MIAM

Trois exercices de géométrie plane pour la classe de quatrième.

Géométrie en quatrième avec GéoPlan

Sommaire

1. Médianes et centre de gravité
2. D'un triangle équilatéral à un triangle rectangle
3. Diamètres de deux cercles sécants

Extraits des programmes de géométrie de 4e

Page no 116, réalisée le 27/12/2007

GéoPlan en quatrième

Pythagore
Thalès

Retrouver un triangle à partir de droites remarquables
Retrouver un triangle à partir de centres ou de pieds

Lieux géométriques du milieu d'un segment
Constructions de tangentes : cercle

GéoPlan
Calculs d'aires

GéoPlan Parallélogramme

GéoPlan
Constructions géométriques

Construction à la règle et au compas

GéoSpace en 4ème
Pyramide - Partition d'un cube

Index
collège

 1. Médianes et centre de gravité

Les médianes sont les droites joignant les sommets d'un triangle aux milieux des côtés opposés. Les trois médianes sont concourantes au centre de gravité du triangle, situé aux 2/3 de chaque médiane à partir du sommet correspondant.

Voir ci-dessous deux démonstrations de cette propriété en classe de quatrième.

Parallélogramme de centre G

Parallélogramme de centre G

Soit G le point d'intersection des médianes [BB’] et [CC’] d'un triangle ABC.
I est le milieu de [BG] et J est le milieu de [CG].

Montrer que IJB’C’ est un parallélogramme.

En déduire que le point G est situé aux 2/3 des médianes [BB’] et [CC’].

De même, en étudiant le parallélogramme IA’B’K où K est le milieu de [AG], on montre que les médianes [AA’] et [BB’] sont concourantes en un point situé à leurs 2/3. Ce point situé aux 2/3 de [BB’], est donc le point G. Les trois médianes sont concourantes en ce même point G, centre de gravité du triangle.

g2w Télécharger la figure GéoPlan medianes3.g2w

Autres méthodes

Hexagone aux côtés opposés deux à deux parallèles,
somme des vecteurs vect(GA) + vect(GB) + vect(GC) : voir géométrie du triangle

Méthode des aires, voir : aire du triangle

Partage en trois de la diagonale d'un parallélogramme

ABCD est un parallélogramme.
O, milieu de [BC] est le centre de symétrie du parallélogramme.
Les points B’, C’ et I sont les milieux des côtés.
Les points G et J sont les centres de gravité des triangles ABC et BCD.

Partage en trois de la diagonale

Les points G et J partagent la diagonale [AD] du parallélogramme ABCD en trois segments égaux.

Démonstration
Par symétrie par rapport à O, AO = OD.
Le centre de gravité G est aux 2/3 de la médiane [AO].
AG = 2/3 AO = 2/3 × 1/2 AD = 1/3 AD.

De même DJ = 2/3 DO = 1/3 AD.
G et J partagent [AD] en trois parties égales.

Voir la figure d'Euclide : tiers de la diagonale d'un parallélogramme

g2w Télécharger la figure GéoPlan medianes4.g2w

 2. D'un triangle équilatéral à un triangle rectangle

D'un triangle équilatéral à un triangle rectangleConstruire un triangle équilatéral basé sur le rayon d'un cercle, puis basé sur le diamètre, construire le triangle équilatéral double à l'aide d'un triangle rectangle d'angles aigus 60° et 30°. Où l'on retrouve la tangente à un cercle.

À partir de deux points A et B, construire le triangle équilatéral ABC.

Le point C est à l'intersection du cercle (c) de centre A passant par B et du cercle (c’) de centre B passant par A.
Soit D le symétrique de A par rapport à B, deuxième point d'intersection de (AB) et (c’).

Triangle rectangle

Le triangle ACD, inscrit le demi-cercle de diamètre [AD], est rectangle en C.
L'angle CAD mesure 60°, l'angle complémentaire ADC mesure 30°.

Si a est la longueur d'un côté du triangle équilatéral,
le triangle ADC a une hypoténuse de longueur 2a et BC = arac(3).

L'aire du triangle isocèle BCD est égale à l'aire du triangle équilatéral ABC (bases de même longueur a et même hauteur CH, où H est la projection, sur la droite (AB), du point C).

Grand triangle équilatéral

Le triangle rectangle ACD est la moitié du triangle équilatéral ADE, où E est le symétrique de A par rapport à C.
(CD) est une des médiatrices de ce triangle équilatéral.
Ce triangle, de côté de longueur 2a, a une aire quatre fois plus grande que celle du triangle ABC.

Tangente

Cette figure permet de construire, sans équerre, la droite (CD), tangente en C au cercle (c) ; voir : cercle au collège

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_equi_rectangle.g2w

3. Diamètres de deux cercles sécants

Diamètres de deux cercles sécantsAlignement : trois points B, E et F sont alignés si les droites (BE) et (BF) sont perpendiculaires à une même troisième.

