Géométrie interactive en cinquième Programme de géométrie de cinquième : construction de triangles.	Faire de la géométrie dynamique

Les problèmes proposés dans ces pages de « géométrie dynamique » sont assez guidés. À partir d'exercices, souvent proposés en classe, nous avons abrégé la démarche expérimentale et, en raison de la nature du média Internet, nous livrons telles quelles des indications. Ceci est, en général, suffisant pour les élèves qui auront à s'approprier les solutions et à rédiger les démonstrations.
Les professeurs voulant utiliser ces activités en classe devront reconstituer la démarche pédagogique. Par exemple, la question « démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles » pourra être à remplacée par « que peut-on dire des droites (AB) et (CD) » ou encore de façon plus elliptique par « que peut-on dire », quitte à affronter le rigolo du fond de la classe qui répondra « rien ».

1. Deux droites

Que dire des deux droites ci-contre ?
Changer le cadrage : cliquer dans la figure et taper sur la touche agrandir (>).

Modifier la droite (CD) en tapant sur la touche P.
Que dit alors GéoPlan à propos de l'intersection des droites (AB) et (CD) ?

Indications

Les deux droites ci-dessus semblent parallèles, mais GéoPlan accepte de tracer leur point d'intersection.
Vérifions avec un agrandissement où en déplaçant la vue (clic droit maintenu).

Par la touche P, l'affectation directe du point D permet de tracer une droite (CD) parallèle à (AB). GéoPlan renâcle alors à créer le point d'intersection.

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2. Construire un triangle connaissant les longueurs des trois côtés

Étant donné un segment [BC] de longueur a et deux nombres positifs b et c, construire un triangle ABC tel que AC = b et AB = c.

Tracer les cercles (c₁) de centre B, de rayon c et (c₂) de centre C de rayon b.

Commandes GéoPlan

Cliquer dans une des figures et faire varier les longueurs BC, AB ou CA, en déplaçant les extrémités a, b ou c.

3. Construire un triangle connaissant les longueurs de deux côtés et l'angle compris entre ces deux côtés

Étant donné un segment [AB] de longueur c, un nombre positif b et un angle xÔy, construire un triangle ABC tel que AC = b et que BÂC = xÔy.

Pour reporter l'angle xÔy sur la demi-droite [AB), on trace les cercles (c₁) et (c₂) de centres O et A et de rayon c. [Ox) rencontre (c₁) en M et [Oy) en P. Avec le compas, on reporte l'arc MP en traçant le cercle (c₃) de centre B et de rayon MP. Ce cercle coupe (c₂) en Q et Q’. Les angles BÂQ et BÂQ’ sont égaux à xÔy.

[AQ) rencontre le cercle (c₄) de centre A et de rayon b en C et [AQ’) en C’.

Le triangle ABC est une construction toujours possible (b > 0, c > 0 et 0 < xÔy < 180°), le triangle ABC’ est aussi une solution. Ces deux triangles sont symétriques par rapport à la droite (AB).

Si ABC n'est pas un triangle isocèle en C, en reportant l'angle xÔy en B sur la demi-droite [BA) on obtient deux autres triangles symétriques de ABC par rapport au milieu de [AB] et à sa médiatrice.

Commandes GéoPlan

Cliquer dans la figure et faire varier les longueurs des côtés en cliquant sur b ou c ou l'angle en déplaçant les points x ou y.

La figure est plus lisible lorsque b < c, renommer éventuellement les points.

Télécharger la figure GéoPlan tri_2cotes_1angle.g2w

4. Construire un triangle connaissant la longueur d'un côté et les deux angles qui lui sont adjacents

Étant donné un segment [AB] de longueur c, deux angles xÎy et zJt, construire un triangle ABC tel que BÂC = xÎy et ABC = zJt.

Pour reporter l'angle xÎy sur la demi-droite [AB) on trace les cercles (c₁) et (c₃) de centres I et A et de rayon c. [Ix) rencontre (c₁) en M et [Iy) en N. Avec le compas, on reporte l'arc MN en traçant le cercle (c₄) de centre B et de rayon MN. Ce cercle coupe (c₂) en P et P’. Les angles BÂP et BÂP’ sont égaux à xÎy.

