Placer deux points A et B et dessiner le segment [AB],
tracer la perpendiculaire à (AB) passant par A et et reporter sur cette perpendiculaire la longueur du côté avec le cercle de centre A passant par B.
Le sommet D est un des points d'intersection de cette perpendiculaire et du cercle.
Construire les parallèles à (AB) passant par D et à (AD) passant par B.
Construire le point C comme intersection de ces deux parallèles.

ABCD est un carré de côté [AB].

Télécharger la figure GéoPlan carre.g2w
Télécharger la figure Cabri carre.fig
Télécharger la figure GeoLabo carre.glb (Logiciel libre de géométrie dynamique : GeoLabo)

Variante : après la construction de D, construire les perpendiculaires à (AB) en B et à (AD) en D.
Construire le point C comme intersection de ces deux perpendiculaires.

Construction de Marolois : après la construction de D, construire la perpendiculaire à (AB) en B. Reporter en C, sur cette deuxième perpendiculaire, la longueur du côté avec le cercle de centre B passant par A.
Tracer le côté [CD] parallèle à (AB).

b. Construction à partir d'un côté et du cercle circonscrit

Construction à partir d'un côté et du cercle ciconscrit Placer deux points A et B et dessiner le segment [AB],
tracer la médiatrice de [AB] et le cercle de diamètre [AB].

Remarque : avec la règle et le compas, tracer le cercle de centre A, passant par B, et le cercle de centre B passant par A.
La droite joignant les points d'intersection des deux cercles est la médiatrice de [AB].

Le centre O du carré est un des points d'intersection de la médiatrice et du cercle de diamètre [AB].

Le cercle (c) de centre O passant par A est le cercle circonscrit au carré.

Le sommet C est le deuxième point d'intersection de la droite (AO) et du cercle circonscrit (c).
De même, D est l'intersection de (BO) et du cercle (c).

ABCD est un carré de côté [AB] inscrit dans le cercle (c).

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c. Construction à partir d'une diagonale

Placer deux points A et C,
tracer le segment [AC] et le cercle (c) de diamètre [AC] circonscrit au carré.

Tracer la médiatrice de [AC]. Elle coupe le cercle (c) en B et D.
ABCD est un carré.

Remarque : la règle et le compas permettent de construire une médiatrice, en traçant le cercle de centre A passant par C et le cercle de centre C passant par A, qui se coupent en E et F.
(EF) est la médiatrice de [AC].

En classe de quatrième, on calculera la longueur du côté du carré avec la relation de Pythagore dans le triangle OAB :
AB = r où r est le rayon du cercle.

Remarque : cette figure permet aussi de construire un carré à partir du cercle circonscrit.

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Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

d. Sulbasutra (construction à partir d'une médiatrice)

Sulbasutras D'après Marie-Noëlle Racine
Géométries : différentes manières de les enseigner
Histoire et enseignement des Mathématiques
INRP - IREM de Clermont-Ferrand - 2007

Textes rituels de l'Inde, rédigés en sanskrit vers le VIII^e siècle avant J.-C., issus de tradition orale remontant à plus de 2000 ans avant notre ère.

Si l'on veut un carré, prendre une corde de longueur égale au carré donné, faire des nœuds aux deux extrémités et une marque en son milieu.
On trace la ligne et on plante un piquet en son milieu. On fixe les deux nœuds et on trace un cercle avec la marque.

Deux piquets sont plantés aux deux extrémités du diamètre. Un nœud étant fixé à l'est, on trace un cercle avec l'autre. Même chose à l'ouest.
Le second diamètre est obtenu des points d'intersection de ces deux ; on plante deux piquets aux deux extrémités du diamètre.

Avec deux nœuds fixés à l'est, on trace un cercle avec la marque ; on fait la même chose au sud, à l'ouest et au nord.
Les points d'intersection donnent le carré.

