Programme de géométrie de 5e : construction de triangles.
Les problèmes proposés dans les pages « …avec GéoPlan » sont assez guidés. À partir d'exercices, souvent proposés en classe, nous avons abrégé la démarche expérimentale et, en raison de la nature du média Internet, nous livrons telles quelles des indications. Ceci est, en général, suffisant pour les élèves qui auront à s'approprier les solutions et à rédiger les démonstrations. |
Que dire des deux droites ci-contre ? Modifier la droite (CD) en tapant sur la touche P. Les deux droites ci-dessus semblent parallèles, mais GéoPlan accepte de tracer leur point d'intersection. Vérifions avec un agrandissement où en déplaçant la vue (clic droit maintenu avec GéoPlan). Par la touche P, l'affectation directe du point D permet de tracer une droite (CD) parallèle à (AB). GéoPlan renâcle alors à créer le point d'intersection. Télécharger la figure GéoPlan deux_droites.g2w 2. Construire un triangle connaissant les longueurs des trois côtésInégalité triangulaireProgramme de 5e Connaître et utiliser l'inégalité triangulaire pour construire un triangle connaissant les longueurs des trois côtés. Lorsque la construction est possible, les élèves sont invités à remarquer que lorsqu'un côté est tracé, on peut construire plusieurs triangles, deux à deux symétriques par rapport à ce côté, à sa médiatrice et à son milieu. L'inégalité triangulaire est mise en évidence à cette occasion et son énoncé est admis :
AB + BC ≥ AC. Ces constructions permettent un premier contact (implicite) avec les trois cas d'isométrie des triangles (théorèmes rencontrés en classe de seconde). Étant donné un segment [BC] de longueur a et deux nombres positifs b et c, construire un triangle ABC tel que AC = b et AB = c.Tracer les cercles (c1) de centre B, de rayon c et (c2) de centre C de rayon b. |
Si les cercles (c1) et (c2) sont sécants en deux points distincts A et A’, le triangle ABC est une construction possible, le triangle A’BC est aussi une solution. Ces deux triangles sont symétriques par rapport à la droite (BC). Dans ce cas a + b ≥ c, l'inégalité triangulaire BA + AC ≥ BC est vérifiée. Télécharger la figure GéoPlan tri_cotes_donnes.g2w |
Lorsqu'il y a une solution, si les longueurs sont distinctes, on peut construire quatre triangles isométriques, deux à deux symétriques par rapport au côté [BC], à sa médiatrice et à son milieu. Télécharger la figure GéoPlan tri_cotes_donnes2.g2w |
Commandes GéoPlan
Faire varier les longueurs BC, AB ou CA, en déplaçant les extrémités a, b ou c.
BC trop grandSi b + c < a les cercles (c1) et (c2) sont extérieurs l'un à l'autre, la construction est impossible. Si b + c = a les deux cercles sont tangents en A (confondu avec A’), l'égalité BA + AC = BC caractérise l'appartenance du point A au segment [BC]. |
BC trop petitSi a + b < c ou a + c < b un des cercles (c1) ou (c2) est à l'intérieur de l'autre, la construction est impossible. Si a + b = c ou a + c = b les deux cercles sont tangents intérieurement en A (confondu avec A’), le point A est sur la droite (BC). |
3. Construire un triangle connaissant les longueurs de deux côtés et l'angle compris entre ces deux côtésÉtant donné un segment [AB] de longueur c, un nombre positif b et un angle xÔy, construire un triangle ABC tel que AC = b et que BÂC = xÔy. Pour reporter l'angle xÔy sur la demi-droite [AB), on trace les cercles (c1) et (c2) de centres O et A et de rayon c. [Ox) rencontre (c1) en M et [Oy) en P. Avec le compas, on reporte l'arc MP, en traçant le cercle (c3) de centre B et de rayon MP. Ce cercle coupe (c2) en Q et Q’. Les angles BÂQ et BÂQ’ sont égaux à xÔy. [AQ) rencontre le cercle (c4) de centre A et de rayon b en C et [AQ’) en C’. Le triangle ABC est une construction toujours possible (b > 0, c > 0 et 0 < xÔy < 180°), le triangle ABC’ est aussi une solution. Ces deux triangles sont symétriques par rapport à la droite (AB). Si ABC n'est pas un triangle isocèle en C, en reportant l'angle xÔy en B sur la demi-droite [BA) on obtient deux autres triangles symétriques du triangle ABC par rapport au milieu de [AB] et à sa médiatrice. Commandes GéoPlan Faire varier les longueurs des côtés en cliquant sur b ou c ou l'angle en déplaçant les points x ou y. La figure est plus lisible lorsque b < c, renommer éventuellement les points. Télécharger la figure GéoPlan tri_2cotes_1angle.g2w 4. Construire un triangle connaissant la longueur d'un côté et les deux angles qui lui sont adjacentsÉtant donné un segment [AB] de longueur c, deux