O et O’ sont deux points libres.
A est un point libre de la droite des centres (OO’).
Les cercles (c) et (c’) de centres O et O’ sont tangents en A.
La perpendiculaire en A à (OO’) est la tangente commune aux deux cercles.
Si les cercles (c) et (c’) ont pour rayons r et r’,
alors r + r’ = OO’ si les cercles sont tangents extérieurement,
|r - r’| = OO’ si les cercles sont tangents intérieurement.
Construction d'un cercle de centre donné, tangent à une droite.
Étant donné une droite (d) et un point O à l'extérieur de cette droite, tracer le point H projection orthogonale de O sur (d). Le cercle de centre O passant par H est tangent à la droite (d).
GéoPlan permet de tracer directement ce cercle avec l'instruction :
« Créer>Ligne>Cercle>Cercle défini par centre et tangente »
Classe de troisième
b. Tangentes à un cercle passant par un point donné
D'un point M extérieur à un cercle, on peut mener deux tangentes à ce cercle ; si A et B sont les points de contact avec le cercle, les rayons [OA] et [OB] sont perpendiculaires aux tangentes et on a MA = MB.
La droite (MO) est un axe de symétrie de la figure, c'est la bissectrice de l'angle AMB.
Le quadrilatère MAOB est un cerf-volant ayant deux angles droits.
C'est un carré si (OA) et (OB) sont perpendiculaires.
Construction d'Euclide
Étant donné un cercle (c) de centre O et un point M à l'extérieur du cercle, les points de contact A et B des tangentes issues de M sont les points d'intersection du cercle (c) et du cercle de diamètre [MO].
À partir d'un point A du cercle de centre O, placer le point B tel que AB = OB.
Soit C le point symétrique de O par rapport à B.
La droite (AC) est tangente au cercle en O.
Indications
OAB est un triangle équilatéral et OB = BC.
Le triangle OAC est inscrit dans le demi-cercle de centre B.
Il est rectangle en A. La droite (AC) perpendiculaire en A au rayon [OA] est tangente au cercle.
On donne un cercle (c) de centre O et de rayon r et un point A extérieur au cercle.
Le cercle de centre O et de rayon 2r rencontre le cercle de centre A passant par O aux points B et C.
Les segments [OB] et [OC] rencontre le cercle (c) en D et E.
Démontrer que les droites (AD) et (AE) sont tangentes au cercle (c).
Indications
OA = OB = OC. Les triangles AOB et AOC sont isocèles.
OD = OE = r et OB = OC = 2r. D et E sont les milieux de [OB] et [OC].
Les droites (AD) et (AE), médianes issues de A des triangles isocèles AOB et AOC, sont les médiatrices de [OB] et [OC]. Elles sont perpendiculaires aux rayons (OD) et (OE).
Ces droites sont tangentes au cercle (c) en D et E.
On donne deux droites (d1 ), (d2 ) sécantes, construire un cercle tangent à ces deux droites.
Indications
Le centre du cercle appartient à une des bissectrices des deux droites.
Le centre O étant choisi, on trouve un des points du cercle par projection orthogonale du centre sur des sécantes.
GéoPlan permet de tracer directement ce cercle avec l'instruction : « Créer>Ligne>Cercle>Cercle défini par centre et tangente ».
Cercle tangent à deux droites, passant par un point donné
On donne deux droites (d1), (d2 ) sécantes et un point A n'appartenant pas à ces droites.
Existe-t-il un cercle (c) passant par A tangent à ces deux droites ?
Combien y a-t-il de solutions à ce problème ?
Analyse
Placer un point J sur la bissectrice de (d1, d2) située dans le même secteur angulaire que A et tracer le cercle (c), passant par le point H projection orthogonale de J sur la droite (d1). Ce cercle est tangent aux deux droites.
Commandes GéoPlan
Cliquer dans la figure et déplacer Ω pour que le cercle (c) passe par le point A.
Taper S pour visualiser les deux solutions,
taper 0 pour la solution par étape,
puis touche 1 pour afficher/effacer (c1)
ou touche 2 pour (c2).
Construction
Étant donné un cercle (c), la droite (IA) rencontre (c) en deux points A1 et A2.
La droite parallèle à (A1J) passant par A rencontre (IJ) en O1. Le cercle (c1), de centre O1 passant par A, est tangent à (d1) et (d2).
De même, la droite parallèle à (A2J) passant par A rencontre (IJ) en O2. Le cercle (c2), de centre O2 passant par A, est la deuxième solution du problème.
A étant un point quelconque du diamètre d'un cercle (c), B l'extrémité d'un rayon perpendiculaire à ce diamètre, on mène une droite (BA) qui coupe le cercle en P, puis la tangente au point P qui coupe en C le diamètre prolongé.
Démontrer que CA = CP.
Indications
Le triangle OBP est isocèle, donc OBP = OPB = α.
L'angle OPC est droit, donc APC = 90° - OBP = 90° - α.
Dans le triangle rectangle OAB, OAB = 90° - α comme complément de OBP.
Comme angles opposés par le sommet on a CAP = OAB = 90° - α.
Les angles APC et CAP étant égaux à 90° - α, le triangle CAP est isocèle et CA = CP.
Soit H la projection orthogonale de I sur le diamètre.
Comme I est le milieu de [MN], H est le milieu de [AB], (HI) est la médiatrice de [AB] et ABI est isocèle.