Fléchettes dans un triangle

Sommaire

Quatre fléchettes dans un triangle
Cinq fléchettes dans un triangle

Page créée le 19/3/2011

…Avec GéoPlan
au collège

GéoPlan en 3^e
Théorème de Thalès

Démonstrations géométriques de Pythagore

Retrouver un triangle à partir de droites remarquables

GéoPlan en 5^e
Construction de triangles

…Avec GeoGebra

Présentation de l’activité

On dispose d’une cible triangulaire quelconque. On jette des fléchettes atteignant toutes la cible.
On s’intéresse aux triangles formés à partir des fléchettes sur la cible.

Dans quelles conditions, peut-on toujours obtenir au moins un triangle dont l’aire est inférieure à une fraction donnée de l’aire de la cible.

Conditions de mise en œuvre

Classes de 5^e - 4^e

Objectifs

Mathématiques

• Propriété de la médiane en 5^e.
• Théorème des milieux, aire d’un triangle en 4^e.

Informatiques : utiliser un logiciel de géométrie dynamique

B2i : C.3.6 : Je sais utiliser un outil de simulation (ou de modélisation) en étant conscient de ses limites.

Déroulement de l’activité

On peut travailler sur 4 fléchettes, puis sur 5.

Il s’agit avant tout pour les élèves de s’approprier le problème.
Avec le logiciel de géométrie créer le triangle cible ABC, placer des fléchettes à l'intérieur de la cible et en utilisant la fonction « Aire » et la fonction « Min », chercher quelle la taille maximale du plus petit triangle inscrit dans la cible.

Quatre fléchettes dans un triangle

Recherche avec GeoGebra :

Dans un triangles ABC, d'aire a = Aire[A, B, C], on lance 4 fléchettes D, E, F et G.

Les fléchettes déterminent quatre triangles dont on calcule les aires :
a1 = Aire[E, F, G] ; a2= Aire[D, F, G] ; a3 = Aire[D, E, G] et a4 = Aire[D, E, F].

Pour calculer le minimum m de ces quatre nombres, GeoGebra demande la création d'une liste :
L = {a1, a2, a3, a4}.

D'où m = Min[L].

On obtient au moins un triangle dont l’aire est inférieure au tiers de l’aire de la cible.

On se rend vite compte que si un point est proche du bord de la cible, on peut trouver des triangles de taille supérieur en plaçant le point sur le côté du triangle.

Avec quatre point on étudie les configurations ou les quatre fléchettes forment un quadrilatère convexe. On trouve rapidement qu'il faut placer les quatre fléchettes sur les côtés du triangle. En déplaçant au milieu du triangle une des deux fléchettes situées sur un même côté du triangle, on se rend compte que l'on a une meilleur configuration.

Il faut donc prendre trois points sur les côtés du triangle avec le quatrième à l'intérieur du triangle formé. En déplaçant le point à l'intérieur du triangle, on trouve alors que m est maximal lorsque l'on place la quatrième fléchette au centre de gravité du triangle formé par les trois premières fléchettes.
On trouve rapidement que la meilleure configuration est obtenue avec trois fléchettes aux sommet du triangle et la quatrième au centre de gravité.

En effet le centre de gravité d'un triangle le partage en trois triangles de même aire.

Télécharger la figure GeoGebra quatre_flechettes.ggb, medianes.ggb

Point à l'intérieur d'un triangle

Je ne sais pas avec GeoGebra astreindre un point M à être à l'intérieur d'un triangle.
Un biais : tracer le triangle t_ABC = Polygone[A, B, C], un point point P = Point[t_ABC] variable sur les côtés du triangle. Il suffit alors de placer un M sur le segment [GP] où G = CentreGravité[t_ABC]. C'est assez lourd !

Voir : la figure GeoGebra point_dans_triangle.ggb
et la figure GeoGebra quatre_flechettes_2.ggb

Cinq fléchettes dans un triangle

À la figure précédente, on rajoute une fléchette H et on calcule l'aire de six nouveaux triangles :
a5 = Aire[D, E, H] ; … ; a10 = Aire[F, G, H].

Avec la liste L = {a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10}, on calcule le minimum m = Min[L].

Pierrick Bouttier démontre que l'aire m du plus petit triangle est inférieure au quart de l'aire a de la cible.

Il semble que l'on puisse faire mieux.
Considérer un seul triangle à comparer avec les triangles formés par les milieux des côtés ne semble pas suffisant. Une part importante du raisonnement se fait, non pas à l'intérieur, mais sur les bords de ces triangles.

En effet une figure optimale contient trois fléchettes D, E, F, sitées sur les trois côtés du triangles. Les deux autres flèchettes G et H sont alors à l'extérieur, de part et d'autre de ce triangle. Elles aussi situées sur les côtés du triangle !

On doit pouvoir montrer, avec GeoGebra, que l'aire minimum est inférieure au cinquième, voir au sixième de l'aire de la cible. Pour les démonstrations, c'est une autre paire de manches !

Télécharger la figure GeoGebra cinq_flechettes.ggb

Six fléchettes dans un triangle

En plaçant deux fléchettes sur chaque côté du triangle, on peut supposer que l'aire du plus petit triangle est inférieure au dixième de l'aire de la cible.

Faire de la géométrie dynamique

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