Sommaire

1. Deux droites
2. Construire un triangle connaissant les trois côtés
3. Construire un triangle connaissant deux côtés et l'angle compris entre ces deux côtés
4. Construire un triangle connaissant un côté et deux angles adjacents
5. Triangles isocèles ayant un angle de 80 degrés
6. Cerfs-volants inscrits dans deux cercles sécants

II Calculs d'aires

2.1. Goutte d'eau
2.2. Entre deux cercles - Une fleur de quatre pétales
2.3. Un triangle dans un carré
2.4. Un triangle dans un rectangle

Extraits des programmes de géométrie de 5^e

Construction de triangles au lycée

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 Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec Internet Explorer et la version ActiveX de GéoPlan

GéoPlan en cinquième

Droites remarquables dans le triangle : cabri 6^e
    Constructions à partir de droites
    Retrouver un triangle à partir de centres ou de pieds

Médiatrices : géométrie du triangle
Hauteurs : géométrie du triangle

Somme des angles d'un triangle : triangle au collège
Construction du triangle équilatéral

Carré au collège : alignement de trois points

Symétrique d'un point par rapport à un autre : construction au compas seul

Exercice collège : angle inconnu

Intersection inaccessible :
  – Angle de deux droites
  – Tracer le symétrique d'un triangle
  – Construction, à la règle et l'équerre, d'une perpendiculaire ou d'un carré passant par un point inaccessible

Page n^o 95, réalisée le 9/10/2006, mise à jour le 6/1/2008

Faire de la géométrie
dynamique

GéoPlan Parallélogramme

GéoPlan en 5^e
Calculs d'aires

Problèmes de construction
en cinquième

GéoSpace en 5^e
Prisme
Cylindre

MIAM
Activités TICE
en cinquième

Les problèmes proposés dans les pages « …avec GéoPlan » sont assez guidés. À partir d'exercices, souvent proposés en classe, nous avons abrégé la démarche expérimentale et, en raison de la nature du média Internet, nous livrons telles quelles des indications. Ceci est, en général, suffisant pour les élèves qui auront à s'approprier les solutions et à rédiger les démonstrations.
Les professeurs voulant utiliser ces activités en classe devront reconstituer la démarche pédagogique. Par exemple, la question « démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles » pourra être à remplacée par « que peut-on dire des droites (AB) et (CD) » ou encore de façon plus elliptique par « que peut-on dire », quitte à affronter le rigolo du fond de la classe qui répondra « rien ».

Activité B2i

Domaine B2i

Item collège validable

Construction de triangle.

1 – S'approprier un environnement informatique de travail.

2 – Adopter une attitude responsable pour les élèves venant en aide.

1.1 – Je sais m'identifier sur un réseau ou un site et mettre fin à cette identification.

1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail.

2.7 – Je mets mes compétences informatiques au service d'une production collective.

Que dire des deux droites ci-contre ?
Avec GéoPlan, changer le cadrage en tapant sur la touche agrandir (>).

Modifier la droite (CD) en tapant sur la touche P.
Que dit alors GéoPlan, à propos de l'intersection des droites (AB) et (CD) ?

Indications

Les deux droites ci-dessus semblent parallèles, mais GéoPlan accepte de tracer leur point d'intersection.

Vérifions avec un agrandissement où en déplaçant la vue (clic droit maintenu avec GéoPlan).

Par la touche P, l'affectation directe du point D permet de tracer une droite (CD) parallèle à (AB). GéoPlan renâcle alors à créer le point d'intersection.

D'après : Activité observation géométrique et maîtrise de la langue.

Télécharger la figure GéoPlan deux_droites.g2w

2. Construire un triangle connaissant les longueurs des trois côtés

Inégalité triangulaire

Programme de cinquième

Connaître et utiliser l'inégalité triangulaire pour construire un triangle connaissant les longueurs des trois côtés.

Lorsque la construction est possible, les élèves sont invités à remarquer que lorsqu'un côté est tracé, on peut construire plusieurs triangles, deux à deux symétriques par rapport à ce côté, à sa médiatrice et à son milieu.

