Aires et triangles

Sommaire

1. Triangle rectangle
2. Aire du triangle
3. Aire et médiane
4. La propriété des proportions, théorème du chevron
5. Partage en deux d'un triangle - Olympiades 2004
6. Pliage d'un triangle selon une droite des milieux
7. Transformer un quadrilatère en triangle - Olympiades 2008

Page n^o 130, réalisée le 6/12/2008, modifiée le 12/2/2011

Aire d'un triangle inscrit dans un carré

Problèmes de partage

Démonstrations avec la méthode des aires :
      théorème de Thalès
      théorème de Pythagore

Triangles en seconde :
    Multiplication de l'aire d'un triangle,
    Partage d'un triangle en quatre

Classe de première :
    Calcul d'aire minimum : minimum-maximum
    Analyse en option 1L-TL

Index
aires

Collège
Calcul d'aires

Aires du parallélogramme et du trapèze

Problèmes de construction
au collège

Exercices de géométrie
au collège

Faire de la géométrie dynamique

Doublement de l'aire du triangle

Le rectangle ACBD a une aire double de celle du triangle rectangle ACB.

2 Aire(ACB) = Aire(ACBD) = CB × CA =ab

Télécharger la figure GéoPlan aire_tr_rect.g2w

Faire pivoter, autour de O, milieu de [AB], le triangle découpé à droite de la droite des milieux ( OB’)

Le rectangle CBDB’ a même aire que celle du triangle ABC.
Aire(ABC) = Aire(CBDB’) = CB × CB’= ab

Télécharger la figure GéoPlan aire_tr_rect2.g2w

Faire pivoter, autour de O, le triangle découpé au-dessus de la droite des milieux ( OA’)

Le rectangle CA’DA a même aire que celle du triangle ABC.
Aire(ABC) = Aire( CA’DA) = CA’× CA = ab

Télécharger la figure GéoPlan aire_tr_rect3.g2w

Le calcul de l'aire du triangle ABC, rectangle en C, avec les hauteurs se fait de deux façons et on a : Aire(ABC) = AB × CH = ch comme ci-contre à gauche et Aire(ABC) = CA × CB = ba comme ci-contre à droite.

D'où CA × CB = AB × CH : dans un triangle rectangle, le produit des cathètes est égal au produit de l'hypoténuse et de la hauteur issue de l'angle droit.

Voir : relations métriques dans le triangle rectangle au lycée

Télécharger la figure GéoPlan aire_tr_rect4.g2w

Doublement de l'aire du triangle

Le rectangle ACED a une aire double de celle du triangle ABC.

2 Aire(ABC) = Aire(ACED) = AC × BH =bh

Télécharger la figure GéoPlan aire_triangle1.g2w

Faire pivoter de deux triangles découpés au-dessus de la droite des milieux ( A’C’)

Le rectangle ACED a même aire que celle du triangle ABC.
Aire(ABC) = Aire(ACED) = IH × AC = hb

Télécharger la figure GéoPlan aire_triangle3.g2w

Découpe de deux autres triangles qui pivotent autour des milieux A’ et C’

Le rectangle FGED a même aire que celle du triangle ABC.
Aire(ABC) = Aire(FGED) = FG × DF = bh

Télécharger la figure GéoPlan aire_triangle2.g2w

L'aire d'un triangle a pour mesure le demi-produit d'un côté par la hauteur perpendiculaire à ce côté.

Aire(ABC) = base × hauteur.

Comme h = AB sin A = c sin A, on a aussi Aire(ABC) =  bc sin A.

Au lycée, voir la formule de Héron d'Alexandrie dans l'article : relations métriques du triangle.

Technique GéoPlan

Avec GéoPlan il est possible de nommer la base b et h la hauteur avec le menu :
« Créer>Numérique>Calcul géométrique>Longuer d'un segment »

b = AC (unité de longueur Uoxy)
h = BH (unité de longueur Uoxy)

Puis fair le calcul avec l'option « Créer>Numérique>Calcul algébrique » avec l'expression du calcul : bh/2 ; ayant pour nom du calcul : s

s = bh/2

Les experts pouront taper rapidement dans le texte de la figure :

b = AC
h = BH
s = bh/2

L'aire s peut alors être utilisée dans les calculs suivants ou affichée par l'option « Créer>Affichage>Variable numérique déjà définie »

Af0 affichage du scalaire s (2 décimales)

