rapport à O.

Il est possible de réaliser la construction, à la « règle et au compas », en traçant les diagonales [AO) et [BO) et les cercles de centre O passant par A et B.
C et D sont alors les points d'intersection des demi-droites et des cercles, convenablement choisis.

Télécharger la figure GéoPlan paralel6.g2w

Construire un parallélogramme ABCD connaissant les longueurs de deux côtés consécutifs et la longueur d'une diagonale.
Voir : problèmes de construction (à la « règle et au compas »)

1.B. Cas particuliers : dessiner un losange avec le compas

a. À partir d'un côté [AB]

Placer deux points A et B et dessiner le segment [AB],
tracer le cercle de centre A passant par B, placer le sommet D sur ce cercle et tracer le côté [AD],
tracer les cercles de centres B et D passant par A, le dernier sommet D est le deuxième point d'intersection de ces cercles.
Tracer les segments [CD] et [AD].

Il est possible de tracer les diagonales et de marquer leur angle droit.

Commandes GéoPlan
Touche M : Masquer les constructions,
touche D : afficher les Diagonales.

Télécharger la figure GéoPlan losange1.g2w
Télécharger la figure Cabri cons_losange1.fig
Télécharger la figure GeoLabo losange1.glb

b. À partir d'une diagonale [AC]

Placer deux points A et C, tracer un cercle (c) de centre A et de rayon a, supérieur à AC/2.
Tracer un cercle (c’) de même rayon et de centre C.

Les cercles (c) et (c’) se coupent en B et D. La droite (BD) est la médiatrice du segment [AC].

Tracer le quadrilatère ABCD et montrer que ABCD est un losange, marquer les égalités de côtés.
Marquer le centre O, l'angle des diagonales et remarquer les droites parallèles.

Les « anciens Égyptiens » utilisaient cette méthode, par exemple dans la construction des pyramides, pour tracer un angle droit :
prendre une corde, faire un nœud au milieu et fixer les deux extrémités sur deux piquets placés en A et C. Tendre la corde de part et d'autre de (AC) en la prenant par le nœud et marquer les points B et D, puis le centre O.

Télécharger la figure GéoPlan losange.g2w
Télécharger la figure Cabri cons_losange.fig
Télécharger la figure GeoLabo losange.glb

c. À partir d'un côté et de la direction d'une diagonale

Ressources pour les classes de 6^e, 5^e, 4^e et 3^e - Géométrie au collège
Projet de document d'accompagnement - Juillet 2007

Construire un losange ABCD.
Données : le segment [AB] et la demi-droite [Ax), support de la diagonale [AC].

(Figure d'analyse proposée par un élève)

L'activité de l'élève comporte plusieurs points essentiels :
  • l'analyse grâce à une représentation à main levée de la figure « visée » pour matérialiser la situation ;
  • l'identification des propriétés pertinentes ;
  • les codages associés ;
  • les différentes procédures de résolution (par les côtés/par les diagonales) ;
  • la formulation (rédaction de la propriété utilisée) d'une argumentation.

1.C.a. Construire un rectangle à partir d'un côté

Dessiner le segment [AB], tracer la perpendiculaire à [AB] passant par A,
placer un point D sur la perpendiculaire,
tracer les parallèles à (AB) passant par C et à (BC) passant par A,
C est le point d'intersection de ces deux parallèles.

Tracer les segments [BC], [CD] et [AD].

Il est possible de dessiner les diagonales et le cercle circonscrit au rectangle.

Commandes GéoPlan
Touche M : Masquer les constructions,
touche D : afficher les Diagonales,
touche C : afficher le Cercle circonscrit et son centre O.

Télécharger la figure GéoPlan de base rectangle.g2w ; la figure GéoPlan rectangl.g2w
Télécharger la figure Cabri rectangle.fig
Télécharger la figure GeoLabo rectangle.glb

b. Construire un rectangle avec un compas

Pour construire un rectangle ABCD, inscrit dans un cercle (c) de centre O, placer deux points A et B sur le cercle (non diamétralement opposés). Les rayons (AO) et (BO) recoupent le cercle en C et D.

ABCD est un rectangle dont les diagonales sont les diamètres [AC] et [BD].

1.D. Carré

Construction à partir d'un côté, à partir d'une diagonale, voir : carré au collège
construction du carré à la règle et l'équerre
Carré avec deux sommets inaccessibles

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

2. Théorème de Varignon

Classe de 5^ème

Un quadrilatère étant donné, si l'on joint les milieux des côtés consécutifs, on obtient un parallélogramme.

