Construction avec une équerre

Sommaire

1. Une perpendiculaire
2. Deux parallèles
3. Deux parallèles : angles alternes-internes, angles correspondants
4. Une parallèle avec une équerre glissant sur une règle
5. Un parallélogramme, le milieu d'un segment
6. Une médiatrice : règle graduée et équerre
7. Un losange, une médiatrice uniquement à l'équerre
8. Un carré
9. Construction à l'équerre du milieu d'une corde
    Affaire de logique n^o 234

Page n^o 115, réalisée le 11/12/2007, modifiée le 10/1/2010

Tracer la perpendiculaire à une droite lorsque le point concours n'est pas sur la feuille.

Carré avec deux sommets inaccessibles

Lieux géométriques : l'équerre contre un mur (classe de quatrième - seconde - épreuve pratique de terminale S)

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Avec GéoPlan
au collège

GéoPlan en 3^e
Théorème de Thalès

Démonstrations géométriques de Pythagore

Retrouver un triangle à partir de droites remarquables

GéoPlan en 5^e
Construction de triangles

Cabri-Géomètre
T. P. en sixième

Les constructions à l'équerre sont assez imprécises. Elles font toutefois partie de l'apprentissage normal des élèves de 9 à 13 ans.
Bien qu'ensuite on préférera les constructions à la règle au compas, certaines constructions à l'équerre ne manquent pas de piment, entre autres en utilisant un angle aigu de cet instrument comme « gabarit d’angle ».

Les figures de GéoPlan sont interactives et il est possible de déplacer les points de base et les équerres. Taper S pour vérifier la solution.
Pour la lisibilité des figures, la taille des équerres a été minorée. On peut la régler avec le paramètre l qui représente la longueur de l'hypoténuse. t est la mesure d'un des angles aigus de l'équerre, en radians.

On utilise, le plus souvent, deux types d'équerre :
 – le « demi-carré » : triangle rectangle isocèle d'angles aigus de 45° (t = radians), de côtés (1, 1, ),
 – le « triangle de l'écolier » : demi-triangle équilatéral avec des angles aigus de 30° et 60° ( t = ou t = ).

Télécharger les figures GéoPlan demi_carre.g2w, triangle_ecolier.g2w

Perpendiculaire à la droite [BC], élevée en A

Construction à l'équerre

Placer l'angle droit de l'équerre en A.

Télécharger la figure GéoPlan perpendiculaire_en_A.g2w

Perpendiculaire abaissée de A sur la droite [BC]

Construction à la règle et l'équerre

Placer un des petits côtés [HP] de l'équerre le long de la droite [BC] et la faire glisser jusqu'à ce que la perpendiculaire (HQ) passe par le point A.

Commandes GéoPlan :
Déplacer le point libre H, taper S pour vérifier la Solution.

Télécharger la figure GéoPlan perpendiculaire_passant_par_A.g2w

Tracer une droite parallèle à une droite donnée passant par un point extérieur avec une règle et «l'angle aigu » d'une équerre.

Grâce à la propriété : « deux droites parallèles découpent sur une sécante des angles alternes internes, alternes externes ou correspondants de même mesure », on peut utiliser un des angles aigus de l'équerre comme « gabarit d’angle », en faisant glisser l'hypoténuse de l'équerre le long d'une règle.

Tracer la parallèle à une droite (BC) passant par un point A extérieur
Construction à la règle et l'équerre

Deux droites parallèles découpent sur une sécante (EG) des angles correspondants de même mesure.

Télécharger la figure GéoPlan parallele_angle_aigu.g2w

Deux droites parallèles découpent sur une sécante (EG) des angles alternes-internes de même mesure.

Télécharger la figure GéoPlan parallele_angle_alterne.g2w

Placer un des petits côtés [EF] de l'équerre le long de la droite (BC), et tracer la sécante (EG).
Retourner l'équerre, dans la figure ci-dessus à droite, et faire glisser cette équerre le long d'une règle, bordant (EG), jusqu'au point H, de telle façon que (HQ) passe par A.

4. Une parallèle avec une équerre glissant sur une règle

Construction, avec une équerre glissant sur une règle, de la parallèle à une droite (BC) , menée à partir d'un point M donné.

Utilisation « dynamique » d’une équerre glissant sur une règle,de bord (BC), pour construire une parallèle.