GéoPlan permet de s'affranchir de ces calculs et trouver directement l'aire avec le menu :
« Créer>Numérique>Calcul géométrique>Aire d'un triangle »

s aire du triangle ABC (unité de longueur Uoxy)

On peut se contenter d'un simple affichage : « Créer>Affichage>Aire d'un triangle »

Af1 affichage de l'aire du triangle ABC (unité de longueur Uoxy) (2 décimales)

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On procède par différence : Aire(ABC) = Aire(HBC) - Aire(HAB)

On retouve la même formule :

Aire(ABC) = BH × HC - BH × HA= BH × AC = hb

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Doublement de l'aire du triangle

Le rectangle HCEB a une aire double de celle du triangle HBC.
Le rectangle HADB a une aire double de celle du triangle HAB.

On procède par différence :
Aire(ACED) = Aire(HCEB) - Aire( HADB)

Le rectangle ACED a une aire double de celle du triangle ABC.

Télécharger la figure GéoPlan aire_triangle_obtu2.g2w

Doublement de l'aire du triangle

Le parallélogramme ACDB a une aire double de celle du triangle ABC.

Le parallélogramme a pour base b et pour hauteur h.

2 Aire(ABC) = Aire(ACDB) = AC × BH =bh

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Faire pivoter, autour de A’, le triangle découpé au-dessus de la droite des milieux (A’C’)

Le parallélogramme ACDC’ a même aire que celle du triangle ABC.
Le parallélogramme a pour base b et pour hauteur h.
Aire(ABC) = Aire(ACDC’) = h × AC = hb

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Faire pivoter, autour de A’, le triangle A’B’C

Le parallélogramme AB’DB a même aire que celle du triangle ABC.

Le parallélogramme a pour base b et pour hauteur h.

Aire(ABC) = Aire(AB’DB) = AB’ × BH = bh

Télécharger la figure GéoPlan tr_ds_para2.g2w

Figures clés

Le recours à des figures-clés repose sur la reconnaissance d'un modèle déjà rencontré. Cela suppose donc l'existence d'une base de référence constituée de configurations et de théorèmes associés. C'est le cas de la plupart des théorèmes mis en place au collège (propriétés caractéristiques des quadrilatères, propriétés des angles obtenus en coupant deux parallèles par une sécante, configurations de Thalès, de Pythagore, concours de droites remarquables dans un triangle…). Il en est d'autres qui ne sont pas l'objet de compétences décrites dans le
programme, mais qui, dans la mesure où elles reviennent souvent, finissent par fixer des connaissances à leur propos. Ainsi, les résultats ci-dessous, relatifs aux aires de triangles peuvent constituer des figures-références « complémentaires ».

La constitution d'une base de figures-clés rend par ailleurs incontournable un travail sur les « mots » et ce qu'ils peuvent évoquer, car, avoir assimilé une propriété, c'est être capable d'associer une figure-clé et un énoncé.

L'inconvénient majeur réside dans le fait que, si l'élève ne reconnaît pas la figure-clé (si la mise en évidence de la figure-clé nécessite par exemple un enrichissement ou un appauvrissement de la figure), il ne peut poursuivre sa démarche de raisonnement. Il lui faut
donc d'autres possibilités d'analyse pour franchir l'obstacle.

Ressources pour les classes de 6^e, 5^e, 4^e, et 3^e - Géométrie au collège
Projet de document d'accompagnement - Juillet 2007

Calcul de l'aire

Deux triangles qui ont une même base et des sommets sur une parallèle à la base sont d'aires égales.

En effet, les triangles ont même base [AB] et même hauteur de longueur AH, leurs aires sont égales à base × hauteur.

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Théorème du papillon

(CD)//(AB) : les aires des deux triangles hachurés ADI et BCI sont égales.

Télécharger la figure GéoPlan thm_papillon.g2w

Démonstration par découpage

Transformation du triangle ABC en ABD par l'intermédiaire d'un parallélogramme

Cas où la parallèle à (BD) passant par C coupe (AB) entre A et B (CD < AB).

Soit I, J, K et L les milieux des côtés [AC], [BC], [AD] et [AD].

La parallèle à (BD) passant par C coupe [IJ] en M.
Par symétrie de centre I, le triangle ICM est transformé en IAP,
la symétrie de centre J, transforme le triangle JCM en JBL.
APLP est un parallélogramme (côtés opposés parallèles) de même aire que le triangle ABC.