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Voir : la quadrature du rectangle
constructions de carrés d'aire égale à la somme ou la différence des aires de deux carrés

e. Voir : construction du carré à la règle (non graduée) et l'équerre

2. Carré et deux triangles équilatéraux - Alignement de trois points

Classe de sixième

Sur du papier quadrillé, construire un carré ABCD, puis les triangles équilatéraux ABI, à l'intérieur du carré, et BCJ, à l'extérieur.
Vérifier, avec la règle, que les points D, I et J sont alignés.

Aventure math - Classe de sixième - page 220 - POLE 2005

Télécharger la figure GéoPlan carre_tr_equi.g2w
Paragraphe importé de la page angles rotations au lycée

ABCD est un carré et E le milieu [BD].
BDF est un triangle équilatéral.

Vérifier que les points A, E, C et F sont alignés.

Voir carré et deux triangles équilatéraux : angles - rotations

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Télécharger la figure Cabri carre_triangle.fig
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Calculs d'angles

Classe de cinquième

Dans la figure réalisée comme ci-dessus, calculer les mesures des angles CDJ et DLB.

Indications

CDJ = 15°.

Le triangle isocèle ADI a un angle au sommet de 30°.
Les deux autres angles égaux sont de 75°.

Dans l'angle droit ADC, CDJ est le complémentaire de ADI, d'où CDI = 90° − 75° = 15°.

DLB = 105°.

Dans le triangle DCL, rectangle en C, l'angle CLD complémentaire de CDL mesure 75°.
DLB supplément de cet angle mesure 180° − 75° = 105°.

Télécharger la figure GéoPlan carre_tr_equi_3.g2w

Autre angle de 105°

Construire un carré ABCD, puis le triangle équilatéral ABI, à l'intérieur du carré.
La diagonale [AC] du carré coupe [BI] en K.

Calculer la mesure de l'angle BKC.

Indication

Le triangle BKC a deux angles de 30° et 45°. La somme des angles d'un triangle est 180°.

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3. Carré inscrit dans un triangle

Soit ABC un triangle. Trouver un carré DEFG inscrit dans le triangle ABC (ses sommets sont sur les côtés du triangle).

Classe de cinquième

Placer un point M sur le côté [AC] du triangle.

Soit P la projection orthogonale de M sur la droite (AB).
Construire le carré direct MPQR de côté [MP], son deuxième côté [PQ] se trouve sur la droite (AB).

Avec GéoPlan, on peut chercher une solution en déplaçant le point M.
Commandes
Taper T pour la Trace du point R,
taper F pour sortir du mode trace.

Inscrire un carré dans un triangle - Solution

Preuve

Commande GéoPlan : taper S pour la solution.

La droite (AR) rencontre la droite (BC) en F.
En plaçant le point R en F, le carré MPQR devient un carré GDEF, dont les sommets sont sur les côtés du triangle ABC.

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Paragraphes importés de la page homothétie

4. Duplication du carré

Tracer à la « règle et au compas » un carré d'aire double d'un carré donné.

Classe de quatrième

Dans Menon, un dialogue de Platon, Socrate explique la construction ci-dessus à un jeune esclave.

La diagonale du « petit carré » le partage en deux triangles isocèles rectangles. Le « grand carré » est formé de quatre triangles isocèles rectangles, de même aire.

Le rapport des aires des carrés est 2,
Le rapport des côtés est .

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Carrés de Léonard de Vinci

Le carré circonscrit à un cercle a une aire double de celle du carré inscrit dans ce cercle.

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Solution de Léonard de Vinci

À partir d'un « petit carré » ABCD, de centre O, on trace les cercles centrés sur les sommets, passant par O. Ces cercles se coupent en E, F, G, H, symétriques de O par rapport aux côtés du petit carré. EFGH est un « grand carré » tangent au cercle circonscrit à ABCD.

Les diagonales du « petit carré » le partagent en quatre triangles isocèles rectangles. On obtient le « grand carré » avec quatre autres triangles isocèles rectangles de même aire, symétriques des quatre premiers.

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Paragraphes importés de la page grands problèmes de la géométrie grecque.

Cloître

Olympiades 2008 - Toulouse

Un cloître est constitué d'une cour intérieure centrale entourée d'une galerie latérale.

