Le cercle au collège

Douze exercices de géométrie sur le cercle et le triangle avec GéoPlan.

Sommaire

1. Constructions de tangentes
2. Cercle tangent à deux droites, passant par un point donné
3. Tangente commune à deux cercles tangents
4. Cercle et carré
5. Triangle isocèle
6. Projection de deux points d'un cercle
7. Retrouver le centre

Le cercle dans les programmes de collège :
Programme de 6^ème
Programme de 5^ème
Programme de 4^ème

Hors programme : Rotation - Les problèmes du BOA
Carré et rotation
Construction de triangles isocèles autour d'un triangle BOA

Problème de tangence

Définition : tangentes à un cercle
– en un point du cercle
– passant par un point donné

Tangentes communes à deux cercles

Cercles et triangle

Cercles circonscrit et inscrit :
Cercle passant par trois points
Cercle tangent à trois droites

Cercles et triangle équilatéral

Page n^o 73, réalisée le 19/7/2004, mise à jour le 16/4/2010

Faire de la géométrie dynamique

Le cercle au lycée

GéoPlan en 3^e
Théorème
de Thalès

GéoPlan en 2^nde
Construction de cercles

Collège
Problèmes de construction

Index
collège

0. Figures de base avec GéoPlan

Un cercle

O et C₁sont deux points libres du plan.
(c) est le cercle de centre O passant par C₁.

Le point C₁ est placé sous l'étiquette (c), par l'instruction :

A la place de C1, afficher: (c)

Télécharger la figure GéoPlan cercle.g2w

Deux cercles sécants

O, O’, C₁, C₂, sont quatre points libres du plan.

Les cercles (c), de centre O passant par C₁,
et (c’), de centre O passant par C₂, se coupent en A et B.

La ligne des centres (OO’) est la médiatrice de [AB].

Si les cercles (c) et (c’) ont pour rayons r et r’, ils sont sécants si :
|r − r’| < OO’ < r + r’.

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Deux cercles tangents

O et O’ sont deux points libres.
A est un point libre de la droite des centres (OO’).

Les cercles (c) et (c’) de centres O et O’ sont tangents en A.

La perpendiculaire en A à (OO’) est la tangente commune aux deux cercles.

Si les cercles (c) et (c’) ont pour rayons r et r’,
alors r + r’ = OO’ si les cercles sont tangents extérieurement,
|r − r’| = OO’ si les cercles sont tangents intérieurement.

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1. Constructions de tangentes

Classe de quatrième

a. Tangente en un point du cercle

D'un point A situé sur un cercle de centre O, on mène une tangente à ce cercle, en traçant la perpendiculaire en A au rayon [OA].

Construction à la « règle et au compas » (sans équerre).

Tracer le point B, symétrique de O par rapport à A, et la médiatrice de [BO].

Indications

Le point B est le deuxième point d'intersection de la droite (OA) avec le cercle de centre A passant par O.

Les cercles de centre O passant par B et de centre B passant par O se coupent en C et D. La droite (CD), médiatrice de [BO], est la tangente cherchée.

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Construction d'un cercle de centre donné, tangent à une droite.

Étant donné une droite (d) et un point O à l'extérieur de cette droite, tracer le point H projection orthogonale de O sur (d). Le cercle de centre O passant par H est tangent à la droite (d).

GéoPlan permet de tracer directement ce cercle avec l'instruction :
« Créer>Ligne>Cercle>Cercle défini par centre et tangente »

Classe de troisième

b. Tangentes à un cercle passant par un point donné

D'un point M extérieur à un cercle, on peut mener deux tangentes à ce cercle ; si A et B sont les points de contact avec le cercle, les rayons [OA] et [OB] sont perpendiculaires aux tangentes et on a MA = MB.
La droite (MO) est un axe de symétrie de la figure, c'est la bissectrice de l'angle AMB.
Le quadrilatère MAOB est un cerf-volant ayant deux angles droits.
C'est un carré si (OA) et (OB) sont perpendiculaires.

Euclide, Livre I proposition 17

Étant donné un cercle (c) de centre O et un point M à l'extérieur du cercle, les points de contact A et B des tangentes issues de M sont les points d'intersection du cercle (c) et du cercle de diamètre [MO].

Télécharger la figure GéoPlan tangentes.g2w
Télécharger la figure Cabri tangentes.fig
Télécharger la figure GeoLabo tangentes.glb

Une réciproque

Soit (c’) un cercle de diamètre [MO], A un point de ce cercle (OA < MA) et
(c) le cercle de centre O passant par A.