Deux cercles (c) et (c’) de centres distincts I et J sont sécants en A et B.
La droite (IA) recoupe le cercle (c) en E et le cercle (c’) en D.
La droite (JA) recoupe le cercle (c’) en F et le cercle (c) en C.

Les points E, B et F sont alignés.

Le triangle ABE est inscrit dans un demi-cercle, les droites (AB) et (BE) sont perpendiculaires.
On montre, de même, que la droite (AB) est perpendiculaire à (BF).
Ce qui permet d'en déduire l'alignement des points E, B et F.

Les points E, C, D et F sont cocycliques

Le triangle ECA est inscrit dans un demi-cercle, les droites (EC) et (CA) sont perpendiculaires.
ECF est donc un triangle rectangle en C, inscrit dans le demi-cercle de diamètre [EF].

De même, le triangle ADE est rectangle en D.
Le triangle rectangle EDF est inscrit dans le demi-cercle de diamètre [EF].

Les quatre points E, C, D et F, inscrits dans le demi-cercle de diamètre [EF], sont cocycliques.

g2w Télécharger la figure GéoPlan deux_cercles.g2w
Voir deux cercles sécants
Problème d'alignement, voir aussi : deux carrés

4. La ligne d’horizon

La plate forme du phare de la Hague (près de Cherbourg) est située à 52 mètres au-dessus de l'eau. Jusqu'à quelle distance un observateur, placé sur cette plate forme, peut-il espérer apercevoir un objet au ras de l'eau (par beau temps et mer calme) ?

Cette situation (problème de la ligne d'horizon) s'appuie sur la courbure de la surface de la sphère terrestre. Un travail préalable d'explicitation peut aider à bien appréhender le problème, avec une première schématisation « naïve ».

ligne d'horizon

La modélisation proprement dite fait appel à la représentation de la sphère par un de ses grands cercles et fait donc passer de l'espace au plan.

Coupe ligne d'horizon

La longueur cherchée est la longueur de la tangente au cercle, issue du sommet S (P est le pied du phare). Le passage de la première représentation à la seconde est une démarche délicate qui peut nécessiter l'intervention de l'enseignant. C'est surtout l'occasion de développer la
capacité à substituer un problème plan à un problème de l'espace.

D'après le théorème de Pythagore appliqué au triangle SOH rectangle en H, SH2 = OS2 − OH2.

Deux directions d'exploitation se présentent :

1 - Le rayon de la sphère terrestre est approximativement de 6400 km, d'où le calcul à mener :
SH2 ≈ 6400,0522 − 64002, puis SH ≈25,8 km, solution approchée dont on peut se satisfaire dans le cadre du problème.

2 - Cette égalité peut être transformée en SH2 = (R+h)2 − R2, qui peut conduire à un travail, plus ambitieux mais accessible sur le plan du calcul, sur la transformation d'une expression algébrique. Nous obtenons aussi une expression qui permet d'obtenir la distance d'horizon pour n'importe quel phare (ou gratte-ciel ou aéronef !). La possibilité de faire varier h permet aussi de basculer naturellement dans le domaine des fonctions.

Ressources pour les classes de 6e, 5e, 4e et 3e - Géométrie au collège
Projet de document d'accompagnement mathématique - Juillet 2007

5. Trouver un milieu

Trouver un milieuDans le triangle ABC, M est le milieu de [AB] et I et J des points de [AC] tels que AI = IJ = JC = 1/3 AC.

La droite (IM) coupe (BC) en K.

Montrer que B est le milieu de [KC].


6. Deux cercles

deuc cerclesSoit le cercle C de centre B et de diamètre [AD] et le cercle C’ de diamètre [AB].

F est un point de C.

La droite (AF) coupe C’ en E.

Montrer que E est le milieu de [AF].

Activité B2i

Domaine B2i

Item collège validable

GéoPlan en 4ème

1 – S'approprier un environnement informatique de travail.

1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail.

Géométrie plane au collège - Extraits du programme de 4e (2008)

Dans le plan, les travaux portent sur les figures usuelles déjà étudiées (triangles, cercles, quadrilatères particuliers), pour lesquelles il est indispensable de continuer à faire fonctionner les résultats mis en place. L’étude plus approfondie du triangle rectangle et d’une nouvelle configuration (celle de triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes) permet d’aborder quelques aspects numériques fondamentaux de la géométrie du plan. Certaines propriétés géométriques d’un agrandissement ou d’une réduction d’une figure sont également étudiées. L’effet sur les aires et les volumes n’est abordé qu'en classe de troisième.
Les activités de découverte, d'élaboration et de rédaction d'une démonstration sont de natures différentes et doivent faire l'objet d'une différenciation explicite. Dans l'espace, les travaux sur les solides étudiés exploitent largement les résultats de géométrie plane. L'étude de configurations de géométrie dans l'espace donne des exercices et des illustrations pour différents champs du programme. À ce titre, il convient d'aborder la géométrie dans l'espace suffisamment tôt dans l'année scolaire.