Ce résultat est valable quel que soit le quadrilatère convexe, concave ou croisé.

En corollaire les médianes d'un quadrilatère ont même milieu (étant les diagonales du parallélogramme), leur milieu G est le centre de gravité du quadrilatère.
Le périmètre du parallélogramme de Varignon est égal à la somme des longueurs des diagonales du quadrilatère,
l'aire du quadrilatère, non croisé, est le double de celle du parallélogramme de Varignon.

Trois parallélogrammes

Si ABCD est un quadrilatère non croisé, appliquer le théorème de Varignon aux quadrilatères (croisés) ABDC et ACBD permet d'obtenir deux autres parallélogrammes.

Pour un quadrilatère, les milieux et des côtés, les milieux des deux côtés opposés et des diagonales forment des parallélogrammes.
Ces trois parallélogrammes ont même milieu : le centre de gravité G du quadrilatère.

Corollaire : les trois droites, qui joignent les milieux des côtés et les milieux des diagonales d'un quadrilatère, sont concourantes au centre de gravité G du quadrilatère, qui est leur milieu.

Démonstration

« IJKL est un parallélogramme » peut être démontré dès la classe de quatrième, grâce au théorème des milieux des côtés d'un triangle :
on montre que les côtés opposés de IJKL sont chacun parallèle à une diagonale de ABCD, donc parallèles entre eux :
par exemple, [IL] et [JK] sont parallèles et leurs longueurs égales à la moitié de [BD].

Calcul de l'aire :
Soit ABCD quadrilatère non croisé (convexe).
Soit d = BD diagonale de ABCD, base des triangles ABD et CBD. Toujours d'après le théorème des milieux, la base b = JK du parallélogramme IJKL est égale à la moitié de d.
La hauteur h du parallélogramme, prise perpendiculairement à la diagonale (BD), se décompose en deux longueurs h₁ et h₂ de part et d'autre de la droite (BD).
h₁ est égale à la moitié de la hauteur h₁’ issue de A de ABD et h₂ est égale à la moitié de la hauteur h₂’ issue de C de CBD.

Donc, Aire(ABCD) = Aire(ABD) + Aire(CBD) = × d × h₁’ + × d × h₂’ = × d × (h₁’ + h₂’) = × 2b × (2h₁ + 2h₂) = × 2b × 2h = 2 × Aire(IJKL).

Télécharger la figure GéoPlan varignon.g2w
Télécharger les figures Cabri varignon.fig et varignon2.fig
Télécharger les figures GeoLabo varignon.glb et varignon2.glb

Pierre Varignon (1654-1722), ami de Jean Bernouilli, est surtout connu pour avoir assis en France les idées de Leibniz sur l'analyse (reprises par De L'Hospital) face à l'opposition de Rolle et aux travaux de Newton.

3. Parallélogramme et milieux : partage en trois d'une diagonale

Les Éléments d'Euclide, livre III

Dans un parallélogramme, les segments, joignant deux sommets opposés aux milieux des côtés opposés, sont parallèles et partagent la diagonale joignant les deux autres sommets en trois parties égales.

Télécharger la figure GéoPlan parallelogramme_milieu.g2w
Télécharger la figure Cabri mul_parallelogramme_milieu.fig
Télécharger la figure GeoLabo mul_parralelogramme_milieu.glb

Voir aussi : partage d'un segment en trois dans constructions élémentaires, règle à bords parallèles
Pliage d'une feuille en trois parties égales : constructions - pliages

Solution 1

Soit ABCD un parallélogramme de milieu O, M le milieu de [AB] et N le milieu de [CD].

O est le milieu commun de la diagonale [BD] et de la médiane [MN].
MBND est un parallélogramme et (MD) est parallèle à (BN).

M est le milieu de [AB] donc, dans le triangle ABL, le point K est le milieu de [AL] et AK = KL,
N est le milieu de [CD] donc, dans le triangle CDK, le point L est le milieu de [KC] et KL = LC.
K et L partagent [AC] en trois segments de longueur égale.

Commande GéoPlan, dans la figure parallelogramme_milieu.g2w : taper 1 pour cette solution

Solution 2

Soit M le milieu de [AB], N le milieu de [AB] et P le milieu de [AD].
O, point d'intersection de (AC) et (BD), milieu de [AC] est le milieu de [BD].
Les droites (AO), (BP), et (DM), médianes du triangle ABD, sont concourantes en K, centre de gravité de ce triangle.

