Le carré au collège

Sommaire

1. Constructions du carré
2. Carré et deux triangles équilatéraux - Alignement de trois points
3. Duplication du carré
4. Somme ou différence des aires de deux carrés
    Sulbasutras
    Construction de Bhaskara
    Clairaut
    Puzzle de Gougu
5. Multiplication par 3 de l'aire d'un carré
    Construction d'Abu l-Wafa
6. Multiplication par 5 de l'aire d'un carré
7. Les trois carrés
8. Huit carrés - Somme de trois angles

Page n^o 112, réalisée le 12/11/2007, modifiée le 25/11/2009

Le carré avec GéoPlan

Carré dont les côtés passent par quatre points

Découpage d'aires dans un carré : exercices de-ci, de-là

Composer un carré de cinq carrés égaux : pavage
Composer deux carrés avec quatre quadrilatères égaux : puzzle de Périgal

Problèmes de partage

Carré inscrit dans un triangle

Carré inscrit dans un demi-cercle
Carré inscrit dans un quadrilatère

Triangle inscrit dans un carré

Triangle équilatéral à l'intérieur d'un carré
Triangle équilatéral inscrit dans un carré, aire maximale

Les carrés autour de BOA

Faire de la
géométrie dynamique
au collège

GéoPlan
Quadrilatère

Démonstrations géométriques de Pythagore

Retrouver un triangle à partir de droites remarquables

GéoPlan 5^ème
Construction de triangles

Index
collège

Figure de base

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1.Construire un carré
a. Construction du carré à partir d'un côté

Classe de cinquième

Tracé à partir de droites perpendiculaires

Construction d'Euclide - Proposition 46

Placer deux points A et B et dessiner le segment [AB],
tracer la perpendiculaire à (AB) passant par A et reporter sur cette perpendiculaire la longueur du côté avec le cercle de centre A passant par B.
Le sommet D est un des points d'intersection de cette perpendiculaire et du cercle.
Construire les parallèles à (AB) passant par D et à (AD) passant par B.
Construire le point C comme intersection de ces deux parallèles.

ABCD est un carré de côté [AB].

Télécharger la figure GéoPlan carre.g2w
Télécharger la figure Cabri carre.fig
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Variante : après la construction de D, construire les perpendiculaires à (AB) en B et à (AD) en D.
Construire le point C comme intersection de ces deux perpendiculaires.

Construction de Marolois : après la construction de D, construire la perpendiculaire à (AB) en B. Reporter en C, sur cette deuxième perpendiculaire, la longueur du côté avec le cercle de centre B passant par A.
Tracer le côté [CD] parallèle à (AB).

b. Construction à partir d'un côté et du cercle circonscrit

Placer deux points A et B et dessiner le segment [AB],
tracer la médiatrice de [AB] et le cercle de diamètre [AB].

Remarque : avec la règle et le compas, tracer le cercle de centre A, passant par B, et le cercle de centre B passant par A.
La droite joignant les points d'intersection des deux cercles est la médiatrice de [AB].

Le centre O du carré est un des points d'intersection de la médiatrice et du cercle de diamètre [AB].

Le cercle (c) de centre O passant par A est le cercle circonscrit au carré.

Le sommet C est le deuxième point d'intersection de la droite (AO) et du cercle circonscrit (c).
De même, D est l'intersection de (BO) et du cercle (c).

ABCD est un carré de côté [AB] inscrit dans le cercle (c).

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c. Construction à partir d'une diagonale

Placer deux points A et C,
tracer le segment [AC] et le cercle (c) de diamètre [AC] circonscrit au carré.

Tracer la médiatrice de [AC]. Elle coupe le cercle (c) en B et D.
ABCD est un carré.

Remarque : la règle et le compas permettent de construire une médiatrice, en traçant le cercle de centre A passant par C et le cercle de centre C passant par A, qui se coupent en E et F.
(EF) est la médiatrice de [AC].

En classe de quatrième, on calculera la longueur du côté du carré avec la relation de Pythagore dans le triangle OAB :
AB = r où r est le rayon du cercle.

Remarque : cette figure permet aussi de construire un carré à partir du cercle circonscrit.