angles xÎy et zJt, construire un triangle ABC tel que BÂC = xÎy et ABC = zJt. Pour reporter l'angle xÎy sur la demi-droite [AB) on trace les cercles (c1) et (c3) de centres I et A et de rayon c. [Ix) rencontre (c1) en M et [Iy) en N. Avec le compas, on reporte l'arc MN en traçant le cercle (c4) de centre B et de rayon MN. Ce cercle coupe (c2) en P et P’. Les angles BÂP et BÂP’ sont égaux à xÎy. De même, pour reporter l'angle zJt sur la demi-droite [BA), on trace les cercles (c2) et (c5) et centres J et B et de rayon c. On reporte l'arc QR, en traçant le cercle (c6) de centre A et de rayon QR. Ce cercle coupe (c5) en S et S’. Les angles ABS et ABS’ sont égaux à zJt. Si les demi-droites [AP) et [BS) sont sécantes en un point C, le triangle ABC est une construction possible. Les demi-droites [AP’) et [BS’) sont alors sécantes en C’, le triangle ABC’ est aussi une solution. Ces deux triangles sont symétriques par rapport à la droite (AB). Si ABC n'est pas un triangle isocèle en C, en permutant les angles on obtient deux autres triangles symétriques du triangle ABC par rapport au milieu de [AB] et à sa médiatrice. La somme des angles d'un triangle étant un angle plat : + + = 180°, la construction est possible lorsque + < 180°, Commandes GéoPlan Faire varier la longueur de [AB] en cliquant sur c ou les angles en déplaçant les points x, y, z ou t. Télécharger la figure GéoPlan tri_2cotes_1angle.g2w 5. Triangles isocèles ayant un angle de 80 degrésAngle au sommet de 80°Étant donné une longueur c et un angle xÔy, construire un triangle isocèle ABC tel que AB = AC = c et que BÂC = xÔy.
Comme la somme des angles d'un triangle est 180°, avec = , Commandes GéoPlan Faire varier les longueurs des côtés égaux en cliquant sur c ou l'angle en déplaçant x ou y. Télécharger la figure GéoPlan tri_iso.g2w Angle à la base de 80°Étant donné une longueur a et un angle xÔy, construire un triangle ABC isocèle en A tel que la base BC = a et que ABC = xÔy. Pour reporter l'angle xÔy sur la demi-droite [BC) on trace les cercles Si la demi-droite [AA’) coupe la médiatrice de [BC], le point d'intersection A est le sommet du triangle isocèle ABC. Cette construction n'est possible que si xÔy <90° (les angles égaux d'un triangle isocèle sont aigus). Comme la somme des angles d'un triangle est 180°, avec = , Commandes GéoPlan Faire varier la longueur de la base, en cliquant sur a Télécharger la figure GéoPlan tri_iso2.g2w 6. Cerfs-volants inscrits dans deux cercles sécantsFigures simples ayant un centre de symétrie ou des axes de symétrie. Deux cercles (c) et (c’) de centres distincts O et O’sont sécants en A et B. |
Cercles de même rayon : chacun des cercles passe par le centre de l'autre Les droites (OO’) et (AB) sont deux axes de symétrie et leur point d'intersection I est centre de symétrie de la figure. Les quadrilatères AOBO’ et ACBD sont des losanges d'angles 60° et 120°. Voir : cercles et triangle équilatéral Télécharger la figure GéoPlan deux_cercles_egaux.g2w |
Cas général : cercles de rayons différents La ligne des centres (OO’) coupe le cercle (c) en C et E, et le cercle Les quadrilatères ACBD et AEBF sont des cerfs-volants, ainsi que ACBE et AFBD. Remarquer aussi les pointes de flèche ACBF et ADBE. Télécharger la figure GéoPlan deux_cercles.g2w |
7. Calculs d'anglesLes objets de la géométrie du collège sont relativement peu nombreux. Ils constituent, avec les définitions et propriétés afférentes, ainsi que les grandeurs associées, un bagage suffisamment riche pour soutenir de véritables démarches d'investigation et des activités d'argumentation et de preuve. Au niveau de la sixième, les propriétés utilisables restent assez élémentaires, accessibles sur le plan conceptuel : égalités de longueurs, d'angles, orthogonalité, parallélisme…et ne donnent pas lieu à des formalisations trop difficiles pour les élèves. Les angles et les aires constituent des outils de démonstration parfois sous-exploités. Ainsi, dès la classe de 5ème, les angles permettent d'engager des démonstrations simples sans être simplistes, comme dans la situation suivante où est mise en œuvre la conjonction de deux propriétés concernant les angles : la définition de la bissectrice d'une part et le théorème ABC est un triangle rectangle et isocèle de sommet principal C. Ressources pour les classes de 6e, 5e, 4e et 3e - Géométrie au collège 8. Deux diamètresLe cercle de diamètre [AB] et le cercle de diamètre [CD] ont le même centre. |
A, B et C sont trois points alignés tels que : AB = 4 cm, BC =6 cm.