L'inégalité triangulaire est mise en évidence à cette occasion et son énoncé est admis : AB + BC ≥ AC.
Le cas de l’égalité AB + BC = AC est reconnu comme caractéristique de l'appartenance du point B au segment [AC].

Ces constructions permettent un premier contact (implicite) avec les trois cas d'isométrie des triangles (théorèmes rencontrés en classe de seconde).

Étant donnés un segment [BC] de longueur a et deux nombres positifs b et c, construire un triangle ABC tel que AC = b et AB = c.

Tracer les cercles (c₁) de centre B, de rayon c et (c₂) de centre C de rayon b.

Si les cercles (c₁) et (c₂) sont sécants en deux points distincts A et A’, le triangle ABC est une construction possible, le triangle A’BC est aussi une solution. Ces deux triangles sont symétriques par rapport à la droite (BC).

Dans ce cas a + b ≥ c, l 'inégalité triangulaire BA + AC ≥ BC est vérifiée.

Télécharger la figure GéoPlan tri_cotes_donnes.g2w
Télécharger la figure Cabri tri_cotes_donnes.fig
Télécharger la figure GeoLabo tri_cotes_donnes.glb (Logiciel libre de géométrie dynamique : GeoLabo)

Lorsqu'il y a une solution, si les longueurs sont distinctes, on peut construire quatre triangles isométriques, deux à deux symétriques par rapport au côté [BC], à sa médiatrice et à son milieu.

Télécharger la figure GéoPlan tri_cotes_donnes2.g2w
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Faire de la géométrie dynamique

BC trop grand

Si b + c < a les cercles (c₁) et (c₂) sont extérieurs l'un à l'autre, la construction est impossible.

Si b + c = a les deux cercles sont tangents en A (confondu avec A’), l’égalité BA + AC = BC caractérise l'appartenance du point A au segment [BC].

BC trop petit

Si a + b < c ou a + c < b un des cercles (c₁) ou (c₂) est à l'intérieur de l'autre, la construction est impossible.

Si a + b = c ou a + c = b les deux cercles sont tangents intérieurement en A (confondu avec A’), le point A est sur la droite (BC).

3. Construire un triangle connaissant les longueurs de deux côtés et l'angle compris entre ces deux côtés

Étant donnés un segment [AB] de longueur c, un nombre positif b et un angle xÔy, construire un triangle ABC tel que AC = b et que BÂC = xÔy.

Pour reporter l'angle xÔy sur la demi-droite [AB), on trace les cercles (c₁) et (c₂) de centres O et A et de rayon c. [Ox) rencontre (c₁) en M et [Oy) en P. Avec le compas, on reporte l'arc MP, en traçant le cercle (c₃) de centre B et de rayon MP. Ce cercle coupe (c₂) en Q et Q'. Les angles BÂQ et BÂQ’ sont égaux à xÔy.

[AQ) rencontre le cercle (c₄) de centre A et de rayon b en C et [AQ’) en C’.

Le triangle ABC est une construction toujours possible (b > 0, c > 0 et 0 < xÔy < 180°), le triangle ABC’ est aussi une solution. Ces deux triangles sont symétriques par rapport à la droite (AB).

Si ABC n'est pas un triangle isocèle en C, en reportant l'angle xÔy en B sur la demi-droite [BA) on obtient deux autres triangles symétriques du triangle ABC par rapport au milieu de [AB] et à sa médiatrice.

Commandes GéoPlan

Faire varier les longueurs des côtés en cliquant sur b ou c ou l'angle en déplaçant les points x ou y.

La figure est plus lisible lorsque b < c, renommer éventuellement les points.

Télécharger la figure GéoPlan tri_2cotes_1angle.g2w
Voir aussi : construire un triangle connaissant un angle, un côté adjacent et la somme des deux autres
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4. Construire un triangle connaissant la longueur d'un côté et les deux angles qui lui sont adjacents

Étant donnés un segment [AB] de longueur c, deux angles xÎy et zJt, construire un triangle ABC tel que BÂC = xÎy et ABC = zJt.