Soit Q le symétrique de M par rapport à B.
On a AM = MB = BQ et (DM) // (NB) // (CQ) car MBND et BQCN sont des parallélogrammes.
Le théorème de Thalès, par rapport à ces trois parallèles et aux deux sécantes (AQ) et (AC), permet de conclure :
AK = KL = LC.

Commande GéoPlan : taper 2 pour cette solution

Applications

a. Réciproque : centre de gravité d'un triangle

Le centre de gravité d'un triangle est situé aux des médianes à partir des sommets :
À partir d'un triangle ABD, construire le point C, symétrique de A par rapport au milieu O de [BD], permet d'obtenir le parallélogramme de la figure ci-dessus. [AO] et [CM] sont deux médianes de ABD qui se coupent en K, centre de gravité du triangle.
AK = AC = AO car AO = AC. Le point K situé au tiers de la diagonale [AD] est aux deux tiers de la médiane [AO].

Télécharger la figure GéoPlan centre_gravite_ds_parallelogramme.g2w

b. Droites perpendiculaires dans parallèlogramme particulier

Si le parallélogramme ABCD est tel que AB = 2 AD = 2a, MBCN est alors un losange de côté a, les diagonales (BN) et(MC) sont perpendiculaires.

Soit I et J les milieux des losanges AMND et MBCN.
Dans le triangle ABN, la droite des milieux (IJ) est parallèle à (AB) et IJ = a.
Cette droite (IJ) est la droite des milieux des triangles AMN et MBN. Elle passe par le milieu O de [MN]. Comme IO = a/2 et OJ = a/2, O est le milieu de [IJ]. Les diagonales [IJ] et [MN] de IMJN sont de même longueur a et se coupent en leur milieu O, donc IMJN est un rectangle.

[IJ], [MN] et [AC] ont même milieu O.

Télécharger la figure GéoPlan parallelogramme_milieu_rect.g2w

c. …dans un rectangle particulier

Dans un rectangle ABCD, les droites (MD) et (BN) sont perpendiculaires à la diagonale (AC),
si AB = CD.

Recherche avec GéoPlan

Déplacer le point D,
taper la touche S pour la solution.

Télécharger la figure GéoPlan rectangle_milieu.g2w

Indications

Classe de seconde

Soit AD = a, AB = b.
Dans le triangle rectangle ABC : AC² = a² + b²,
Comme AK = AC/3 on a AK² = (a² + b²)/9.

K est le centre de gravité du triangle ABD situé aux de la médiane [DM].

Dans le triangle rectangle AMD, DM² = a² + b²/4 ;
la hauteur AK, issue de l'angle droit, est la moyenne géométrique entre les projections des petits côtés sur l'hypoténuse :
AK² = DK × KM = DM × DM/3 = (2/9)DM².
Soit AK² = (2a² + b²/2)/9.

En identifiant 9AK² : a² + b² = 2a² + b²/2,
soit a² = b²/2, relation annoncée.

Trouver un alignement

ABCD est un parallélogramme, M est le milieu de [AB] et K est situé au tiers de [MD].

Que penser du point K ? Quel segment tracer pour trouver une solution ?

Solution

K est situé sur la diagonale [AC].

Indications

Point de vue des configurations : tracer les diagonales [AC] et [BD] qui se coupent en O.
K est le centre de gravité du triangle ABD, situé aux deux tiers de la médiane [AO], donc au tiers de [AC].

Géométrie analytique : tracer la diagonale [AC].
Dans le repère (A, , ), à partir des coordonnées des points M(, 0) ; C(1, 1) et D(0, 1), on calcule celles des vecteurs (, 0) ; (-, 1) ;
d'où = , (-, ) et comme = + , on a (, ).

On a donc = ; A, K et C sont alignés.

Télécharger la figure GéoPlan parallelogramme_incomplet.g2w

Lycée, voir segment égal au tiers d'un côté : parallélogramme et homothétie,
voir aussi point aligné sur une diagonale : parallélogramme de Pappus

Montrer un alignement

Soit ABCD un parallélogramme, M et P les milieux respectifs de [AB] et [AD] et K le point d'intersection de (AC) et (DM).

Démontrer que les points B, K et P sont alignés.

Solution

Commande GéoPlan

Taper S pour la solution.

