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Le cercle au collège - Rotation

Dix exercices de géométrie dynamique avec GéoPlan.

Descartes
…avec GéoPlan

Sommaire

1. Constructions de tangentes
2. Cercle tangent à deux droites, passant par un point donné
3. Tangente commune à deux cercles tangents
4. Cercle et carré
5. Cercles et triangle équilatéral
    Triangle équilatéral inscrit dans un carré
6. Triangle isocèle
7. Projection de deux points d'un cercle
8. Retrouver le centre

Rotation - Les problèmes du BOA
7. Carré et rotation
8. Construction de triangles isocèles autour d'un triangle BOA

Angles inscrits au collège

Le cercle au lycée

Page no 73, réalisée le 19/7/2004, mise à jour le 20/3/2008

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Exercices de géométrie
au collège

Collège
Problèmes de construction

GéoPlan
La géométrie du triangle

GéoPlan 4e
Droites remarquables

GéoPlan
Construction de cercles

GéoPlan
Calculs d'aires

0. Figures de base avec GéoPlan

Un cercle

Un cercle

O et C1sont deux points libres du plan.
(c) est le cercle de centre O passant par C1.

Le point C1 est placé sous l'étiquette (c), par l'instruction :

A la place de C1, afficher: (c)

g2w Télécharger la figure GéoPlan cercle.g2w

Deux cercles sécants

Deux cercles sécants

O, O’, C1, C2, sont quatre points libres du plan.

Les cercles (c), de centre O passant par C1,
et (c’), de centre O passant par C2, se coupent en A et B.

La ligne des centres (OO’) est la médiatrice de [AB].

Si les cercles (c) et (c’) ont pour rayons r et r’, ils sont sécants si :
|r - r’| < OO’ < r + r’.

g2w Télécharger la figure GéoPlan deux_cercles.g2w

Deux cercles tangents

Deux cercles tangents

O et O’ sont deux points libres.
A est un point libre de la droite des centres (OO’).

Les cercles (c) et (c’) de centres O et O’ sont tangents en A.

La perpendiculaire en A à (OO’) est la tangente commune aux deux cercles.

Si les cercles (c) et (c’) ont pour rayons r et r’,
alors r + r’ = OO’ si les cercles sont tangents extérieurement,
|r - r’| = OO’ si les cercles sont tangents intérieurement.

g2w Télécharger la figure GéoPlan deux_cercles_tangents.g2w

1. Constructions de tangentes

Classe de quatrième

a. Tangente en un point du cercle

D'un point A situé sur un cercle de centre O, on mène une tangente à ce cercle, en traçant la perpendiculaire en A au rayon [OA].

Construction à la « règle et au compas » (sans équerre).

Tracer le point B, symétrique de O par rapport à A, puis la médiatrice de [BO].

Indications

Le point B est le deuxième point d'intersection de la droite (OA) avec le cercle de centre A passant par O.

Les cercles de centre O passant par B et de centre B passant par O se coupent en C et D. La droite (CD), médiatrice de [BO], est la tangente cherchée.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tangente_cer.g2w

Construction d'un cercle de centre donné, tangent à une droite.

Étant donné une droite (d) et un point O à l'extérieur de cette droite, tracer le point H projection orthogonale de O sur (d). Le cercle de centre O passant par H est tangent à la droite (d).

GéoPlan permet de tracer directement ce cercle avec l'instruction :
« Créer>Ligne>Cercle>Cercle défini par centre et tangente »

Classe de troisième

b. Tangentes à un cercle passant par un point donné

D'un point M extérieur à un cercle, on peut mener deux tangentes à ce cercle ; si A et B sont les points de contact avec le cercle, les rayons [OA] et [OB] sont perpendiculaires aux tangentes et on a MA = MB.
La droite (MO) est un axe de symétrie de la figure, c'est la bissectrice de l'angle AMB.
Le quadrilatère MAOB est un cerf-volant ayant deux angles droits.
C'est un carré si (OA) et (OB) sont perpendiculaires.

Construction d'Euclide

Étant donné un cercle (c) de centre O et un point M à l'extérieur du cercle, les points de contact A et B des tangentes issues de M sont les points d'intersection du cercle (c) et du cercle de diamètre [MO].

g2w Télécharger la figure GéoPlan tangentes.g2w

Une réciproque

Soit (c’) un cercle de diamètre [MO], A un point de ce cercle (OA < MA) et
(c) le cercle de centre O passant par A.

La droite (MA) est tangente au cercle (c) en A.

c. Une autre construction de la tangente en un point du cercle

Sésamath, classe de quatrième

Tangente en un point du cercle

À partir d'un point A du cercle de centre O, placer le point B tel que AB = OB.
Soit C le point symétrique de O par rapport à B.
La droite (AC) est tangente au cercle en O.