Pour reporter l'angle xÎy sur la demi-droite [AB) on trace les cercles (c₁) et (c₃) de centres I et A et de rayon c. [Ix) rencontre (c₁) en M et [Iy) en N. Avec le compas, on reporte l'arc MN en traçant le cercle (c₄) de centre B et de rayon MN. Ce cercle coupe (c₂) en P et P’. Les angles BÂP et BÂP’ sont égaux à xÎy.

De même, pour reporter l'angle zJt sur la demi-droite [BA), on trace les cercles (c₂) et (c₅) et centres J et B et de rayon c. On reporte l'arc QR, en traçant le cercle (c₆) de centre A et de rayon QR. Ce cercle coupe (c₅) en S et S’. Les angles ABS et ABS’ sont égaux à zJt.

Si les demi-droites [AP) et [BS) sont sécantes en un point C, le triangle ABC est une construction possible. Les demi-droites [AP’) et [BS’) sont alors sécantes en C’, le triangle ABC’ est aussi une solution. Ces deux triangles sont symétriques par rapport à la droite (AB).

Si ABC n'est pas un triangle isocèle en C, en permutant les angles on obtient deux autres triangles symétriques du triangle ABC par rapport au milieu de [AB] et à sa médiatrice.

La somme des angles d'un triangle étant un angle plat :

+ + = 180°, la construction est possible lorsque + < 180°,
soit  xÎy + zJt < 180°.

Commandes GéoPlan

Faire varier la longueur de [AB] en cliquant sur c ou les angles en déplaçant les points x, y, z ou t.

Télécharger la figure GéoPlan tri_2cotes_1angle.g2w

5. Triangles isocèles ayant un angle de 80 degrés

Angle au sommet de 80°

Étant donnés une longueur c et un angle xÔy, construire un triangle isocèle ABC tel que AB = AC = c et que BÂC = xÔy.

En adaptant la construction du paragraphe 3, reporter la moitié de l'angle xÔy sur une demi-droite [AJ) passant par A. On trace les cercles (c₁) et (c₂) de centres O et A et de rayon c. [Ox) rencontre (c₁) en M et [Oy) en P. La bissectrice de MÔP coupe le cercle (c₁) en I qui partage l'arc MP en deux parties égales. Avec le compas, on reporte l'arc IM en traçant le cercle (c₃) de centre J et de rayon IM. Ce cercle coupe (c₂) en B et C’. L'angle BÂC est égal à xÔy. La construction du triangle isocèle ABC est toujours possible.

Comme la somme des angles d'un triangle est 180°, avec = ,
on a + 2 =180° et en divisant par 2 : = 90 − .

Commandes GéoPlan

Faire varier les longueurs des côtés égaux en cliquant sur c ou l'angle en déplaçant x ou y.
Taper sur la touche A pour un angle de 80°.

Télécharger la figure GéoPlan tri_iso.g2w

Angle à la base de 80°

Étant donnés une longueur a et un angle xÔy, construire un triangle ABC isocèle en A tel que la base BC = a et que ABC = xÔy.

Pour reporter l'angle xÔy sur la demi-droite [BC) on trace les cercles
(c₁) et (c₂) de centres O et B et de rayon a. [Ox) rencontre (c₁) en M et [Oy) en P. Avec le compas, on reporte l'arc MP en traçant le cercle (c₃) de centre C et de rayon MP. Ce cercle coupe (c₂) en A’ et l'angle A’BC est égal à xÔy.

Si la demi-droite [AA’) coupe la médiatrice de [BC], le point d'intersection A est le sommet du triangle isocèle ABC.

Cette construction n'est possible que si xÔy <90° (les angles égaux d'un triangle isocèle sont aigus).

Comme la somme des angles d'un triangle est 180°, avec = ,
on a + 2 =180° et = 180° −2 .

Commandes GéoPlan

Faire varier la longueur de la base, en cliquant sur a
ou l'angle en déplaçant x ou y.
Taper sur la touche A pour un angle de 80°.

Télécharger la figure GéoPlan tri_iso2.g2w
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6. Cerfs-volants inscrits dans deux cercles sécants

Figures simples ayant un centre de symétrie ou des axes de symétrie.

