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GeoGebra - Feuille de travail dynamique
SommaireQuatre fléchettes dans un triangle |
Page créée le 19/3/2011 |
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…Avec GéoPlan |
GéoPlan en 3e |
Démonstrations géométriques de Pythagore |
GéoPlan en 5e |
Présentation de l’activitéOn dispose d’une cible triangulaire quelconque. On jette des fléchettes atteignant toutes la cible. Dans quelles conditions, peut-on toujours obtenir au moins un triangle dont l’aire est inférieure à une fraction donnée de l’aire de la cible. Conditions de mise en œuvreClasses de 5e - 4e ObjectifsMathématiques
Informatiques : utiliser un logiciel de géométrie dynamique B2i : C.3.6 : Je sais utiliser un outil de simulation (ou de modélisation) en étant conscient de ses limites. Déroulement de l’activitéOn peut travailler sur 4 fléchettes, puis sur 5. Il s’agit avant tout pour les élèves de s’approprier le problème. Quatre fléchettes dans un triangleRecherche avec GeoGebra : Dans un triangles ABC, d'aire a = Aire[A, B, C], on lance 4 fléchettes D, E, F et G. Les fléchettes déterminent quatre triangles dont on calcule les aires : Pour calculer le minimum m de ces quatre nombres, GeoGebra demande la création d'une liste : D'où m = Min[L]. |
On obtient au moins un triangle dont l’aire est inférieure au tiers de l’aire de la cible. On se rend vite compte que si un point est proche du bord de la cible, on peut trouver des triangles de taille supérieur en plaçant le point sur le côté du triangle. Avec quatre point on étudie les configurations ou les quatre fléchettes forment un quadrilatère convexe. On trouve rapidement qu'il faut placer les quatre fléchettes sur les côtés du triangle. En déplaçant au milieu du triangle une des deux fléchettes situées sur un même côté du triangle, on se rend compte que l'on a une meilleur configuration. Il faut donc prendre trois points sur les côtés du triangle avec le quatrième à l'intérieur du triangle formé. En déplaçant le point à l'intérieur du triangle, on trouve alors que m est maximal lorsque l'on place la quatrième fléchette au centre de gravité du triangle formé par les trois premières fléchettes. En effet le centre de gravité d'un triangle le partage en trois triangles de même aire. Télécharger la figure GeoGebra quatre_flechettes.ggb, medianes.ggb Point à l'intérieur d'un triangle Je ne sais pas avec GeoGebra astreindre un point M à être à l'intérieur d'un triangle. Voir : la figure GeoGebra point_dans_triangle.ggb Cinq fléchettes dans un triangleÀ la figure précédente, on rajoute une fléchette H et on calcule l'aire de six nouveaux triangles : Avec la liste L = {a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10}, on calcule le minimum m = Min[L]. |
Pierrick Bouttier démontre que l'aire m du plus petit triangle est inférieure au quart de l'aire a de la cible. Il semble que l'on puisse faire mieux. En effet une figure optimale contient trois fléchettes D, E, F, sitées sur les trois côtés du triangles. Les deux autres flèchettes G et H sont alors à l'extérieur, de part et d'autre de ce triangle. Elles aussi situées sur les côtés du triangle ! On doit pouvoir montrer, avec GeoGebra, que l'aire minimum est inférieure au cinquième, voir au sixième de l'aire de la cible. Pour les démonstrations, c'est une autre paire de manches ! Télécharger la figure GeoGebra cinq_flechettes.ggb
Six fléchettes dans un triangleEn plaçant deux fléchettes sur chaque côté du triangle, on peut supposer que l'aire du plus petit triangle est inférieure au dixième de l'aire de la cible.
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