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Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

d. Sulbasutra (construction à partir d'une médiatrice)

D'après Marie-Noëlle Racine
Géométries : différentes manières de les enseigner
Histoire et enseignement des Mathématiques
INRP - IREM de Clermont-Ferrand - 2007

Textes rituels de l'Inde, rédigés en sanskrit vers le VIII^e siècle avant J.-C., issus de tradition orale remontant à plus de 2000 ans avant notre ère.

Si l'on veut un carré, prendre une corde de longueur égale au carré donné, faire des nœuds aux deux extrémités et une marque en son milieu.
On trace la ligne et on plante un piquet en son milieu. On fixe les deux nœuds et on trace un cercle avec la marque.

Deux piquets sont plantés aux deux extrémités du diamètre. Un nœud étant fixé à l'est, on trace un cercle avec l'autre. Même chose à l'ouest.
Le second diamètre est obtenu des points d'intersection de ces deux ; on plante deux piquets aux deux extrémités du diamètre.

Avec deux nœuds fixés à l'est, on trace un cercle avec la marque ; on fait la même chose au sud, à l'ouest et au nord.
Les points d'intersection donnent le carré.

 Télécharger la figure GéoPlan sulbasutra.g2w
Voir : la quadrature du rectangle
constructions de carrés d'aire égale à la somme ou la différence des aires de deux carrés

e. Voir : construction du carré à la règle (non graduée) et l'équerre

Classe de sixième

Sur du papier quadrillé, construire un carré ABCD, puis les triangles équilatéraux ABI, à l'intérieur du carré, et BCJ, à l'extérieur.
Vérifier, avec la règle, que les points D, I et J sont alignés.

 Télécharger la figure GéoPlan carre_tr_equi.g2w

ABCD est un carré et E le milieu [BD].
BDF est un triangle équilatéral.

Vérifier que les points A, E, C et F sont alignés.

Voir carré et deux triangles équilatéraux : angles - rotations

Télécharger la figure GéoPlan carre_triangle.g2w
Télécharger la figure Cabri carre_triangle.fig
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Calculs d'angles

Classe de cinquième

Dans la figure réalisée comme ci-dessus, calculer les mesures des angles CDJ et DLB.

Indications

CDJ = 15°.

Le triangle isocèle ADI a un angle au sommet de 30°.
Les deux autres angles égaux sont de 75°.

Dans l'angle droit ADC, CDJ est le complémentaire de ADI, d'où CDI = 90° − 75° = 15°.

DLB = 105°.

Dans le triangle DCL, rectangle en C, l'angle CLD complémentaire de CDL mesure 75°.
DLB supplément de cet angle mesure 180° − 75° = 105°.

 Télécharger la figure GéoPlan carre_tr_equi_3.g2w

Autre angle de 105°

Construire un carré ABCD, puis le triangle équilatéral ABI, à l'intérieur du carré.
La diagonale [AC] du carré coupe [BI] en K.

Calculer la mesure de l'angle BKC.

Indication

Le triangle BKC a deux angles de 30° et 45°. La somme des angles d'un triangle est 180°.

 Télécharger la figure GéoPlan carre_tr_equi_2.g2w

Dans Ménon, un dialogue de Platon, Socrate explique la construction ci-dessus à un jeune esclave.

La diagonale du « petit carré » le partage en deux triangles isocèles rectangles. Le « grand carré » est formé de quatre triangles isocèles rectangles, de même aire.

Le rapport des aires des carrés est 2,
Le rapport des côtés est .

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Carrés de Léonard de Vinci

Le carré circonscrit à un cercle a une aire double de celle du carré inscrit dans ce cercle.

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Solution de Léonard de Vinci

À partir d'un « petit carré » ABCD, de centre O, on trace les cercles centrés sur les sommets, passant par O. Ces cercles se coupent en E, F, G, H, symétriques de O par rapport aux côtés du petit carré. EFGH est un « grand carré » tangent au cercle circonscrit à ABCD.

Les diagonales du « petit carré » le partagent en quatre triangles isocèles rectangles. On obtient le « grand carré » avec quatre autres triangles isocèles rectangles de même aire, symétriques des quatre premiers.

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Un cloître est constitué d'une cour intérieure centrale entourée d'une galerie latérale.

La forme des cloîtres est généralement carrée et, est telle que l'aire de la galerie est égale à celle de la cour centrale.