Deux cercles (c) et (c’) de centres distincts O et O’sont sécants en A et B.
La ligne des centres (OO’) coupe (c) en C et (c’) en D.
La droite (OO’) est la médiatrice de [AB] et est axe de symétrie de la figure.

Cercles de même rayon : chacun des cercles passe par le centre de l'autre

Les droites (OO’) et (AB) sont deux axes de symétrie et leur point d'intersection I est centre de symétrie de la figure.

Les quadrilatères AOBO’ et ACBD sont des losanges d'angles 60° et 120°.

Voir : cercles et triangle équilatéral

Télécharger la figure GéoPlan deux_cercles_egaux.g2w

Cas général : cercles de rayons différents

La ligne des centres (OO’) coupe le cercle (c) en C et E, et le cercle
(c’) en D et F.

Les quadrilatères ACBD et AEBF sont des cerfs-volants, ainsi que ACBE et AFBD.

Remarquer aussi les pointes de flèche ACBF et ADBE.

Télécharger la figure GéoPlan deux_cercles.g2w

7. Calculs d'angles

Les objets de la géométrie du collège sont relativement peu nombreux. Ils constituent, avec les définitions et propriétés afférentes, ainsi que les grandeurs associées, un bagage suffisamment riche pour soutenir de véritables démarches d'investigation et des activités d'argumentation et de preuve. Au niveau de la sixième, les propriétés utilisables restent assez élémentaires, accessibles sur le plan conceptuel : égalités de longueurs, d'angles, orthogonalité, parallélisme…et ne donnent pas lieu à des formalisations trop difficiles pour les élèves. Les angles et les aires constituent des outils de démonstration parfois sous-exploités.

Ainsi, dès la classe de cinquième, les angles permettent d’engager des démonstrations simples sans être simplistes, comme dans la situation suivante où est mise en œuvre la conjonction de deux propriétés concernant les angles : la définition de la bissectrice d’une part et le théorème
relatif à l’intersection d’une droite avec deux parallèles.

ABC est un triangle rectangle et isocèle de sommet principal C.
La droite (d) passant par A est parallèle à (BC).
La bissectrice de l’angle ABC coupe la droite (d) en E.
Quelle est la nature du triangle ABE ?

Ressources pour les classes de 6^e, 5^e, 4^e et 3^e - Géométrie au collège
Projet de document d’accompagnement mathématique - Juillet 2007

8. Deux diamètres

Le cercle de diamètre [AB] et le cercle de diamètre [CD] ont le même centre.
Montrer que ACBD est un parallélogramme.

2.2. Entre deux cercles

ABCD est un carré de 1 cm de côté.

Calculer l'aire de la figure délimitée par les arcs de cercle, de centres A et C, passant par B et D.

Télécharger la figure GéoPlan aire_entre_2_cercles.g2w

Une fleur de quatre pétales

Dans un carré de 2 cm de côté les quatre pétales sont formés par l'intersection de demi-cercles.

Calculer l'aire de la fleur formée par les quatre pétales.

Télécharger la figure GéoPlan fleur.g2w

  I et J sont les milieux des côtés d'un quadrilatère ABCD.

Rectangle de côtés de longueurs AB = 6 cm et BC = 3 cm dans la figure de gauche,
carré de côté AB = 4 cm dans la figure de droite,

quelles fractions de l'aire du quadrilatère représente l'aire de chacun des triangles AIJ, BIC et DCJ ?

Quelle fraction de l'aire du quadrilatère représente l'aire du triangle CIJ ?

Télécharger les figures GéoPlan triangle_ds_rectangle.g2w, triangle_ds_carre2.g2w

Calculs d'aires au collège :

Aire du parallélogramme, du trapèze, du triangle, aire et médiane

Deux parallélogrammes d'aires égales

Partage d'un parallélogramme en deux polygones croisés

Théorème du papillon

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Contenus

Compétences

Exemples d'activités, commentaires

3.1. Figures planes

Parallélogrammes

Connaître et utiliser une définition et les propriétés (relatives aux côtés, aux diagonales et aux angles) du parallélogramme

Le travail entrepris sur la symétrie centrale permet de justifier des propriétés caractéristiques du parallélogramme que les élèves doivent connaître.