Cloître

La forme des cloîtres est généralement carrée et, est telle que l'aire de la galerie est égale à celle de la cour centrale.

Télécharger la figure GéoPlan cloitre.g2w

Proposer une méthode permettant de tracer dans l'enclos un carré délimitant la future cour intérieure centrale du cloître

tracé du cloître Tracer les deux diagonales et le centre O du grand carré,
soit I le milieu d'un des côtés du carré, le cercle de centre O passant par I coupe les diagonales aux coins cherchés de la cour.

En effet si L est la longueur du côté du grand carré, le rayon du cercle est L/2.
La diagonale du petit carré mesure L,
la longueur du côté de ce carré est l = L/,
son aire l² est bien la moitié de L², aire du grand carré.

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Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

5. Somme de deux carrés

Constructions de carrés d'aire égale à la somme ou la différence des aires de deux carrés.

a. Sulbasutra : construire un carré somme de deux carrés

Sulbasutra : somme de deux carrés

Si l'on rassemble deux carrés de tailles différentes, que l'on trace à l'aide du côté du plus petit une bande du plus grand, la corde diagonale de cette bande est le côté du carré constitué des deux carrés rassemblés.

EB est la longueur du côté du carré d'aire égale à la somme des aires des carrés contigus ACDE de côté a et ABFG de côté b.

Avec ce que nous appelons le théorème de Pythagore.

Dans le triangle rectangle ABC, on a :
EB² = EA² + AB² = a² + b².

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b. Sulbasutra : construire un carré différence de deux carrés

IJ est la longueur du côté du carré d'aire égale à la différence des aires des carrés contigus ACDE et ABFG.

Justifications

Dans le triangle rectangle IJE, la relation de Pythagore donne :
IJ² = EJ² - IE² = a² - b².

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Voir aussi : construction du carré à partir d'une médiatrice

c. Construire un carré somme de deux carrés

Réaliser la figure du moulin à vent d'Euclide par la construction de deux carrés CBED et ACFG de côtés a et b à l'extérieur d'un angle droit en C.
Compléter le triangle rectangle ABC et construire le carré ABIH de côté AB = c.
Par le théorème de Pythagore, l'aire du grand carré est égale à la somme des aires de deux carrés.

Commande GéoPlan : déplacer les points A ou B sur les côtés de l'angle droit.

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d. Construire un carré différence de deux carrés de côtés c et a

Réaliser la figure du moulin à vent par la construction d'un carré ABIH de côté c.
Sur le demi-cercle de diamètre [AB], placer le point C et le long de [AC] construire le carré CBED de côté a.
Compléter le triangle rectangle ABC et construire le carré ACFG de côté b.

L'aire de ce carré est égale à la différence des aires des deux premiers carrés.

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e. Construction de Bhaskara : construire un carré de côté b−a

Construire un triangle rectangle A’O’B’ en O’ tel que O’A’ = a et O’B’ = b, avec b > a.
Construire un carré ABCD, avec un côté de longueur A’B’.
Sur les demi-cercles ayant pour diamètre les côtés du grand carré, sont placés les points O, P, Q et R formant les sommets de quatre triangles rectangles du pourtour, triangles de petits côtés de longueurs a et b.
Le quadrilatère OPQR est un carré de côté de longueur b − a.

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f. Carrés contigus

Construction à partir de deux carrés contigus BCFG et DEHF, de côtés a et b.

Carrés contigus

Une recherche guidée par la figure de duplication du carré ci-dessus permet dans le cas général, aux élèves, de trouver une solution autour de la diagonale [BE] :

Clairaut

On voit apparaître deux triangles rectangles, on construit alors un carré et on complète en traçant les verticales et les horizontales, pour obtenir la figure de Clairaut, à droite ci-contre.

Clairaut

Le carré ABKE de diagonale [BE] est solution.

Justifier cette construction par l'isométrie des triangles rectangles de sommets C, D, J, I.

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Puzzle de Clairault
Retrouver cette configuration dans : similitude au bac

Adaptation à GéoPlan de :
Pour une culture mathématique accessible à tous
CREM - Communauté Française de Belgique

g. Carrés opposés par le sommet

Construire deux carrés EBCF et EDHK, de côtés a et b, aux côtés parallèles, ayant uniquement le sommet E en commun.