La droite (MA) est tangente au cercle (c) en A.

Propriétés

H le milieu de la corde [AB]

Soit P et Q les points d'intersection du cercle (c) et de la droite (OM) et H le milieu de la corde [AB].

Les cercles de centres P et Q passant par H sont tangents aux droites (OA) et (OB).

Le cercle de centre P est inscrit dans le triangle isocèle MAB, le cercle de centre Q est exinscrit au triangle.

Télécharger la figure GéoPlan tangentes_2.g2w
Télécharger la figure Cabri tangentes_2.fig
Télécharger la figure GeoLabo tangentes_2.glb

c. Une autre construction de la tangente en un point du cercle

Principe : à partir du rayon [OA], tracer le triangle équilatéral OAB, puis le triangle OAC, avec C symétrique de O par rapport à B. OAC est un triangle rectangle en A. (AC) est la tangente en A.

À partir d'un point A du cercle (c) de centre O, placer, sur le cercle (c), le point B tel que AB = OB. B est un des points d'intersection du cercle (c) et du cercle de centre A passant par O.
Soit C le point symétrique de O par rapport à B, deuxième point d'intersection de la droite (OB) et du cercle de centre B passant par O (et par A).
La droite (AC) est tangente au cercle en O.

Indications

OAB est un triangle équilatéral et OB = BC.
Le triangle OAC est inscrit dans le demi-cercle de centre B.
Il est rectangle en A. La droite (AC) perpendiculaire en A au rayon [OA] est tangente au cercle.

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Étude du triangle rectangle OAB : voir GéoPlan en quatrième

d. Une autre construction des tangentes issues d'un point

Construction d'Euclide, Livre I proposition 17

On donne un cercle (c) de centre O et de rayon r et un point A extérieur au cercle.

Le cercle de centre O et de rayon 2r rencontre le cercle de centre A passant par O aux points B et C.

Les segments [OB] et [OC] rencontrent le cercle (c) en D et E.

Démontrer que les droites (AD) et (AE) sont tangentes au cercle (c).

Indications

OA = OB = OC. Les triangles AOB et AOC sont isocèles.

OD = OE = r et OB = OC = 2r. D et E sont les milieux de [OB] et [OC].
Les droites (AD) et (AE), médianes issues de A des triangles isocèles AOB et AOC, sont les médiatrices de [OB] et [OC]. Elles sont perpendiculaires aux rayons (OD) et (OE).
Ces droites sont tangentes au cercle (c) en D et E.

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2. Cercle tangent à deux droites sécantes

On donne deux droites (d₁ ), (d₂ ) sécantes, construire un cercle tangent à ces deux droites.

Indications

Le centre du cercle appartient à une des bissectrices (d) ou (d’) de l'angle des deux droites.
Le centre O étant choisi, on trouve un des points H du cercle par projection orthogonale du centre sur une des sécantes.

GéoPlan permet de tracer directement ce cercle avec l'instruction :
« Créer>Ligne>Cercle>Cercle défini par centre et tangente ».

Télécharger la figure GéoPlan cercles_tg_2_droites.g2w

Cercle tangent à deux droites, passant par un point donné

On donne deux droites (d₁ ), (d₂ ) sécantes et un point A n'appartenant pas à ces droites.
Existe-t-il un cercle (c) passant par A tangent à ces deux droites ?
Combien y a-t-il de solutions à ce problème ?

Analyse

Placer un point J sur la bissectrice de (d₁, d₂) située dans le même secteur angulaire que le point A et tracer le cercle (c), passant par H projection orthogonale de J sur la droite (d₁). Ce cercle est tangent aux deux droites.
Avec GéoPlan, il suffit de déplacer J pour trouver deux solutions.

Construction

Étant donné un cercle (c), la droite (IA) rencontre (c) en deux points A₁ et A₂.
La droite parallèle à (A₁J), passant par A, rencontre (IJ) en O₁. Le cercle (c₁), de centre O₁ passant par A, est tangent à (d₁) et (d₂).
De même, la droite parallèle à (A₂J) passant par A rencontre (IJ) en O₂. Le cercle (c₂), de centre O₂ passant par A, est la deuxième solution du problème.

Télécharger la figure GéoPlan cercl_tg_2_droites.g2w
Retrouver cette construction au lycée : homothétie
Cercles tangents à des droites ou des cercles : voir construction de cercles

3. Tangente commune à deux cercles tangents

a. Triangle rectangle

Deux cercles sont tangents extérieurement en A.
Une tangente commune à ces deux cercles touche le premier cercle en B et le deuxième en C.