Figures simples ayant un centre de symétrie ou des axes de symétrie.

Connaître et utiliser une définition et les propriétés (relatives aux côtés, aux diagonales, aux éléments de symétrie) du carré, du rectangle, du losange.

Un travail de synthèse est réalisé, faisant apparaître chacune de ces figures (rectangle, losange, carré) comme un parallélogramme doté de propriétés particulières, notamment en ce qui concerne les diagonales.

Caractérisation angulaire du parallélisme

La démonstration de cette propriété est possible grâce à la symétrie centrale.

Connaître et utiliser les propriétés relatives aux angles formés par deux parallèles et une sécante et leurs réciproques.

À cette occasion, le vocabulaire suivant est également utilisé : angles opposés par le sommet, angles alternes-internes, angles correspondants, angles adjacents, angles complémentaires, angles supplémentaires.

Les propriétés sont formulées et utilisées dans les deux sens (direct et réciproque), mais certaines réciproques peuvent être déclarées admises sans démonstration.

Utilisation de la propriété pour démontrer que deux droites sont (ou ne sont pas) parallèles.

Somme des angles d'un triangle
La démonstration de cette propriété est suggérée : à partir de constructions de symétriques ou grâce à la caractérisation angulaire du parallélisme.

Connaître et utiliser, dans une situation donnée, le résultat sur la somme des angles d'un triangle.

Savoir l'appliquer aux cas particuliers du triangle équilatéral, d'un triangle rectangle, d'un triangle isocèle.

La symétrie centrale ou la caractérisation angulaire du parallélisme qui en découle permettent de démontrer que la somme des angles d'un triangle est égale à 180 degrés.

Exemples d'utilisation :
trouver quels triangles isocèles ont un angle de 80 degrés.

Démontrer l'alignement de trois points

Construction de triangles et inégalité triangulaire.

Connaître et utiliser l'inégalité triangulaire.

Construire un triangle connaissant :
• la longueur d'un côté et les deux angles qui lui sont adjacents,
• les longueurs de deux côtés et l'angle compris entre ces deux côtés,
• les longueurs des trois côtés.

Sur papier uni, reproduire un angle au compas.

Dans chaque cas où la construction est possible, les élèves sont invités à remarquer que lorsqu'un côté est tracé, on peut construire plusieurs triangles, deux à deux symétriques par rapport à ce côté, à sa médiatrice et à son milieu.

L'inégalité triangulaire est mise en évidence à cette occasion et son énoncé est admis :
AB + BC ≥ AC.
Le cas de l’égalité AB + BC = AC est reconnu comme caractéristique de l'appartenance du point B au segment [AC].

Ces constructions permettent un premier contact (implicite) avec les trois cas d'isométrie des triangles (théorèmes rencontrés en classe de seconde).

Cercle circonscrit à un triangle

Construire le cercle circonscrit à un triangle.

La construction doit être justifiée

Médianes et hauteurs d'un triangle

Connaître et utiliser la définition d'une médiane et d'une hauteur d'un triangle.

Ces notions sont à relier au travail sur l'aire d'un triangle (cf. § 4.3). Des activités de construction ou l'usage d'un logiciel de géométrie permettent de mettre en évidence les propriétés de concours des médianes et des hauteurs d'un triangle. La démonstration de ces propriétés n'est pas envisageable en classe de cinquième, mais possible en classe de quatrième.

Contenus

Compétences

Exemples d'activités, commentaires

3.2 Prismes droits, cylindres de révolution

  – Fabriquer un prisme droit dont la base est un
triangle ou un parallélogramme et dont les
dimensions sont données, en particulier à partir d’un patron.
  – Fabriquer un cylindre de révolution dont le rayon du cercle de base est donné.
  – Dessiner à main levée une représentation en
perspective cavalière de ces deux solides.
  – Reconnaître dans une représentation en perspective cavalière d’un prisme droit les arêtes de même longueur, les angles droits, les arêtes, les faces parallèles ou perpendiculaires.