Cette figure est formée de trois demi-cercles.
Calculer son périmètre.
Calculer son aire.
Télécharger la figure GéoPlan goutte_eau.g2w
2.2. Entre deux cerclesABCD est un carré de 1 cm de côté. Calculer l'aire de la figure délimitée par les arcs de cercle, de centres A et C, passant par B et D. Télécharger la figure GéoPlan aire_entre_2_cercles.g2w |
Une fleur de quatre pétalesDans un carré de 2 cm de côté, les quatre pétales sont formés par l'intersection de demi-cercles. Calculer l'aire de la fleur formée par les quatre pétales. Télécharger la figure GéoPlan fleur.g2w |
I est un point du côté [CD] d'un carré ABCD de côté AB = 4 cm.
L'aire du triangle ABI est la moitié de l'aire du carré soit 8 cm2.
Télécharger la figure GéoPlan triangle_ds_carre_g2w
I et J sont les milieux des côtés d'un quadrilatère ABCD. Rectangle de côtés de longueurs AB = 6 cm et BC = 3 cm dans la figure de gauche, quelles fractions de l'aire du quadrilatère représente l'aire de chacun des triangles AIJ, BIC et DCJ ? Quelle fraction de l'aire du quadrilatère représente l'aire du triangle CIJ ? Télécharger les figures GéoPlan triangle_ds_rectangle.g2w, triangle_ds_carre2.g2w Calculs d'aires au collège :Aire du parallélogramme, du trapèze, du triangle, aire et médiane Deux parallélogrammes d'aires égales Partage d'un parallélogramme en deux polygones croisés Sommaire |
Activité B2i |
Domaine B2i |
Item collège validable |
Construction de triangle. |
1 – S'approprier un environnement informatique de travail. 2 – Adopter une attitude responsable pour les élèves venant en aide. |
1.1 – Je sais m'identifier sur un réseau ou un site et mettre fin à cette identification. 1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail. 2.7 – Je mets mes compétences informatiques au service d'une production collective. |
En classe de cinquième, l'étude de la symétrie centrale permet de réorganiser et de compléter les connaissances sur les figures. ObjectifsLa résolution de problèmes a pour objectifs de connaître et utiliser les propriétés conservées par symétrie (axiale ou centrale), les propriétés relatives aux figures usuelles (triangles, parallélogrammes, cercles), d'entretenir la pratique des constructions géométriques (aux instruments et à l‘aide d'un logiciel de géométrie) et des raisonnements sous-jacents qu'elles mobilisent, de conduire sans formalisme des raisonnements géométriques simples, de familiariser les élèves avec les représentations de figures de l'espace. |
Connaissances |
Capacités |
Commentaires |
3.1. Figures planes |
– Connaître et utiliser une définition et les propriétés (relatives aux côtés, aux diagonales et aux angles) du parallélogramme – Construire, sur papier uni, un parallélogramme donné (et notamment dans les cas particuliers du carré, du rectangle, du losange) en utilisant ses propriétés. |
Le travail entrepris sur la symétrie centrale permet de justifier des propriétés caractéristiques du parallélogramme que les élèves doivent connaître. Dans le cadre du socle commun il est seulement attendu des élèves qu'ils sachent utiliser en situation ces propriétés, notamment pour la reconnaissance d'un parallélogramme, d'un rectangle, d'un losange ou pour leur tracé. Les connaissances relatives aux quadrilatères usuels sont sollicitées dans des problèmes de construction et permettent de justifier les procédures utilisées pour construire ces quadrilatères. |
Figures simples ayant un centre de symétrie ou des axes de symétrie. |
– Connaître et utiliser une définition et les propriétés (relatives aux côtés, aux diagonales, aux éléments de symétrie) du carré, du rectangle, du losange. |
Un travail de synthèse est réalisé, faisant apparaître chacune de ces figures (rectangle, losange, carré) comme un parallélogramme doté de propriétés particulières, notamment en ce qui concerne les diagonales. |