De même, pour reporter l'angle zJt sur la demi-droite [BA), on trace les cercles (c₂) et (c₅) et centres J et B et de rayon c. On reporte l'arc QR en traçant le cercle (c₆) de centre A et de rayon QR. Ce cercle coupe (c₅) en S et S’. Les angles ABS et ABS’ sont égaux à zJt.

Si les demi-droites [AP) et [BS) sont sécantes en un point C, le triangle ABC est une construction possible. Les demi-droites [AP’) et [BS’) sont alors sécantes en C’, le triangle ABC’ est aussi une solution. Ces deux triangles sont symétriques par rapport à la droite (AB).

Si ABC n'est pas un triangle isocèle en C, en permutant les angles on obtient deux autres triangles symétriques de ABC par rapport au milieu de [AB] et à sa médiatrice.

La somme des angles d'un triangle étant un angle plat :

+ + = 180°, la construction est possible lorsque + < 180°,
soit  xÎy + zJt < 180°.

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Voir aussi : construire un triangle connaissant un angle, un côté adjacent et la somme des deux autres
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Faire de la géométrie dynamique

5. Triangles isocèles ayant un angle de 80 degrés

Angle au sommet de 80°

Étant donné une longueur c et un angle xÔy, construire un triangle isocèle ABC tel que AB = AC = c et que BÂC = xÔy.

En adaptant la construction du paragraphe 3, reporter la moitié de l'angle xÔy sur une demi-droite [AJ) passant par A. On trace les cercles (c₁) et (c₂) de centres O et A et de rayon c. [Ox) rencontre (c₁) en M et [Oy) en P. La bissectrice de MÔP coupe le cercle (c₁) en I qui partage l'arc MP en deux parties égales. Avec le compas, on reporte l'arc IM en traçant le cercle (c₃) de centre J et de rayon IM. Ce cercle coupe (c₂) en B et C’. L'angle BÂC est égal à xÔy. La construction du triangle isocèle ABC est toujours possible.

Comme la somme des angles d'un triangle est 180°, avec =
on a + 2 =180° et en divisant par 2 : = 90 - .

Commandes GéoPlan

Cliquer dans la figure et faire varier les longueurs des côtés égaux en cliquant sur c ou l'angle en déplaçant x ou y.
Taper sur la touche A pour un angle de 80°.

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Angle à la base de 80°

Étant donné une longueur a et un angle xÔy, construire un triangle ABC isocèle en A tel que la base BC = a et que ABC = xÔy.

Pour reporter l'angle xÔy sur la demi-droite [BC) on trace les cercles (c₁) et (c₂) de centres O et B et de rayon a. [Ox) rencontre (c₁) en M et [Oy) en P. Avec le compas, on reporte l'arc MP, en traçant le cercle (c₃) de centre C et de rayon MP. Ce cercle coupe (c₂) en A’ et l'angle A’BC est égal à xÔy.

Si la demi-droite [AA’) coupe la médiatrice de [BC], le point d'intersection A est le sommet du triangle isocèle ABC.

Cette construction n'est possible que si xÔy <90° (les angles égaux d'un triangle isocèle sont aigus).

Comme la somme des angles d'un triangle est 180°, avec =
on a + 2 =180° et = 180° -2 .

Commandes GéoPlan

Cliquer dans la figure et faire varier la longueur de la base, en cliquant sur a
ou l'angle en déplaçant x ou y.
Taper sur la touche A pour un angle de 80°.

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Faire de la géométrie dynamique

II Calculs d'aires

2.1. Goutte d'eau

A, B et C sont trois points alignés tels que : AB = 4 cm, BC =6 cm.

Cette figure est formée de trois demi-cercles.

Calculer son périmètre.

Calculer son aire.

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Faire de la géométrie dynamique

2.3. Un triangle dans un rectangle

I et J sont les milieux des côtés d'un rectangle ABCD.

Quelles fractions de l'aire du rectangle représente l'aire de chacun des triangles AIJ, BIC et DCJ ?

Quelle fraction de l'aire du rectangle représente l'aire du triangle CIJ ?

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Calculs d'aires au collège

Aire du parallélogramme, du trapèze, du triangle, aire et médiane

Deux parallélogrammes d'aires égales

Partage d'un parallélogramme en deux polygones croisés

Théorème du papillon