Configuration médianes et centre de gravité

Tracer la diagonale [BD] qui coupe la diagonale [AC] en son milieu O.
[AO] et [DM] sont les médianes du triangle ABD, leur point d'intersection K est le centre de gravité.

La troisième médiane [BP] passe par K.
Les points B, K et P sont bien alignés.

Télécharger la figure GéoPlan parallelogramme_alignement.g2w

Exercice de construction géométrique

Les bissectrices d'un parallélogramme forment un rectangle.

Les diagonales du rectangle sont parallèles aux côtés du parallélogramme.

Ces diagonales et celles du parallélogramme sont concourantes en O, centre de symétrie de la figure.

Télécharger la figure GéoPlan parallelogramme_bissectrice.g2w

Les bissectrices intérieures et extérieures d'un parallélogramme forment deux rectangles.

Les diagonales communes des deux rectangles sont parallèles aux côtés du parallélogramme.

Ces diagonales et celles du parallélogramme sont concourantes en O, centre de symétrie de la figure.

Télécharger la figure GéoPlan parallelogramme_bissectrice_ext.g2w

Le rectangle MNPQ peut-il être un carré ?

Les diagonales du carré, perpendiculaires, sont parallèles aux côtés de ABCD. ABCD est un rectangle.

Télécharger la figure GéoPlan parallelogramme_bissectrice_care.g2w

Les points M, N, P, Q peuvent-ils être confondus ?

ABCD est un losange.

5. Multiplication de l'aire d'un parallélogramme

Classe de troisième

ABCD est un parallélogramme, P est le symétrique de A par rapport à B, Q est le symétrique de B par rapport à C, R est le symétrique de C par rapport à D et S est le symétrique de D par rapport à A. Montrer que PQRS est un parallélogramme d'aire cinq fois plus grande.

Ces deux parallélogrammes ont même milieu O.

Démonstration 1 : utilisation de parallélogrammes.

En raison de la symétrie de centre B, = , et pour celle de centre D, = .
Par ailleurs, ABCD est un parallélogramme donc = .
Ces trois égalités permettent d'écrire : = 2 = 2 = , APCR est un parallélogramme : les diagonales [AC] et [RP] se coupent en leur milieu : O est le milieu de [RP].

De même, on montre que dans le parallélogramme BQDS, O est le milieu de [QS].

Réciproquement : les diagonales du quadrilatère PQRS se coupent en leur milieu O, c'est un parallélogramme.

Démonstration 2 : symétrie de centre O.

Dans la symétrie de centre B, B est point fixe et P a pour image A.
Dans la symétrie de centre O, B et A ont pour images D et C.
Dans la symétrie de centre D, D est invariant et C a pour image R.

En composant ces trois symétries, nous obtenons une symétrie centrale qui transforme B en D : c'est la symétrie de centre O, dans cette symétrie P a pour image R.

De même, en composant les symétries de centres A, O et C on montre que cette composée est la symétrie de centre O qui transforme S en Q. O est le centre de symétrie du quadrilatère PQRS : c'est un parallélogramme.

Démonstration 3 : égalité de vecteurs

Avec une relation de Chasles calculer les vecteurs et :
= + = + 2 ,
= + = 2 + .

Comme ABCD est un parallélogramme on a = et = .
Les vecteurs et sont donc égaux : PQRS est un parallélogramme.

Aire : les triangles CQR, DRS, ASP et BPQ ont même hauteur que le parallélogramme ABCD, relativement à des bases deux fois plus grandes, Il ont même aire que ABCD (Ou remarquer que l'aire de CQR est la moitié de l'aire du parallélogramme CQC’R, où C’ est le symétrique de C par rapport à L. Le parallélogramme CQC’R a une aire double de celle de ABCD).
L'aire de PQRS égale à l'aire de ABCD, augmentée des aires des quatre triangles, est égale à cinq fois l'aire du petit parallélogramme.

Réciproquement, on peut retrouver le petit parallélogramme à partir du grand, en joignant les sommets aux milieux des côtés suivants (dans le sens direct).

Commandes GéoPlan
Taper D pour afficher les diagonales,
taper P pour prolonger les côtés de ABCD.

Cas particulier, voir : multiplication par 5 de l'aire d'un carré

Télécharger la figure GéoPlan mul_parall.g2w
Télécharger la figure Cabri mul_parallelogramme.fig
Télécharger la figure GeoLabo mul_parralelogramme.glb

Carré (Rotation hors programme)

ABCD est un carré, P est le symétrique de A par rapport à B, Q est le symétrique de B par rapport à C, R est le symétrique de C par rapport à D et S est le symétrique de D par rapport à A. Montrer que PQRS est un carré d'aire cinq fois plus grande.