Calculer l'angle BÂC.

Solution

La tangente en A aux deux cercles coupe (BC) en I.

Les deux tangentes à (c) issues de I sont de même longueur :
IB = IA.
De même, IA = IC.

Le point A est sur le demi-cercle de diamètre [BC]. Le triangle BAC est rectangle et l'angle BÂC est droit.

Télécharger la figure GéoPlan tan_2_cercles.g2w

b. Cercle de diamètre [OO’]

Deux cercles (c) et (c’) de centres O et O’ sont tangents extérieurement en A. Les deux cercles sont d'un même côté d'une tangente commune, tangente en B au cercle (c) et en B’ au cercle (c’).

Le milieu I de [BB’] est sur la tangente, en A, commune aux deux cercles. BAB’ est un triangle rectangle en A et le cercle de diamètre [BB’] est tangent, en A, à la droite des centres (OO’).

Construction
Soit J le milieu de [OO’] et I un point d'intersection du cercle de diamètre [OO’] et de la perpendiculaire en A à la ligne des centres (OO’). La tangente en I à ce cercle, perpendiculaire à (IJ) est la droite (BB’) cherchée.

Télécharger la figure GéoPlan deux_cercles.g2w

c. Chercher un rectangle

L@ feuille à problèmes

Deux cercles (c) et (c’) sont tangents en A. (c) recoupe la ligne des centres (OO’) en E et (c’) en F.
La perpendiculaire à (OO’) passant par A coupe en D le cercle de diamètre [EF].
Le cercle (c) coupe [ED] en B et le cercle (c’) coupe [DF] en C.

Prouver que la droite (BC) est tangente aux cercles (c) et (c’).

Télécharger la figure GéoPlan tan_2_cercles_rect.g2w

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Preuve

L'angle EDF, inscrit dans le demi-cercle de diamètre [EF], est droit.
De même, l'angle EBA, inscrit dans le demi-cercle de diamètre [EA], est droit et ACF, inscrit dans le demi-cercle de diamètre [AF], l'est aussi.
Le quadrilatère ACDB, ayant trois angles droits, est un rectangle.

Les diagonales de longueurs égales se coupent en leur milieu I et IA = IB = IC.
On a aussi OA = OB, rayon du cercle (c), donc (OI) est la médiatrice de [AB].
OAIB est un cerf-volant d'axe de symétrie (OI). L'angle OBI, symétrique de OAI, est droit.
La droite (BC) est perpendiculaire au rayon [OB], elle est tangente au cercle (c).

On montre, de même, que le quadrilatère O’AIC est un cerf-volant d'axe de symétrie (O’I).
La droite (BC) est perpendiculaire au rayon [O’C], elle est tangente au cercle (c’).

4. Cercle et carré

ABCD est un carré de côté 16.
Un cercle est tangent au milieu d'un des côtés du carré et contient les deux sommets du carré.
Montrer que le cercle a pour rayon 10.

Télécharger la figure GéoPlan cer_care.g2w

Quatre cercles autour d'un carré

Télécharger la figure GéoPlan carre_cercles.g2w

5. Triangle isocèle

A étant un point quelconque du diamètre d'un cercle (c), B l'extrémité d'un rayon perpendiculaire à ce diamètre, on mène une droite (BA) qui coupe le cercle en P, puis la tangente au point P qui coupe en C le diamètre prolongé.

Démontrer que CA = CP.

Indications

Le triangle OBP est isocèle, donc OBP = OPB = α.

L'angle OPC est droit donc APC = 90° − OBP = 90° − α.

Dans le triangle rectangle OAB, OAB = 90° − α comme complément de OBP.
Comme angles opposés par le sommet on a CAP = OAB = 90° − α.

Les angles APC et CAP étant égaux à 90° − α, le triangle CAP est isocèle et
CA = CP.

Télécharger la figure GéoPlan tri_isoce.g2w

6. Projection de deux points d'un cercle

Projection de deux points d'un cercle

L@ feuille à problèmes

M et N sont deux points quelconques d'un cercle, A et B leurs projections orthogonales sur un diamètre du cercle, I le milieu de [MN].

Prouver que le triangle ABI est isocèle.

Télécharger la figure GéoPlan projection_isocele.g2w

Indication

Soit H la projection orthogonale de I sur le diamètre.
Comme I est le milieu de [MN], H est le milieu de [AB], (HI) est la médiatrice de [AB] et ABI est isocèle.