Avec papier crayon, au départ les élèves repèrent un point A sur l'équerre qui coïncide avec le point M. Ensuite ils font glisser l'équerre le long de la règle et tracent différents points A₁, A₂, A₃… à partir du point A marqué sur l'équerre. Ils constatent que les points A₁, A₂, A₃... sont alignés avec le point M et qu’ils déterminent la droite parallèle à (BC), passant par le point M.

Avec GéoPlan, créer le lieu des points A en déplaçant l'équerre avec le point E.

Touche T pour créer le Lieu des points,
touche S pour Sortir du mode trace.

Indication

Les distances des traces de A à la droite sont égales à la distance de M à la droite. Ces points sont donc alignés sur la parallèle à la droite (BC) passant par M.

5. Un parallélogramme, le milieu d'un segment

Comme à la règle et à l'équerre, on sait tracer des couples de parallèles, on sait donc dessiner le quatrième sommet d'un parallélogramme de sommets A, B et C.

Le point d'intersection des diagonales détermine le milieu. On peut donc trouver le milieu d'un segment uniquement à la règle et à l'équerre.

Télécharger la figure GéoPlan parallelogramme.g2w

6. Une médiatrice

Définition :
la médiatrice d'un segment [AB] est l'ensemble des points M du plan équidistants de A et B.
C'est une droite perpendiculaire à (AB) au milieu I de [AB].

La médiatrice est l'axe de symétrie du segment.

Construction de la médiatrice

Par pliage d'une feuille

Par pliage d'une feuille rabattre un point A sur un point B : appuyer le pli de la feuille qui marque la médiatrice de [AB].

Règle graduée et équerre

Apprentissage de base :

Avec la règle, mesurer le segment et pointer le milieu I du segment [AB].

Placer l'angle droit l'équerre au milieu, en appuyant un des petits bords de l'équerre le long du segment.

Tracer la perpendiculaire (IQ), passant par le milieu I, qui est la médiatrice de [AB].

Télécharger la figure GéoPlan mediatrice.g2w

Compas et équerre

Configuration du triangle équilatéral

À utiliser lorsque le segment [AB] est sur un bord de la feuille.

Tracer les cercles de centre A passant par et de centre B passant par A.
Soit C un des points d'intersection de ces deux cercles.
ABC est un triangle équilatéral ayant AB comme longueur des côtés.

Le point C, équidistant de A et B, est un point de la médiatrice de [AB].

Il suffit de tracer la perpendiculaire à (AB) passant par C.
C'est la droite (IC) où I est le milieu de [AB].

Pour la tracer avec une équerre, faire glisser le côté [IP] de cette équerre jusqu'à ce que la perpendiculaire (IQ) passe par C.

Télécharger la figure GéoPlan mediatrice_compas_equerre.g2w

Règle non graduée et équerre

Configuration du triangle isocèle

Placer un des sommets de l'équerre en A, le petit côté [AD] de l'équerre le long du segment [AB] et tracer la droite (AE) le long de l'hypoténuse.

Retourner l'équerre et tracer la droite (BG) en plaçant ce même sommet en B.

Les droites (AE) et (BG) se coupent en C.
Le triangle ABC, ayant deux angles égaux à celui de l'équerre, est isocèle.
C est un point de la médiatrice.

Tracer la médiatrice de [AB], en faisant glisser le côté [IP] de l'équerre jusqu'à ce que la perpendiculaire (IQ) passe par C.

I est alors le milieu de [AB] et (IC) la médiatrice.

Télécharger la figure GéoPlan mediatrice_equerre.g2w

Dessiner la médiatrice d'un segment [AB] avec règle non graduée et compas (sans équerre)

Configuration du losange

Construction d'Œnopide de Chios (V^e siècle avant J.-C.)

Dessiner deux points A, B et le segment [AB].
Tracer les cercles de centres A et B et de rayon AB.
Soit C et D les points d'intersection de ces deux cercles.
Tracer la droite (CD) passant par ces deux points d'intersection, c'est la médiatrice de [AB].

En effet, ACBD est un losange de côtés de longueur AB.
Les points C et D sont équidistants de A et B et appartiennent à la médiatrice.
[CD] diagonale du losange est perpendiculaire à [AB] et le coupe en son milieu.