Angles. [Reprise du programme de 6e] |
– Reproduire un angle. |
Pour la reproduction d'un angle : usage d'un gabarit ou du rapporteur. |
Propriétés des triangles usuels. [Reprise du programme de 6e] |
– Connaître les propriétés relatives aux angles des triangles suivants : triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle. |
La connaissance ainsi développée des figures ci-contre conduit à les situer les unes par rapport aux autres en mettant en évidence leurs propriétés communes et des propriétés différentes. |
Caractérisation angulaire du parallélisme. |
– Connaître et utiliser les propriétés relatives aux angles formés par deux parallèles et une sécante et leurs réciproques. |
À cette occasion, le vocabulaire suivant est également utilisé : angles opposés par le sommet, angles alternes-internes, angles correspondants, angles adjacents, angles complémentaires, angles supplémentaires. |
Triangle, |
– Connaître et utiliser, dans une situation donnée, le résultat sur la somme des angles d'un triangle. |
Savoir l'appliquer aux cas particuliers du triangle équilatéral, d'un triangle rectangle, d'un triangle isocèle. |
Construction de triangles et inégalité triangulaire. |
– Connaître et utiliser l'inégalité triangulaire. – Construire un triangle connaissant : – Sur papier uni, reproduire un angle au compas. |
Dans chaque cas où la construction est possible, les élèves sont invités à remarquer que lorsqu'un côté
est tracé, on peut construire plusieurs triangles, deux à deux symétriques par rapport à ce côté, à sa |
Médiatrice d'un segment. [Reprise du programme de 6e] |
– Connaître et utiliser la définition de la médiatrice ainsi que la caractérisation de ses points par la
propriété d'équidistance. |
Au niveau des exigibles du socle, il suffit de connaître une méthode de construction. |
Cercle circonscrit à un triangle |
– Construire le cercle circonscrit à un triangle. |
La construction doit être justifiée |
Médianes et hauteurs d'un triangle. |
– Connaître et utiliser la définition d'une médiane et d'une hauteur d'un triangle. |
Ces notions sont à relier au travail sur l'aire d'un triangle. La démonstration des propriétés de concours n'est pas envisageable en classe de cinquième. La notion de hauteur d'un triangle ne fait pas partie du socle |
3.2 Symétries |
– Construire le symétrique d'une droite. |
Le rôle de la médiatrice comme axe de symétrie d'un segment est mis en évidence. |
Symétrie centrale. |
– Construire le symétrique d'un point, d'un segment, d'une droite, d'un cercle. – Construire le symétrique, d'une demi-droite. – Construire ou compléter à l'aide des instruments usuels la figure symétrique d'une figure donnée. |
Comme en classe de sixième, un travail expérimental permet d'obtenir un inventaire abondant de figures simples. Ces travaux conduisent à : |
4.2 Angles |
– Maîtriser l'utilisation du rapporteur. |
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4.3 Aires Parallélogramme, triangle, |
– Calculer l'aire d'un parallélogramme. – Calculer l'aire d'un triangle connaissant un côté et la hauteur associée. – Calculer l'aire d'une surface plane ou celle d'un solide, par décomposition en surfaces dont les aires sont facilement calculables. |
La formule de l'aire du parallélogramme est déduite de celle de l'aire du rectangle. |
GéoPlan |
GéoPlan |
Exercices de géométrie |
Construction du pentagone |
Cabri-Géomètre |
Sommaire1. Deux droites II Calculs d'aires2.1. Goutte d'eau |
Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec Internet Explorer et la version ActiveX de GéoPlan
Faire de la géométrie dynamiqueSuggestions, remarques, problème : me contacter. |