Une recherche, guidée par la figure de duplication du carré ci-dessus, permet aux élèves, dans le cas général, de trouver une solution en construisant un carré autour de [BK] ou autour de [FD].

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Retrouver cette configuration dans : carrés du BOA,
similitude au bac

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Carré ABKG solution, construit à partir du segment [BK].

On retrouve la figure de la démonstration de Pythagore des quatre triangles.

h. Puzzle de Gougu

uzzle de Gougu Chine : reconstitué d'après les commentaires de Liu Hui, époque Han, III^e siècle

Puzzle de cinq pièces.

Par translation de trois triangles parallèlement aux diagonales du grand carré, on passe de deux carrés contigus au grand carré d'aire égale à la somme des aires de deux petits carrés.

Ce puzzle est une des preuves du théorème de Pythagore.

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6. Multiplication par 3 de l'aire d'un carré - Construction d'Abu l-Wafa

Autour d'un carré ABCD de côté a, on place quatre rectangles isocèles identiques de telle façon que le sommet d'un des deux angles de 45° de chaque triangle tombe sur un des sommets du carré ABCD et l'hypoténuse le long du côté du carré.

En joignant les sommets des angles droits des triangles rectangles, on obtient un carré EGIK.

On montre facilement que EGIK est un carré.

On montre ensuite que chacun des quatre triangles dépassant du carré EGIK est égal à un triangle manquant à l'intérieur du carré.

Par exemple, EDGF est un parallélogramme, car (EF)//(DG) et EF = DG.
Le point M d'intersection de [EG] et de [DF] est le milieu de ces diagonales.

Le triangle excédent EMF est symétrique, par rapport à M, du triangle manquant GMD. Leurs aires sont égales.

Le carré EGIK a une aire égale à l'aire de ABCD et quatre fois l'aire du triangle rectangle AFE.

Lorsque AE = AD = a, le triangle ABCD a une aire triple du carré ABCD.

Si a est le côté de ABCD et b est la longueur des petits côtés des triangles rectangles isocèles ;
AE = DG = CI = BK = b ; le carré EGIK une aire égale à a² + 2b².
Le carré EGIK a alors une aire égale à l'aire d'un carré de côté a et de deux carrés de côtés b.

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Voir : problème d'Abul-Wafa - Triangle équilatéral à l'intérieur d'un carré

7. a. Multiplication par 5 de l'aire d'un carré

ABCD est un carré, P est le symétrique de A par rapport à B, Q est le symétrique de B par rapport à C, R est le symétrique de C par rapport à D et S est le symétrique de D par rapport à A.
Montrer que PQRS est un carré d'aire cinq fois plus grande.

La rotation de centre O et d'angle 90° transforme [AP] en [BQ], [BQ] en (CR)…

P a pour image Q, Q a pour image R, R a pour S et S a pour image P. Le quadrilatère PQRS globalement invariant par la rotation a ses quatre côtés de même longueur, deux côtés consécutifs forment un angle de 90°, égal à l'angle de la rotation. ADCD est un carré.

Si le côté du petit carré AB = a, la propriété de Pythagore dans le triangle BPQ permet de calculer PQ = a. PQRS a une aire égale à 5a².

Voir : pavages
Découpage d'aires dans un carré : exercices de-ci, de-là
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b. Droites orthogonales dans un carré

Droites orthogonales Les points I et J sont les milieux des côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD.

Montrer que les droites (AI) et (BJ) sont orthogonales.

Paragraphe importé de la page angles rotations
Voir : carré d'aire cinq fois plus petite : produit scalaire

Télécharger la figure GéoPlan carre_3.g2w

c. Carré d'aire cinq fois plus petite…

I, J, K et L sont les milieux des côtés d'un carré ABCD (longueur du côté AB = a).

Montrer que la droite (IC) est perpendiculaire à (LB),
calculer PQ en fonction de a,
justifier que PQRS est un carré,
montrer que son aire est égale à de l'aire de ABCD.