7. Retrouver le centre

Étant donné un cercle (par exemple, le cercle circonscrit au triangle MNP),
trouver le centre de ce cercle.

Retrouver le centre

Avec GéoPlan, l'instruction du menu « Créer>point>centre » permet de trouver directement le centre d'un cercle.

Construction de deux médiatrices

Placer trois points distincts A, B et C sur le cercle, tracer les médiatrices de [AB] et [BC].

Le point d'intersection O de ces deux droites est le centre du cercle.

Télécharger la figure GéoPlan trouver_centre.g2w

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Construction à la « règle et au compas » des médiatrices

Pour la construction de la médiatrice de [AB], tracer deux cercles de même rayon, suffisamment grand, de centres A et B.

Ces deux cercles se coupent en F et G. La droite (FG) est la médiatrice de [AB].

De même, pour la médiatrice de [BC], tracer deux cercles de même rayon de centres B et C.

Ces deux derniers cercles se coupent en K et L. La droite (KL) est la médiatrice de [BC].

Le point d'intersection O de ces deux droites (FG) et (KL) est le centre du cercle.

Voir aussi : la règle à bords parallèles
le problème de Napoléon

Activité B2i

Domaine B2i

Item collège validable

Le cercle en 4^ème

Constructions de tangentes
Cercle tangent à deux droites, passant par un point donné
Cercle et carré
Triangle isocèle
Projection de deux points d'un cercle

1 – S'approprier un environnement informatique de travail.

1.1 – Je sais m'identifier sur un réseau ou un site et mettre fin à cette identification.

1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail.

Extrait du programme de géométrie de 6^e (2008)

Connaissances

Capacités

Commentaires

Cercle

– Savoir que, pour un cercle :
• tout point qui appartient au cercle est à une même distance du centre ;
• tout point situé à cette distance du centre appartient au cercle.

– Construire, à la règle et au compas, un triangle connaissant les longueurs de ses côtés.

On attend des élèves qu'ils sachent utiliser en situation ces propriétés.

Capacité déjà travaillée au cycle 3.

Extrait du programme de géométrie de 5^e (2008)

Connaissances	Capacités	Commentaires
Cercle circonscrit à un triangle	– Construire le cercle circonscrit à un triangle.	La construction doit être justifiée

Extrait du programme de géométrie de 4^e (2008)

Connaissances	Capacités	Commentaires
Tangente à un cercle.	– Construire la tangente à un cercle en l'un de ses points.	Dans le cadre du socle, il est simplement attendu des élèves qu'ils sachent reconnaître qu'une droite est tangente à un cercle.

Le cercle au lycée

Construction à la règle et au compas

GéoPlan
Calculs d'aires

Construction du pentagone régulier

Démonstrations géométriques de Pythagore

Angles inscrits au collège

Sommaire

1. Constructions de tangentes
2. Cercle tangent à deux droites sécantes
3. Tangente commune à deux cercles tangents
4. Cercle et carré
5. Triangle isocèle
6. Projection de deux points d'un cercle
7. Retrouver le centre

Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec Internet Explorer et la version ActiveX de GéoPlan

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Le cercle au collège

Sommaire

Problème de tangence

Cercles et triangle

0. Figures de base avec GéoPlan

Un cercle

Deux cercles sécants

Deux cercles tangents

1. Constructions de tangentes

a. Tangente en un point du cercle

Construction d'un cercle de centre donné, tangent à une droite.

b. Tangentes à un cercle passant par un point donné

Propriétés

c. Une autre construction de la tangente en un point du cercle

d. Une autre construction des tangentes issues d'un point

2. Cercle tangent à deux droites sécantes

Cercle tangent à deux droites, passant par un point donné

Analyse

Construction

3. Tangente commune à deux cercles tangents

a. Triangle rectangle

Solution

b. Cercle de diamètre [OO’]

c. Chercher un rectangle

4. Cercle et carré

Quatre cercles autour d'un carré

5. Triangle isocèle

6. Projection de deux points d'un cercle

7. Retrouver le centre

Construction de deux médiatrices

Construction à la « règle et au compas » des médiatrices

Le cercle en 4ème

Extrait du programme de géométrie de 6e (2008)

Extrait du programme de géométrie de 5e (2008)

Extrait du programme de géométrie de 4e (2008)

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Le cercle en 4^ème

Extrait du programme de géométrie de 6^e (2008)

Extrait du programme de géométrie de 5^e (2008)

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