Indications

OAB est un triangle équilatéral et OB = BC.
Le triangle OAC est inscrit dans le demi-cercle de centre B.
Il est rectangle en A. La droite (AC) perpendiculaire en A au rayon [OA] est tangente au cercle.

g2w Télécharger la figure GéoPlan const_tangente2.g2w
Étude du triangle rectangle OAB : voir GéoPlan en quatrième


d. Une autre construction des tangentes issues d'un point A

On donne un cercle (c) de centre O et de rayon r et un point A extérieur au cercle.

Le cercle de centre O et de rayon 2r rencontre le cercle de centre A passant par O aux points B et C.

Les segments [OB] et [OC] rencontre le cercle (c) en D et E.

Démontrer que les droites (AD) et (AE) sont tangentes au cercle (c).

Indications

OA = OB = OC. Les triangles AOB et AOC sont isocèles.

OD = OE = r et OB = OC = 2r. D et E sont les milieux de [OB] et [OC].
Les droites (AD) et (AE), médianes issues de A des triangles isocèles AOB et AOC, sont les médiatrices de  [OB] et [OC]. Elles sont perpendiculaires aux rayons (OD) et (OE).
Ces droites sont tangentes au cercle (c) en D et E.

g2w Télécharger la figure GéoPlan const_tangente.g2w

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique


2. Cercle tangent à deux droites sécantes

On donne deux droites (d1 ), (d2 ) sécantes, construire un cercle tangent à ces deux droites.

Indications

Le centre du cercle appartient à une des bissectrices des deux droites.
Le centre O étant choisi, on trouve un des points du cercle par projection orthogonale du centre sur des sécantes.
GéoPlan permet de tracer directement ce cercle avec l'instruction : « Créer>Ligne>Cercle>Cercle défini par centre et tangente ».

Cercle tangent à deux droites, passant par un point donné

On donne deux droites (d1), (d2 ) sécantes et un point A n'appartenant pas à ces droites.
Existe-t-il un cercle (c) passant par A tangent à ces deux droites ?
Combien y a-t-il de solutions à ce problème
?

Analyse

Placer un point J sur la bissectrice de (d1, d2) située dans le même secteur angulaire que A et tracer le cercle (c), passant par le point H projection orthogonale de J sur la droite (d1). Ce cercle est tangent aux deux droites.

Commandes GéoPlan
Cliquer dans la figure et déplacer Ω pour que le cercle (c) passe par le point A.
Taper S pour visualiser les deux solutions,
taper 0 pour la solution par étape,
puis touche 1 pour afficher/effacer (c1)
ou touche 2 pour (c2).

Construction

Étant donné un cercle (c), la droite (IA) rencontre (c) en deux points A1 et A2.
La droite parallèle à (A1J) passant par A rencontre (IJ) en O1. Le cercle (c1), de centre O1 passant par A, est tangent à (d1) et (d2).
De même, la droite parallèle à (A2J) passant par A rencontre (IJ) en O2. Le cercle (c2), de centre O2 passant par A, est la deuxième solution du problème.

g2w Télécharger la figure GéoPlan cercl_tg_2_droites.g2w
Cercles tangents à des droites : voir construction de cercles

3. Tangente commune à deux cercles tangents

Deux cercles sont tangents extérieurement en A.
Une tangente commune à ces deux cercles touche le premier cercle en B et le deuxième en C.

Calculer l'angle BÂC.

Commandes GéoPlan

Taper S pour visualiser la solution
Taper T pour voir la construction de la tangente

Solution

La tangente en A aux deux cercles coupe (BC) en I.

Les deux tangentes à (c) issues de I sont de même longueur : IB = IA.
De même, IA = IC.

A est sur le demi-cercle de diamètre [BC]. Le triangle BAC est rectangle et l'angle BÂC est droit.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tan_2_cercles.g2w


4. Cercle et carré

ABCD est un carré de côté 16.

Un cercle est tangent au milieu d'un des côtés du carré et contient les deux sommets du carré.

Montrer que le cercle a pour rayon 10.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan cer_care.g2w
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique


5. Cercles et triangle équilatéral

O1O2 = r.
C est le symétrique de O1 par rapport à O2.
(c1) cercle de centre O1 passant par O2,
(c2) cercle de centre O2 passant par O1.

Les deux cercles se coupent en A et B.

Montrer que le triangle ABC est équilatéral,
que son côté a une longueur égale à R rac(3).

Calculer l'aire de la lunule déterminée par l'arc [AB] (coloriée en vert).

g2w Télécharger la figure GéoPlan tri_2cer.g2w
Constructions - pliages au collège

Triangle équilatéral inscrit dans un carré - Problème d'Abul-Wafa

Étant donné un carré OPCQ, construire un triangle équilatéral CIJ, I et J étant situés sur les côtés du carré.

Le carré est inscrit dans le cercle (c2) cercle de centre O2. Le cercle (c1) de centre O passant par O2, coupe (c2) en A et B.