Comme en classe de sixième, l’objectif est d’entretenir et d’approfondir les acquis :
représenter, décrire et construire des solides de l’espace, en particulier à l’aide de patrons. Passer de l’objet à ses représentations (et inversement) constitue encore l’essentiel du travail.
L’observation et la manipulation d’objets usuels sont des points d’appui indispensables.

L’usage d’outils informatiques (logiciels de géométrie dans l’espace) peut se révéler utile pour une meilleure découverte de ces solides.

Contenus

Compétences

Exemples d'activités, commentaires

- Construire le symétrique d'un point, d'un segment, d'une droite, d'une demi-droite, d'un cercle.

- Construire ou compléter la figure symétrique d'une figure donnée ou de figures possédant un centre de symétrie à l'aide de la règle (graduée ou non), de l’équerre, du compas, du rapporteur. [Technologie]

Comme en classe de sixième, un travail expérimental permet d'obtenir un inventaire abondant de figures simples. Les propriétés invariantes dans une symétrie centrale sont ainsi progressivement dégagées et comparées avec les propriétés invariantes dans une symétrie axiale.

Ces travaux conduisent à :
la construction de l'image d'une figure simple, l’énoncé et l'utilisation de propriétés caractéristiques du parallélogramme (cf. § 3.1) ;
la caractérisation angulaire du parallélisme et son utilisation (cf. § 3.1) ;
la justification de formules relatives aux aires (cf. § 4.3).

La symétrie centrale n'a, à aucun moment, à être présentée comme application du plan dans lui-même.

Contenus

Compétences

Exemples d'activités, commentaires

4.1 Longueurs, masses, durées

- Calculer le périmètre d'une figure.

- Calculer des durées, des horaires.

Pour les polygones (dont le parallélogramme), la compréhension de la notion de périmètre suffit à la détermination de procédés de calcul (les formules sont donc inutiles).

Le calcul sur des durées ou des horaires, à l'aide de procédures raisonnées, se poursuit.

4.2 Angles

Maîtriser l'utilisation du rapporteur.

4.3 Aires

parallélogramme, triangle, disque.

- Calculer l’aire d'un parallélogramme.

- Calculer l’aire d'un triangle connaissant un côté et la hauteur associée.

- Calculer l'aire d'un disque de rayon donné.

- Calculer l'aire d'une surface plane ou celle d'un solide, par décomposition en surfaces dont les aires sont facilement calculables.

La formule de l'aire du parallélogramme est déduite de celle de l'aire du rectangle.

La formule de l'aire du triangle est déduite de celles de l'aire du parallélogramme, du triangle rectangle ou du rectangle.
Le fait que chaque médiane d'un triangle le partage en deux triangles de même aire est justifié (démontré en 2006 !)..

Une démarche expérimentale permet de vérifier la formule de l'aire du disque.

Les élèves peuvent calculer l'aire latérale d'un prisme droit ou d'un cylindre de révolution à partir du périmètre de leur base et de leur hauteur.

Contenus

Compétences

Exemples d'activités, commentaires

4.4 Volumes

Prisme, cylindre de révolution.

Calculer le volume d’un parallélépipède rectangle.
- Calculer le volume d’un prisme droit, d’un cylindre de révolution.
- Effectuer pour des volumes des changements d’unités de mesure.

Une relation est établie entre les calculs de volume du prisme droit et du cylindre : dans les deux cas, l’aire de la surface de base du solide est multipliée par sa hauteur.
On travaillera les changements d’unités de volume dans des situations de la vie courante

GéoPlan
Quadrilatère

GéoPlan
Cercle

Exercices de géométrie
au collège

Construction du pentagone
régulier

Cabri-Géomètre
TP en sixième

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1. Deux droites
2. Construire un triangle connaissant les trois côtés
3. Construire un triangle connaissant deux côtés et l'angle compris entre ces deux côtés
4. Construire un triangle connaissant un côté et deux angles adjacents
5. Triangles isocèles ayant un angle de 80 degrés
6. Cerfs-volants inscrits dans deux cercles sécants

II Calculs d'aires

2.1. Goutte d'eau
2.2. Entre deux cercles - Une fleur de quatre pétales
2.3. Un triangle dans un carré
2.4. Un triangle dans un rectangle ou un carré

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