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Proposer une méthode permettant de tracer dans l'enclos un carré délimitant la future cour intérieure centrale du cloître

Tracer les deux diagonales et le centre O du grand carré,
soit I le milieu d'un des côtés du carré, le cercle de centre O passant par I coupe les diagonales aux coins cherchés de la cour.

En effet si L est la longueur du côté du grand carré, le rayon du cercle est L/2.
La diagonale du petit carré mesure L,
la longueur du côté de ce carré est l = L/,
son aire l² est bien la moitié de L², aire du grand carré.

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Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

a. Sulbasutra : construire un carré somme de deux carrés

Si l'on rassemble deux carrés de tailles différentes, que l'on trace à l'aide du côté du plus petit une bande du plus grand, la corde diagonale de cette bande est le côté du carré constitué des deux carrés rassemblés.

EB est la longueur du côté du carré d'aire égale à la somme des aires des carrés contigus ACDE de côté a et ABFG de côté b.

Avec ce que nous appelons le théorème de Pythagore.

Dans le triangle rectangle ABC, on a :
EB² = EA² + AB² = a² + b².

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b. Sulbasutra : construire un carré différence de deux carrés

IJ est la longueur du côté du carré d'aire égale à la différence des aires des carrés contigus ACDE et ABFG.

Justifications

Dans le triangle rectangle IJE, la relation de Pythagore donne :
IJ² = EJ² - IE² = a² - b².

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Voir aussi : construction du carré à partir d'une médiatrice

c. Construire un carré somme de deux carrés

Réaliser la figure du moulin à vent d'Euclide par la construction de deux carrés CBED et ACFG de côtés a et b à l'extérieur d'un angle droit en C.
Compléter le triangle rectangle ABC et construire le carré ABIH de côté AB = c.
Par le théorème de Pythagore, l'aire du grand carré est égale à la somme des aires de deux carrés.

Commande GéoPlan : déplacer les points A ou B sur les côtés de l'angle droit.

 Télécharger la figure GéoPlan euclide1.g2w

d. Construire un carré différence de deux carrés de côtés c et a

Réaliser la figure du moulin à vent par la construction d'un carré ABIH de côté c.
Sur le demi-cercle de diamètre [AB], placer le point C et le long de [AC] construire le carré CBED de côté a.
Compléter le triangle rectangle ABC et construire le carré ACFG de côté b.

L'aire de ce carré est égale à la différence des aires des deux premiers carrés.

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e. Construction de Bhaskara : construire un carré de côté b−a

Construire un triangle rectangle A’O’B’ en O’ tel que O’A’ = a et O’B’ = b, avec b > a.
Construire un carré ABCD, avec un côté de longueur A’B’.
Sur les demi-cercles ayant pour diamètre les côtés du grand carré, sont placés les points O, P, Q et R formant les sommets de quatre triangles rectangles du pourtour, triangles de petits côtés de longueurs a et b.
Le quadrilatère OPQR est un carré de côté de longueur b − a.

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f. Carrés contigus

Construction à partir de deux carrés contigus BCFG et DEHF, de côtés a et b.

Une recherche guidée par la figure de duplication du carré ci-dessus permet dans le cas général, aux élèves, de trouver une solution autour de la diagonale [BE] :

On voit apparaître deux triangles rectangles, on construit alors un carré et on complète en traçant les verticales et les horizontales, pour obtenir la figure de Clairaut, à droite ci-contre.

Clairaut

Le carré ABKE de diagonale [BE] est solution.

Justifier cette construction par l'isométrie des triangles rectangles de sommets C, D, J, I.

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Puzzle de Clairault
Retrouver cette configuration dans : similitude au bac

Adaptation à GéoPlan de :
Pour une culture mathématique accessible à tous
CREM - Communauté Française de Belgique

g. Carrés opposés par le sommet

Construire deux carrés EBCF et EDHK, de côtés a et b, aux côtés parallèles, ayant uniquement le sommet E en commun.

Une recherche, guidée par la figure de duplication du carré ci-dessus, permet aux élèves, dans le cas général, de trouver une solution en construisant un carré autour de [BK] ou autour de [FD].

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Retrouver cette configuration dans : carrés du BOA,
similitude au bac

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Carré ABKG solution, construit à partir du segment [BK].