Paragraphe importé de la page produit scalaire
Cas général : voir multiplication de l'aire d'un parallélogramme
Télécharger la figure GéoPlan p_s_car.g2w

d. Puzzle

On aligne comme sur la figure ci-contre cinq carrés égaux.

Reconstituer un carré.

Télécharger la figure GéoPlan cinq_carre.g2w

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

8. Les trois carrés

On aligne comme sur les figures ci-dessous trois carrés égaux.

a. Somme de deux angles

Quelle est la somme des deux angles marqués x et y ?

La somme des deux angles vaut 45°.

Cinq méthodes pour le démontrer :

Calculs trigonométriques

a.1. En 1S, en choisissant comme unité le côté d'un carré, vérifier que AE = ; cos x = ; sin x = ;
BE = ; cos y = ; sin y = et la formule d'addition :
cos(x+y) = cos x cos y −sin x sin y
permettent de trouver cos(x+y) = , d'où x+y = 45°.

a.2. Pour amateurs de trigonométrie plus chevronnés,
remarquer que tan x = , tan y = .
Avec la formule tan(x+y) =
il vient : tan(x+y) = 1, et donc toujours x+y = 45°.

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Le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle

a.3. La rotation de centre B d'angle 90° transforme le triangle rectangle BEC en BFA, C a pour image A, d'où l'angle CBA mesure 90°. [BC] a pour image [BA], donc BC = BA. L'angle aigu BÂC du triangle rectangle isocèle, égal à somme x + y, vaut 45°.

a.4. La réciproque de la propriété de Pythagore permet de le vérifier : en choisissant comme unité le côté d'un carré, ceux du triangle ont pour longueurs
AB = , BC = et AC = .
La somme x + y, égale à l'angle BÂC, vaut donc 45°.

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a.5. Triangles rectangles semblables

En choisissant comme unité le côté d'un carré, on a :
DE = 1 et BD = 2,
dans le triangle rectangle BDE on a :
tan y = DE/DB = .

Soit P le symétrique de C par rapport à F et Q le symétrique de G par rapport à B, APQE est un rectangle.
Sa largeur est PE = et sa longueur PA = 2.

Dans le triangle rectangle APE,
tan(EÂP) = PE/PA = .
Les triangles rectangles BDE et APE sont semblables :
y = EÂP.
L la somme x + y, égale à l'angle DÂP, vaut donc 45°.

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b. L'embarras du choix

Pour montrer que les deux angles marqués x et z sont égaux, utiliser une des quatre autres méthodes suivantes :

b.1. Calculs géométriques faisant intervenir la somme d'angles

x + y = x + DÂF = 45° trouvée ci-dessus :
On a y + z = DÂF + FÂG = DÂG = 45°.
Soit x + y = y + z et en simplifiant par y : x = z.

Classe de seconde ou première

b.2. Calculer cos(x + 45°) dans le triangle AHF.

b.3. Calculer cos x avec Al-Kashi dans le triangle AGF.

b.4. Utiliser la loi des sinus : HF/sin x =… dans le triangle AHF.

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Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

c. Prouver un alignement

Classes de troisième - seconde

J est le milieu de [AG].
Montrer que les points C, I et J sont alignés.

Pour cela, trouver la position du point I sur [BG] et dire ce que représentent le point I et la droite (CJ) dans le triangle ACG.

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9. Huit carrés - Somme de trois angles

On aligne comme sur la figure ci-dessous huit carrés égaux.
Quelle est la somme des trois angles marqués x, y et z ?

La somme des trois angles vaut 45°.

Télécharger la figure GéoPlan huit_carres.g2w
Exercice du groupe de mutualisation - série S
Classe de cinquième : un triangle dans un rectangle

Extrait du Programme de géométrie en 6^e

Contenus

Compétences

Exemples d'activités, commentaires

Propriétés des quadrilatères usuels

- Connaître les propriétés relatives aux côtés, aux angles, aux diagonales pour les quadrilatères suivants : rectangle, losange, cerf-volant, carré.