La rotation de centre O et d'angle 90° transforme [AP] en [BQ], [BQ] en (CR)…

P a pour image Q, Q a pour image R, R a pour S et S a pour image P. Le quadrilatère PQRS globalement invariant par la rotation a ses quatre côtés de même longueur, deux côtés consécutifs forment un angle de 90°, égal à l'angle de la rotation. ADCD est un carré.

Si le côté du petit carré AB = a, la propriété de Pythagore dans le triangle BPQ permet de calculer PQ = a. PQRS a une aire égale à 5a².

Composer un carré somme de deux carrés : carré au collège
Voir : pavages

Télécharger la figure GéoPlan mul_carres.g2w

Commandes GéoPlan
Taper D pour afficher les diagonales,
taper P pour prolonger les côtés de ABCD.

Prolongements

Les symétries centrales, qui ont permis de construire le parallélogramme PQRS précédent sont, pour k = 2, un cas particulier de l'exercice plus général suivant :

Soit ABCD un parallélogramme et k un réel positif.

Sur la demi-droite [BA) on place le point P tel que AP = k BA.
Sur la demi-droite [CB) on place le point Q tel que BQ = k CB.
Sur la demi-droite [DC) on place le point R tel que CR = k DC.
Sur la demi-droite [AD) on place le point S tel que DS = k AD.

Montrer que PQRS est un parallélogramme.

Voir : le quadrilatère qui tourne

Télécharger la figure GéoPlan mul_parall_2.g2w
Télécharger la figure Cabri mul_parallelogramme_2.fig
Télécharger la figure GeoLabo mul_parralelogramme_2.glb

À la place du parallélogramme, il possible d'envisager n'importe quel polygone régulier convexe.
Voir aussi l'étude avec des triangles, dans : triangle en seconde

Activité B2i

Domaine B2i

Item collège validable

Le parallélogramme en 5^ème

Dessiner un parallélogramme
Théorème de Varignon

Le parallélogramme en 4^ème

Parallélogramme et milieux
Bissectrices d'un parallélogramme

1 – S'approprier un environnement informatique de travail.

1.1 – Je sais m'identifier sur un réseau ou un site et mettre fin à cette identification.

1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail.

Connaissances

Capacités

Commentaires

3.1. Figures planes

Parallélogrammes

  – Connaître et utiliser une définition et les propriétés (relatives aux côtés, aux diagonales et aux angles) du parallélogramme

  – Construire, sur papier uni, un parallélogramme donné (et notamment dans les cas particuliers du carré, du rectangle, du losange) en utilisant ses propriétés.

Le travail entrepris sur la symétrie centrale permet de justifier des propriétés caractéristiques du parallélogramme que les élèves doivent connaître.

Dans le cadre du socle commun il est seulement attendu des élèves qu'ils sachent utiliser en situation ces propriétés, notamment pour la reconnaissance d'un parallélogramme, d'un rectangle, d'un losange ou pour leur tracé.

Les connaissances relatives aux quadrilatères usuels sont sollicitées dans des problèmes de construction et permettent de justifier les procédures utilisées pour construire ces quadrilatères.

Figures simples ayant un centre de symétrie ou des axes de symétrie.

  – Connaître et utiliser une définition et les propriétés (relatives aux côtés, aux diagonales, aux éléments de symétrie) du carré, du rectangle, du losange.

Un travail de synthèse est réalisé, faisant apparaître chacune de ces figures (rectangle, losange, carré) comme un parallélogramme doté de propriétés particulières, notamment en ce qui concerne les diagonales.

Parallélogrammes en seconde

Collège
Quadrilatère

Le triangle
équilatéral

Collège
Problèmes de construction

Exercices de géométrie au collège

GéoSpace en 6^ème
Parallélépipède rectangle

Sommaire

1. A. Dessiner un parallélogramme
    B. Dessiner un losange
    C. Dessiner un rectangle
2. Théorème de Varignon
3. Parallélogramme et milieux
4. Bissectrices d'un parallélogramme
5. Multiplication de l'aire d'un parallélogramme

 Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec Internet Explorer et la version ActiveX de GéoPlan

Faire de la géométrie dynamique

Accueil

Suggestions, remarques, problèmes : me contacter.