K est le milieu de [PL], car dans le parallélogramme PL = AB
et KL = AB avec la droite [KL] des milieux du triangle ABD.
Par symétrie de centre K, le triangle KAP est transformé en KDL, le parallélogramme a même aire que le triangle ABD.

En conclusion, les triangles ABC et ABD ont même aire, celle du parallélogramme ABLP.

Télécharger la figure GéoPlan prop_trapeze2.g2w

Les points I, J, I’, J’ sont les milieux des côtés d'un rectangle ABCD.
K est le milieu de [I’J’].

Quelle fraction de l'aire du rectangle représente l'aire du triangle IJK ?

Télécharger la figure GéoPlan triangle_ds_rectangle2.g2w

(I’J’) est parallèle à (JI). En déplaçant K en I’ on obtient le triangle IJI’ d'aire égale.

Ce triangle a une aire égale à la moitié du rectangle AII’D. Soit le quart de l'aire du rectangle ABCD.

Les accrocs de la méthode du trapèze pourraient encore déplacer le sommet J en A et obtiendraient le triangle AII’ d'aire du rectangle.

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Classe de 5^ème

Une médiane partage un triangle en deux triangles d'aires égales.

Si (AA’) est une médiane du triangle ABC, les triangles ABA’ et ACA’ ont des bases de même longueur et la même hauteur. Leurs aires sont égales.
Réciproquement : soit A’ un point du côté [BC] ; (AA’) est médiane du triangle ABC si les triangles ABA’ et ACA’ ont même aire.

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Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

4. La propriété des proportions

Si A’ est un point du côté [BC] d'un triangle ABC, le rapport des aires des triangles ABA’ et ACA’ est égal au rapport de leurs bases.

Aire du triangle ABA’ inscrit dans le triangle ABC

Le rapport des aires des triangles ABA’ et ABC est égal au rapport de leur base.

Barycentre : A’ est le barycentre des points pondérés (B, A’C) et (C, A’B).
A’ est aussi le barycentre des points pondérés (B, Aire(AA’C)) et (C, Aire(AA’B)).

Télécharger la figure GéoPlan prop_proportion.g2w

En appliquant deux fois la propriété des proportions, pour le triangle ABA’ inscrit dans ABC, puis pour AB’A’ inscrit dans ABA’ on trouve :

Le rapport des aires des triangles AB’A’ et ABC est alors :

Télécharger la figure GéoPlan prop_proportion_2.g2w

En appliquant deux fois la propriété des proportions, par exemple pour le triangle AB’C inscrit dans ABC, puis pour AB’C’ inscrit dans AB’C on trouve :

Le rapport des aires des triangles AB’C’ et ABC est :

Télécharger la figure GéoPlan prop_proportion_3.g2w

Avec GéoPlan
Triangle dont les côtés sont partagés en 3

Aire(AJK) = × Aire(ABC) = 2/9 Aire(ABC).
Même résultat pour les aires des triangles BIK et CIJ.

Par soustraction de ces trois aires de l'aire du triangle ABC on en déduit que :
Aire(IJK) = Aire(ABC).

Télécharger la figure GéoPlan triangle_ds_triangle.g2w

Avec GeoGebra : les points sont mieux marqués…
Triangle dont les côtés sont partagés en 4

Aire(AJK) = × Aire(ABC) = Aire(ABC)/8.

Aire(BIK) = × Aire(ABC) = 3/16 Aire(ABC).

Aire(CIJ) = × Aire(ABC) = 3/8 Aire(ABC).

Par soustraction de ces trois aires de l'aire du triangle ABC on en déduit que :
Aire(IJK) = 5/16 Aire(ABC).

Télécharger la figure GeoGebra triangle_ds_triangle.ggb

Si M est un point à l'intérieur d'un triangle ABC et A’ le point d'intersection de (AM) et de (BC),
alors le rapport des aires des triangles ABM et ACM est égal au rapport .

Ce résultat se démontre par un calcul de proportions en appliquant deux fois la propriété des proportions !

Il reste valable si M est à l'extérieur du triangle ABC.

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Chevron et médiane

Si M est un point à l'intérieur d'un triangle ABC, les triangles ABM et ACM ont même aire si et seulement si M est sur la médiane issue de A.

Télécharger la figure GéoPlan chevron_mediane.g2w

Barycentre

Soit M un point à l'intérieur d'un triangle ABC, tel que la cévienne (AM) coupe le côté (BC) en A’, la propriété des proportions permet de vérifier que A’ est le barycentre des points pondérés (B, Aire(A’AC)) et (C, Aire(A’AB)) ;
A’ est aussi le barycentre des points pondérés (B, Aire(A’MC)) et (C, Aire(A’MB)).