Placer un point M sur la médiatrice et vérifier l'égalité des longueurs AM = BM. (Avec GéoPlan, commande : taper M)

Voir : construction de la médiatrice à la règle et au compas
MIAM animation Flash
Wikipédia : Œnopide de Chios

Télécharger la figure GéoPlan mediatrice.g2w
Télécharger la figure Cabri mediatrice.fig
Télécharger la figure GeoLabo mediatrice.glb (Logiciel libre de géométrie dynamique : GeoLabo)

Construction à partir d'un côté

Tracer le côté [AB], puis en plaçant l'angle droit de l'équerre en A, tracer la perpendiculaire (AN) à (AB).
Placer un des coins de l'équerre en A, un des petits côtés [AE] sur (AB) et tracer une perpendiculaire [EF) à (AB).
Retourner l'équerre, ce même petit côté sur (AN), tracer une deuxième perpendiculaire [HG) à (AN).
Ces deux perpendiculaires se coupent en I et font apparaître un petit carré AEIH de diagonale [AI].

Il suffit par un agrandissement ou réduction (au lycée on parlera d'homothétie de centre A) du carré AEIH, de trouver le carré ABCD.

Pour cela, tracer le sommet C intersection de la droite (AI), diagonale du carré cherché, et de la perpendiculaire à (AB) en B.

La perpendiculaire à (AN) passant par C permet de trouver le dernier sommet D du carré ABCD.

Télécharger la figure GéoPlan carre1.g2w

Autre tracé à la règle et à l'équerre

En plaçant l'angle droit d'une équerre, qui n'est pas isocèle, en A, tracer la perpendiculaire (AN) à (AB) et marquer l'hypoténuse [EF] sur la feuille.

Retourner l'équerre, en permutant les petits côtés, faire un deuxième tracé de l'hypoténuse [GH].

Ces deux droites (EF) et (GH) se coupent en I et la droite (AI) est la bissectrice de BAN. Les angles BAI et NAI mesurent 45° et (AI) est une diagonale du carré.

Comme ci-contre, on construit le sommet C du carré, intersection de (AI) et de la perpendiculaire à (AB) en B, et on termine le côté [CD] du carré.

Télécharger la figure GéoPlan carre2.g2w

Retrouver ces constructions dans : carré avec deux sommets inaccessibles

Sauriez-vous à l'aide d'une seule équerre, construire le milieu d'une corde [AB].

Solution : Placer deux bords de l'équerre en A et B, tels que le sommet O se trouve à l'intérieur du cercle.
Tracer deux cordes perpendiculaires [AC] et [BE], passant par ce sommet.

Tracer la perpendiculaire à (CE) passant par ce sommet. Elle coupe [AB] en son milieu I.

Preuve : les angles inscrits BAC et BEC sont égaux. BEC est aussi égal à COH (ils ont un complémentaire commun HCO) et à IOA (opposé par le sommet au précédent).
Il en résulte que dans le triangle isocèle AOI, AI = IO.

Avec le même raisonnement, on obtient l'égalité angulaire
ABE = ACE = EOH = IOB.
Dans le triangle isocèle BOI, BI = IO.

AI = IO = BI, le point I est bien le milieu de [AB].

Élisabeth Busser et Gilles Cohen
© POLE 2001
Voir démonstration : 100 jeux mathématiques du Monde volume 3 - n^o 7, pages 48, 68 - Éditions POLE 2004

Télécharger la figure GéoPlan qua_insc_boa.g2w
Voir : Théorème de Brahmagupta
quadrilatère orthodiagonal produit scalaire, quadrilatère

Quadrilatère

Collège
Problèmes de construction

GéoPlan
Parallélogramme

Construction à la règle et au compas

GéoPlan
Constructions géométriques

Troisième
Accompagnement des programmes

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1. Une perpendiculaire
2. Deux parallèles
3. Deux parallèles : angles alternes-internes, angles correspondants
4. Une parallèle avec une équerre glissant sur une règle
5. Un parallélogramme, le milieu d'un segment
6. Une médiatrice : règle graduée et équerre
7. Un losange, une médiatrice uniquement à l'équerre
8. Un carré
9. Construction à l'équerre du milieu d'une corde
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Triangle, triangle inscrit dans un carré

Cercle - Angle inscrit

Exercices de géométrie au collège
Calculs d'aires

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