Certaines des propriétés évoquées ont déjà été étudiées à l'école primaire (notamment celles relatives aux côtés, à la présence d'angles droits ou à celle d'axes de symétrie), d'autres sont nouvelles (notamment celles relatives aux angles autres que les angles droits et celles relatives aux diagonales).

La symétrie orthogonale est mise en jeu le plus fréquemment possible pour justifier les propriétés.

Reproduction, construction de figures usuelles

- Utiliser ces propriétés pour reproduire ou construire ces figures.

… Les procédés utilisés pour la reproduction ou la construction dépendent des indications fournies à l'élève et des instruments disponibles. Pour les figures suivantes : cerf-volant, losange, carré, triangle isocèle, triangle équilatéral, leur construction à la règle graduée et au compas est un objectif de la classe de sixième (dans la mesure où la construction ne fait pas intervenir le parallélisme).

Extrait du programme de géométrie de 5^e (Applicable en 2009)

Contenus

Compétences

Exemples d'activités, commentaires

Figures planes

Figures simples ayant un centre de symétrie ou des axes de symétrie.

- Connaître et utiliser une définition et les propriétés (relatives aux côtés, aux diagonales, aux éléments de symétrie) du carré, du rectangle, du losange.

Un travail de synthèse est réalisé, faisant apparaître chacune de ces figures (rectangle, losange, carré) comme un parallélogramme doté de propriétés particulières, notamment en ce qui concerne les diagonales.

Calculs d'aires	Collège Problèmes de construction	GéoPlan Parallélogramme	Construction à la règle et au compas	GéoPlan Constructions géométriques	Troisième Accompagnement des programmes
Sommaire 1. Construction du carré 2. Carré et deux triangles équilatéraux - Alignement de trois points 3. Carré inscrit dans un triangle 4. Duplication du carré 5. Somme ou différence des aires de deux carrés Sulbasutras Construction de Bhaskara Clairaut Puzzle de Gougu 6. Multiplication par 3 de l'aire d'un carré Construction d'Abu l-Wafa 7. Multiplication par 5 de l'aire d'un carré 8. Les trois carrés 9. Huit carrés - Somme de trois angles			GéoPlan au collège Triangle, triangle inscrit dans un carré Quadrilatère Cercle - Angle inscrit Exercices de géométrie au collège
Faire de la géométrie dynamique Accueil : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart Suggestions, remarques, problème : me contacter.
Moteur de recherche

Le carré au collège

Sommaire

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Le carré avec GéoPlan

Le carré en cinquième

1.a. Construction du carré à partir d'un côté

b. Construction à partir d'un côté et du cercle circonscrit

c. Construction à partir d'une diagonale

d. Sulbasutra (construction à partir d'une médiatrice)

e. Voir : construction du carré à la règle (non graduée) et l'équerre

2. Carré et deux triangles équilatéraux - Alignement de trois points

Calculs d'angles

Autre angle de 105°

3. Carré inscrit dans un triangle

4. Duplication du carré

Carrés de Léonard de Vinci

Solution de Léonard de Vinci

Cloître

5. Somme de deux carrés

a. Sulbasutra : construire un carré somme de deux carrés

b. Sulbasutra : construire un carré différence de deux carrés

c. Construire un carré somme de deux carrés

d. Construire un carré différence de deux carrés de côtés c et a

e. Construction de Bhaskara : construire un carré de côté b−a

f. Carrés contigus

Clairaut

g. Carrés opposés par le sommet

h. Puzzle de Gougu

6. Multiplication par 3 de l'aire d'un carré - Construction d'Abu l-Wafa

7. a. Multiplication par 5 de l'aire d'un carré

b. Droites orthogonales dans un carré

c. Carré d'aire cinq fois plus petite…

d. Puzzle

8. Les trois carrés

a. Somme de deux angles

Calculs trigonométriques

Le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle

a.5. Triangles rectangles semblables

b. L'embarras du choix

c. Prouver un alignement

9. Huit carrés - Somme de trois angles

Extrait du Programme de géométrie en 6e

Extrait du programme de géométrie de 5e (Applicable en 2009)

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