Par différence : Aire(MAB) = Aire(A’AB) - Aire(A’MB). Même calcul pour Aire(MAC). On en déduit que :

A’ est le barycentre des points pondérés (B, Aire(MAC)) et (C, Aire(MAB)).

Prolongement : M est le barycentre des points pondérés (A, Aire(MBC)) ; (B, Aire(MAC)) et (C, Aire(MAB)).

Preuve par associativité : la droite (AM) coupe le côté (BC) en A’ qui est, selon la propriété précédente, le barycentre partiel des deux points (B, Aire(MAC)) et (C, Aire(MAB)),
en raison de la même propriété, la droite (BM) coupe le côté (AC) en B’ qui est le barycentre des points (A, Aire(MBC)) et (C, Aire(MAB)).

M, point d'intersection des droites (AA’) et (BB’), est bien le barycentre de (A, Aire(MBC)) ; (B, Aire(MAC)) et (C, Aire(MAB)).

Ce résultat se généralise au cas où le point M serait à l'extérieur du triangle ABC, en comptant négativement les aires entièrement extérieures au triangle ABC.

Applications

Centre du cercle inscrit dans un triangle comme barycentre

I est le centre du cercle inscrit au triangle ABC. On note a = BC, b = AC et c = AB.
I est le barycentre des points pondérés (A, a) ; (B, b) et (C, c).

Indications

Les trois bissectrices (intérieures) d'un triangle ABC sont concourantes au point I, centre du cercle inscrit dans le triangle (tangent intérieurement aux trois côtés du triangle).

Soit A₁ est la projection orthogonale de I sur (BC), B₁ sur (AC), C₁ sur (AB).
IA₁, IB₁ et IC₁ sont trois hauteurs des triangles IBC, IAC et IAB et ont même longueur égale à r, rayon du cercle inscrit dans le triangle ABC.

I est le barycentre des points pondérés (A, Aire(IBC)) ; (B, Aire(IAC)) et (C, Aire(IAB)) d'après la propriété du barycentre de trois points ci-dessus.
Comme : Aire(IBC) = ar, Aire(IAC)) = br et Aire(IAB) = cr, en divisant les coefficients par r, on en déduit que I est bien le barycentre des points pondérés (A, a) ; (B, b) et (C, c).

Les médianes d'un triangle sont concourantes.

Démonstration basée sur la transitivité de l'égalité :

Soit G le point d'intersection des médianes [AA’] et [BB’] d'un triangle ABC.
G est sur [AA’] donc d'après la propriété ci-dessus Aire(ACG) = Aire(ABG) ;
de même, G est sur [BB’], donc Aire(ABG) = Aire(BCG).

On en déduit : Aire(ACG) = Aire(BCG) d'où, d'après la réciproque de la propriété ci-dessus, G est sur la médiane [CC’] et les médianes sont concourantes en G centre de gravité du triangle.

Les trois triangles ABG, BCG et ACG sont d'aires égales : le centre de gravité d'un triangle le partage en trois triangles de même aire.

Corollaire : [GA’] est la médiane de GBC, les triangles GA’B et GA’C ont même aire. On en déduit que G permet le partage du triangle ABC en six triangles d'aires égales.

Télécharger la figure GéoPlan medianes.g2w
Télécharger la figure GeoGebra medianes.ggb

Chevron et parallélogramme

Si M est un point de diagonale [BD] d'un parallélogramme
ABCD, les triangles ABM et BCM ont même aire.

En effet, M est un point de la médiane (BO) du triangle ABC.

Télécharger la figure GéoPlan chevron_parallelogramme.g2w

5. Partage en deux d'un triangle (Olympiades 2004)

Classe de quatrième

Soit un triangle ABC et un point P de [AC] tel que PA = 2PC.
Une droite variable pivotant autour du point P, coupe un des deux autres côtés [AB] ou [BC] en M.

Le segment [MP] partage l'intérieur du triangle ABC en deux parties.
Pour quelle position de M les deux parties ont-elles des aires égales ?

Cas particulier d'un des exercices des olympiades de Montpellier en 2004

Avec GéoPlan, déplacer le point M sur les côtés [AB] et [BC].
Ne pas dépasser A ou C.