Le triangle ABC coupe les arêtes du carré en I et J. Le triangle CIJ est équilatéral.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan care_tri.g2w

Retrouver deux autres mérthodes dans : le triangle équilatéral
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

6. Triangle isocèle

A étant un point quelconque du diamètre d'un cercle (c), B l'extrémité d'un rayon perpendiculaire à ce diamètre, on mène une droite (BA) qui coupe le cercle en P, puis la tangente au point P qui coupe en C le diamètre prolongé.

Démontrer que CA = CP.

Indications

Le triangle OBP est isocèle, donc OBP = OPB = α.

L'angle OPC est droit, donc APC = 90° - OBP = 90° - α.

Dans le triangle rectangle OAB, OAB = 90° - α comme complément de OBP.
Comme angles opposés par le sommet on a CAP = OAB = 90° - α.

Les angles APC et CAP étant égaux à 90° - α, le triangle CAP est isocèle et CA = CP.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tri_isoce.g2w


7. Projection de deux points d'un cercle

Projection de deux points d'un cercle

L@ feuille à problèmes

M et N sont deux points quelconques d'un cercle, A et B leurs projections orthogonales sur un diamètre du cercle, I le milieu de [MN].

Prouver que le triangle ABI est isocèle.

g2w Télécharger la figure GéoPlan projection_isocele.g2w

Projection de deux points d'un cercle - indication

Indication

Soit H la projection orthogonale de I sur le diamètre.
Comme I est le milieu de [MN], H est le milieu de [AB], (HI) est la médiatrice de [AB] et ABI est isocèle.

8. Retrouver le centre

Soit (c) un cercle donné (par exemple, le cercle circonscrit au triangle MNP).
Trouver le centre du cercle

Retrouver le centre

Avec GéoPlan, une instruction permet de trouver directement le centre d'un cercle.

Construction de deux médiatrices

Placer trois points distincts A, B et C sur le cercle, tracer les médiatrices de [AB] et [BC].

Le point d'intersection O de ces deux droites est le centre du cercle.

g2w Télécharger la figure GéoPlan trouver_centre.g2w

Construction à la « règle et au compas » des médiatrices

Retrouver le centre-indication

Pour la construction de la médiatrice de [AB], tracer deux cercles de même rayon, suffisamment grand, de centres A et B.

Ces deux cercles se coupent en F et G. La droite (FG) est la médiatrice de [AB].

De même, pour la médiatrice de [BC], tracer deux cercles de même rayon de centres B et C.

Ces deux derniers cercles se coupent en K et L. La droite (KL) est la médiatrice de [BC].

Le point d'intersection O de ces deux droites (FG) et (KL) est le centre du cercle.

Voir aussi : règle à bords parallèles
Le problème de Napoléon

Rotation - Les problèmes du BOA (Hors programme)

2.1. Carré et rotation

Soit M un point variable sur la droite (AB) qui borde le carré ABCD de centre O.

À partir de M, on construit le triangle isocèle OMN, rectangle en O.

Montrer que les points B, C et N sont alignés.

Indication

Utilisation d'une rotation de centre O et d'angle 90° :

Les trois points alignés A, B et M ont pour image B, C et N, qui sont donc alignés.

Commande

Cliquer dans la figure et taper S pour la solution : droite (BC).

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan carre_rotation.g2w


2.2. Construction de deux triangles isocèles autour d'un triangle BOA

Construction de deux triangles rectangles isocèles.

OAB est un triangle quelconque, OAC et OEB sont deux triangles rectangles isocèles directs.

Montrer que les droites (AE) et (BC) sont perpendiculaires et que BC = AE.

Utilisation d'une rotation de centre O et d'angle 90° :
le segment [BC] a pour image [AE].

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_boa_1.g2w

Autour d'un triangle isocèle BOA, construction de deux triangles équilatéraux OAC et OEB à l'extérieur du triangle BOA.

Montrer que BC = AE et vérifier que l'angle des droites (BC) et (AE) est de 60°.

Utilisation d'une rotation de centre O et d'angle 60°:
le segment [BC] a pour image [AE].

g2w Télécharger la figure GéoPlan is_boa_3.g2w

 

…avec
GéoPlan

Collège
Problèmes de construction

GéoPlan
La géométrie du triangle

GéoPlan en 4e
Droites remarquables

Cabri-Géomètre
TP en sixième

Cabri-Géomètre
TP en troisième

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1. Constructions de tangentes
2. Cercle tangent à deux droites sécantes
3. Tangente commune à deux cercles tangents
4. Cercle et carré
5. Cercles et triangle équilatéral
    Triangle équilatéral inscrit dans un carré
6. Triangle isocèle
7. Projection de deux points d'un cercle
8. Retrouver le centre

 

Rotation - Les problèmes du BOA
2.1. Carré et rotation
2.2. Construction de triangles isocèles autour d'un triangle BOA

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