On retrouve la figure de la démonstration de Pythagore des quatre triangles.

Abu'l-Wafa (Abul Wafa) est un mathématicien et astronome persan. 

Autour d'un carré ABCD de côté a, on place quatre rectangles isocèles identiques de telle façon que le sommet d'un des deux angles de 45° de chaque triangle tombe sur un des sommets du carré ABCD et l'hypoténuse le long du côté du carré.

En joignant les sommets des angles droits des triangles rectangles, on obtient un carré EGIK.

On montre facilement que EGIK est un carré.

On montre ensuite que chacun des quatre triangles dépassant du carré EGIK est égal à un triangle manquant à l'intérieur du carré.

Par exemple, EDGF est un parallélogramme, car (EF)//(DG) et EF = DG.
Le point M d'intersection de [EG] et de [DF] est le milieu de ces diagonales.

Le triangle excédent EMF est symétrique, par rapport à M, du triangle manquant GMD. Leurs aires sont égales.

Le carré EGIK a une aire égale à l'aire de ABCD et quatre fois l'aire du triangle rectangle AFE.

Lorsque AE = AD = a, le triangle ABCD a une aire triple du carré ABCD.

Si a est le côté de ABCD et b est la longueur des petits côtés des triangles rectangles isocèles ;
AE = DG = CI = BK = b ; le carré EGIK une aire égale à a² + 2b².
Le carré EGIK a alors une aire égale à l'aire d'un carré de côté a et de deux carrés de côtés b.

Télécharger la figure GéoPlan carre_abu_wafa.g2w
Voir : problème d'Abul-Wafa - Triangle équilatéral à l'intérieur d'un carré

ABCD est un carré, P est le symétrique de A par rapport à B, Q est le symétrique de B par rapport à C, R est le symétrique de C par rapport à D et S est le symétrique de D par rapport à A.
Montrer que PQRS est un carré d'aire cinq fois plus grande.

La rotation de centre O et d'angle 90° transforme [AP] en [BQ], [BQ] en (CR)…

P a pour image Q, Q a pour image R, R a pour S et S a pour image P. Le quadrilatère PQRS globalement invariant par la rotation a ses quatre côtés de même longueur, deux côtés consécutifs forment un angle de 90°, égal à l'angle de la rotation. ADCD est un carré.

Si le côté du petit carré AB = a, la propriété de Pythagore dans le triangle BPQ permet de calculer PQ = a. PQRS a une aire égale à 5a².

Voir : pavages
Découpage d'aires dans un carré en classe de seconde : exercices de-ci, de-là
Télécharger la figure GéoPlan mul_carres.g2w

b. Droites orthogonales dans un carré

Les points I et J sont les milieux des côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD.

Montrer que les droites (AI) et (BJ) sont orthogonales.

Paragraphe importé de la page angles rotations
Voir : carré d'aire cinq fois plus petite : produit scalaire

Télécharger la figure GéoPlan carre_3.g2w

c. Carré d'aire cinq fois plus petite…

I, J, K et L sont les milieux des côtés d'un carré ABCD
(longueur du côté AB = a).

Montrer que la droite (IC) est perpendiculaire à (LB),
calculer PQ en fonction de a,
justifier que PQRS est un carré,
montrer que son aire est égale à de l'aire de ABCD.

Paragraphe importé de la page produit scalaire
Cas général : voir multiplication de l'aire d'un parallélogramme
Télécharger la figure GéoPlan p_s_car.g2w

d. Puzzle

On aligne comme sur la figure ci-contre cinq carrés égaux.

Reconstituer un carré.

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Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

a. Somme de deux angles

Quelle est la somme des deux angles marqués x et y ?

La somme des deux angles vaut 45°.

Cinq méthodes pour le démontrer :

Calculs trigonométriques

a.1. En choisissant comme unité le côté d'un carré,
vérifier que AE = ; cos x = ; sin x = ;
BE = ; cos y = ; sin y = et la formule d'addition :
cos(x+y) = cos x cos y −sin x sin y
permettent de trouver cos(x+y) = , d'où x+y = 45°.

a.2. Pour amateurs de trigonométrie plus chevronnés,
remarquer que tan x = , tan y = .
Avec la formule tan(x+y) =
il vient : tan(x+y) = 1, et donc toujours x+y = 45°.