Télécharger la figure GéoPlan pendule.g2w
Voir point collé mobile sur une ligne brisée : trucs GéoPlan

Soit I le milieu de [AC]

Montrer que la droite, passant par P, qui divise ABC en deux parties d'aires égales coupe l'un des côtés [AB] ou [AC] en un point M tel que (MI) est parallèle à (BP).

Solution

Si comme sur la figure ci-dessus le point M est sur le côté [AB] on a :

Aire(APM) = Aire(AIM) + Aire(IPM)
      = Aire(AIM) + Aire(IBM) (IPM et IBM ont même aire d'après la propriété du trapèze)
      = Aire(ABI)
      = Aire(ABC) (car la médiane [BI] partage ABC en deux triangles d'aires égales).

Exercices : étudier le cas ou l'aire du triangle MPA est le tiers de l'aire du triangle ABC ; le quart ?

Télécharger la figure GéoPlan partage_triangle.g2w

Voir : partage d'un triangle en deux polygones en terminale S.

6. Pliage d'un triangle selon une droite des milieux

Classe de 4^ème

Plier un triangle ABC suivant la droite des milieux (B’C’).

Pour cela, ayant découpé le triangle ABC dans une feuille de papier, rabattre le point A en H, pied de la hauteur issue de A.

Il est possible de trouver la hauteur par pliage en faisant glisser le point C sur le segment [BC], en superposant les deux bords et en marquant le pli lorsque celui-ci passe par A.

Rabattre ensuite les points B ou C en H. On obtient un rectangle.

Dans ce rectangle on retrouve la somme des angles du triangle égale à l'angle plat IHJ, soit 180°.

L'aire du triangle est le double de l'aire de ce rectangle d'où la formule :
 Aire(ABC) = 2 B’C’ × B’I = 2 × BC × AH = base × hauteur.

Télécharger la figure GéoPlan pliage_triangle.g2w
Autre calcul de la somme des angles, voir : triangle au collège

7. Transformer un quadrilatère en triangle de même aire

Olympiades 2008 - Amiens

1) Question préliminaire :
Soit deux triangles MNP et MNP’ tels que (PP’) soit parallèle à (MN). Démontrer que ces deux triangles ont la même aire.

2) Chaque côté d'un triangle T est partagé en 4 segments de longueur égale. On construit des polygones D₁, D₂, D₃ et D₄ comme indiqué sur la figure.
Voici quatre « photos » de ce triangle (en pointillés) et des polygones D₁, D₂, D₃ et D₄.

Polygone D₁

Télécharger la figure GeoGebra Polygone_D1.ggb

Polygone D₂

Télécharger la figure GeoGebra Polygone_D2.ggb

Polygone D₃

Télécharger la figure GeoGebra Polygone_D3.ggb

Polygone D₄

Télécharger la figure GeoGebra Polygone_D4.ggb

Aire(D₁)

Aire(T)

2) L'énoncé imposait une démonstration un peu délicate basée sur le choix non judicieux de transformer le triangle MQN en MQC.
Nous ferons la démonstration avec la transformation du triangle MQN en MQB.
Par la propriété du trapèze, ces deux triangles ont même aire.
Le polygone D₁ a même aire que le triangle S₂.

Au niveau de la classe de première, la démonstration est alors terminée.
En effet d'après la propriété des proportions on a : 

Au collège, en s'inspirant de l'énoncé on terminera par la transformation du triangle BLQ en BLP. Par la propriété du trapèze ces deux triangles ont même aire et comme (LP) est parallèle à (AB) on a :

Les triangles BLP et BQL ont même aire que D₁ et on a :

Quadrilatère D₁

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Triangle S₂

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Triangle S₃

Télécharger la figure GeoGebra Polygone_S3.ggb

Quadrilatère D₁

Télécharger la figure GeoGebra Polygone_G1.ggb

Triangle G₂

Télécharger la figure GeoGebra Polygone_G2.ggb

Triangle G₃

Télécharger la figure GeoGebra Polygone_G3.ggb

Triangle inscrit
dans un carré

Triangle
au collège

GéoPlan 5^e
Calculs d'aires

GéoPlan
Le triangle équilatéral

GéoPlan 3^ème
Constructions par pliages

Construction du pentagone
régulier

Sommaire

1. Triangle rectangle
2. Aire du triangle
3. Aire et médiane
4. La propriété des proportions, théorème du chevron
5. Partage en deux d'un triangle - Olympiades 2004
6. Pliage d'un triangle selon une droite des milieux
7. Transformer un quadrilatère en triangle - Olympiades 2008

Faire de la géométrie dynamique

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