Objectifs

La résolution de problèmes a pour objectifs :
• de connaître les objets usuels du plan et de l'espace et d'utiliser leurs propriétés géométriques et les relations métriques associées ;
• de développer les capacités heuristiques et de conduire sans formalisme des raisonnements géométriques simples utilisant les propriétés des figures usuelles, les symétries, les relations métriques, les angles ou les aires ;
• d'entretenir en l'enrichissant la pratique des constructions géométriques (aux instruments et à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique) et des raisonnements sous-jacents ;
• d'initier les élèves à la démonstration ;
• de poursuivre la familiarisation avec les représentations planes des solides de l'espace ;
• de s'initier aux propriétés laissées invariantes par un agrandissement ou une réduction de figure.

Connaissances

Capacités

Commentaires

3.1. Figures planes

Triangles :

Milieux et parallèles

  – Connaître et utiliser les théorèmes relatifs aux milieux de deux côtés d'un triangle.

Ces théorèmes sont démontrés en utilisant la symétrie centrale et les propriétés caractéristiques du parallélogramme ou les aires.
Dans le cadre du socle commun, seules les propriétés directes de la droite des milieux sont exigibles.

Triangles déterminés par deux parallèles coupant deux demi-droites de même origine.

  – Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux demi-droites de même origine.

Le théorème de Thalès dans toute sa généralité et sa réciproque seront étudiés en classe de troisième.

Triangle rectangle :

théorème de Pythagore

  – Caractériser le triangle rectangle par l'égalité de Pythagore.
  – Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle à partir de celles des deux autres.

On ne distingue pas le théorème de Pythagore direct de sa réciproque (ni de sa forme contraposée).
On considère que l'égalité de Pythagore caractérise la propriété d'être rectangle.

Triangle rectangle :

cosinus d'un angle

  – Utiliser dans un triangle rectangle la relation entre le cosinus d'un angle aigu et les longueurs des côtés adjacents.
  – Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur approchée :
  – du cosinus d'un angle aigu donné ;
  – de l'angle aigu dont le cosinus est donné.

 

Triangle rectangle :

cercle circonscrit

  – Caractériser le triangle rectangle par son inscription dans un demi-cercle dont le diamètre est un côté du triangle.
  – Caractériser les points d'un cercle de diamètre donné par la propriété de l'angle droit.

Le cas où le demi-cercle n'est pas apparent (la longueur d'une médiane d'un triangle est la moitié de celle du côté correspondant) est étudié.

Distance d'un point à une droite

  – Savoir que le point d'une droite le plus proche d'un point donné est le pied de la perpendiculaire menée du point à la droite.

 

Tangente à un cercle.

  – Construire la tangente à un cercle en l'un de ses points.

Dans le cadre du socle, il est simplement attendu des élèves qu'ils sachent reconnaître qu'une droite est tangente à un cercle.

Bissectrice d'un angle

[reprise des programmes antérieurs]

  – Connaître et utiliser la définition de la bissectrice.

  – Utiliser différentes méthodes pour tracer :
    • la médiatrice d'un segment ;
    • la bissectrice d'un angle.

La bissectrice d'un angle est définie comme la demi-droite qui partage l'angle en deux angles adjacents de même mesure.

La justification de la construction de la bissectrice à la règle et au compas est reliée à la symétrie axiale. Elle n'est pas exigible dans le cadre du socle.

Bissectrice et cercle inscrit

  – Caractériser les points de la bissectrice d'un angle par la propriété d'équidistance aux deux côtés de l'angle.

  – Construire le cercle inscrit dans un triangle

Cette caractérisation permet de démontrer que les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes et justifie la construction du cercle inscrit.

L'analogie est faite avec le résultat concernant les médiatrices des trois côtés d'un triangle vu en classe de cinquième.

3.3 Agrandissement et réduction

  – Agrandir ou réduire une figure en utilisant la conservation des angles et la proportionnalité entre les longueurs de la figure initiale et de celles de la figure à obtenir.

Des activités de construction (avec éventuellement l'utilisation de logiciels de construction géométrique) permettent aux élèves de mettre en évidence et d'utiliser quelques propriétés :
conservation des angles (et donc de la perpendicularité) et du parallélisme, multiplication des longueurs par le facteur k d'agrandissement ou de réduction…
Certains procédés de construction peuvent être analysés en utilisant le théorème de Thalès dans le triangle.

  Programme de géométrie dans l'espace en quatrième

  Programmes de géométrie plane au collège :
  sixième
  cinquième
  troisième

 

GéoPlan
Triangle

GéoPlan
Polygones réguliers

Exercices de géométrie au collège

Construction du pentagone
régulier

GéoPlan
au collège

Sommaire

1. Médianes et centre de gravité
2. D'un triangle équilatéral à un triangle rectangle
3. Diamètres de deux cercles sécants

Extraits des programmes de géométrie plane de 4e

Faire de la géométrie dynamique

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