 Télécharger la figure GéoPlan mon_199.g2w

Le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle

a.3. La rotation de centre B d'angle 90° transforme le triangle rectangle BEC en BFA, C a pour image A, d'où l'angle CBA mesure 90°. [BC] a pour image [BA], donc BC = BA. L'angle aigu BÂC du triangle rectangle isocèle, égal à somme x + y, vaut 45°.

a.4. La réciproque de la propriété de Pythagore permet de le vérifier : en choisissant comme unité le côté d'un carré, ceux du triangle ont pour longueurs
AB = , BC = et AC = .
La somme x + y, égale à l'angle BÂC, vaut donc 45°.

 Télécharger la figure GéoPlan mon_199s.g2w

a.5. Triangles rectangles semblables

En choisissant comme unité le côté d'un carré, on a :
DE = 1 et BD = 2,
dans le triangle rectangle BDE on a :
tan y = DE/DB = .

Soit P le symétrique de C par rapport à F et Q le symétrique de G par rapport à B, APQE est un rectangle.
Sa largeur est PE = et sa longueur PA = 2.

Dans le triangle rectangle APE,
tan(EÂP) = PE/PA = .
Les triangles rectangles BDE et APE sont semblables :
y = EÂP.
La somme x + y, égale à l'angle DÂP, vaut donc 45°.

 Télécharger la figure GéoPlan mon_199d.g2w

b. L'embarras du choix

Pour montrer que les deux angles marqués x et z sont égaux, utiliser une des quatre autres méthodes suivantes :

b.1. Calculs géométriques faisant intervenir la somme d'angles

Avec y = DÂF on a : x + y = x + DÂF = 45° trouvée ci-dessus :
On a y + z = DÂF + FÂG = DÂG = 45°.
Soit x + y = y + z et en simplifiant par y : x = z.

Classe de seconde ou première

b.2. Calculer cos(x + 45°) dans le triangle AHF.

b.3. Calculer cos x avec Al-Kashi dans le triangle AGF.

b.4. Utiliser la loi des sinus : HF/sin x =… dans le triangle AHF.

 Télécharger la figure GéoPlan mon_199b.g2w

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Activité B2i

Domaine B2i

Item collège validable

Le carré en 5^ème

Construction du carré
Carré et deux triangles équilatéraux
Carré inscrit dans un triangle
Somme de deux carrés

1 – S'approprier un environnement informatique de travail.

1.1 – Je sais m'identifier sur un réseau ou un site et mettre fin à cette identification.

1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail.

Connaissances

Capacités

Commentaires

Propriétés des quadrilatères usuels

- Connaître les propriétés relatives aux côtés, aux angles, aux diagonales pour le rectangle, le carré et le losange.

La symétrie axiale est mise en jeu pour mettre en évidence certaines propriétés.

Constructions géométriques.

Reproduction, construction de figures complexes.

Ces situations nécessitent de reconnaître des figures simples dans une figure complexe et demandent un travail d'analyse utile aux apprentissages ultérieurs.

Connaissances

Capacités

Commentaires

Figures planes

Figures simples ayant un centre de symétrie ou des axes de symétrie.

  – Connaître et utiliser une définition et les propriétés (relatives aux côtés, aux diagonales, aux éléments de symétrie) du carré, du rectangle, du losange.

Un travail de synthèse est réalisé, faisant apparaître chacune de ces figures (rectangle, losange, carré) comme un parallélogramme doté de propriétés particulières, notamment en ce qui concerne les diagonales.

Calculs d'aires

Collège
Problèmes de construction

GéoPlan
Parallélogramme

Construction à la
règle et au compas

GéoPlan
Constructions géométriques

Troisième
Accompagnement des programmes

Sommaire

1. Construction du carré
2. Carré et deux triangles équilatéraux - Alignement de trois points
3. Duplication du carré
4. Somme ou différence des aires de deux carrés
    Sulbasutras
    Construction de Bhaskara
    Clairaut
    Puzzle de Gougu
5. Multiplication par 3 de l'aire d'un carré
    Construction d'Abu l-Wafa
6. Multiplication par 5 de l'aire d'un carré
7. Les trois carrés
8. Huit carrés - Somme de trois angles

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