Des images aux formules : calcul de l'aire d'un triangle par diverses méthodes de découpage.
Sommaire1. Triangle rectangle
Page no 130, réalisée le 6/12/2008, modifiée le 12/2/2011 |
Aire d'un triangle inscrit dans un carré Démonstrations avec la méthode des aires : Triangles en seconde : Classe de première : | ||||
Collège |
Problèmes de construction |
Exercices de géométrie |
Faire de la géométrie dynamique |
Doublement de l'aire du triangle Le rectangle ACBD a une aire double de celle du triangle rectangle ACB. 2 Aire(ACB) = Aire(ACBD) = CB × CA =ab
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Faire pivoter, autour de O, milieu de [AB], le triangle découpé à droite de la droite des milieux ( OB’) Le rectangle CBDB’ a même aire que celle du triangle ABC.
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Faire pivoter, autour de O, le triangle découpé au-dessus de la droite des milieux ( OA’) Le rectangle CA’DA a même aire que celle du triangle ABC.
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D'où CA × CB = AB × CH : dans un triangle rectangle, le produit des cathètes est égal au produit de l'hypoténuse et de la hauteur issue de l'angle droit. Voir : relations métriques dans le triangle rectangle au lycée
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Classe de cinquième
Doublement de l'aire du triangle Le rectangle ACED a une aire double de celle du triangle ABC. 2 Aire(ABC) = Aire(ACED) = AC × BH =bh
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Faire pivoter de deux triangles découpés au-dessus de la droite des milieux ( A’C’) Le rectangle ACED a même aire que celle du triangle ABC.
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Découpe de deux autres triangles qui pivotent autour des milieux A’ et C’ Le rectangle FGED a même aire que celle du triangle ABC.
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Aire(ABC) = Comme h = AB sin A = c sin A, on a aussi Aire(ABC) = Au lycée, voir la formule de Héron d'Alexandrie dans l'article : relations métriques du triangle. Technique GéoPlan Avec GéoPlan il est possible de nommer la base b et h la hauteur avec le menu : b = AC (unité de longueur Uoxy) h = BH (unité de longueur Uoxy) Puis fair le calcul avec l'option « Créer>Numérique>Calcul algébrique » avec l'expression du calcul : bh/2 ; ayant pour nom du calcul : s s = bh/2 Les experts pouront taper rapidement dans le texte de la figure : b = AC h = BH s = bh/2 L'aire s peut alors être utilisée dans les calculs suivants ou affichée par l'option « Créer>Affichage>Variable numérique déjà définie » Af0 affichage du scalaire s (2 décimales) GéoPlan permet de s'affranchir de ces calculs et trouver directement l'aire avec le menu : s aire du triangle ABC (unité de longueur Uoxy) On peut se contenter d'un simple affichage : « Créer>Affichage>Aire d'un triangle » Af1 affichage de l'aire du triangle ABC (unité de longueur Uoxy) (2 décimales)
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On procède par différence : Aire(ABC) = Aire(HBC) - Aire(HAB) On retouve la même formule : Aire(ABC) =
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Doublement de l'aire du triangle Le rectangle HCEB a une aire double de celle du triangle HBC. On procède par différence : Le rectangle ACED a une aire double de celle du triangle ABC.
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Doublement de l'aire du triangle Le parallélogramme ACDB a une aire double de celle du triangle ABC. Le parallélogramme a pour base b et pour hauteur h. 2 Aire(ABC) = Aire(ACDB) = AC × BH =bh
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Faire pivoter, autour de A’, le triangle découpé au-dessus de la droite des milieux (A’C’) Le parallélogramme ACDC’ a même aire que celle du triangle ABC.
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Faire pivoter, autour de A’, le triangle A’B’C Le parallélogramme AB’DB a même aire que celle du triangle ABC. Le parallélogramme a pour base Aire(ABC) = Aire(AB’DB) = AB’ × BH =
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Figures clésLe recours à des figures-clés repose sur la reconnaissance d'un modèle déjà rencontré. Cela suppose donc l'existence d'une base de référence constituée de configurations et de théorèmes
associés. C'est le cas de la plupart des théorèmes mis en place au collège (propriétés caractéristiques des quadrilatères, propriétés des angles obtenus en coupant deux parallèles
par une sécante, configurations de Thalès, de Pythagore, concours de droites remarquables dans un triangle…). Il en est d'autres qui ne sont pas l'objet de compétences décrites dans le La constitution d'une base de figures-clés rend par ailleurs incontournable un travail sur les « mots » et ce qu'ils peuvent évoquer, car, avoir assimilé une propriété, c'est être capable d'associer une figure-clé et un énoncé. L'inconvénient majeur réside dans le fait que, si l'élève ne reconnaît pas la figure-clé (si la
mise en évidence de la figure-clé nécessite par exemple un enrichissement ou un appauvrissement de la figure), il ne peut poursuivre sa démarche de raisonnement. Il lui faut Ressources pour les classes de 6e, 5e, 4e, et 3e - Géométrie au collège |
Calcul de l'aireDeux triangles qui ont une même base et des sommets sur une parallèle à la base sont d'aires égales. En effet, les triangles ont même base [AB] et même hauteur de longueur AH, leurs aires sont égales à
Théorème du papillon(CD)//(AB) : les aires des deux triangles hachurés ADI et BCI sont égales.
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Démonstration par découpageTransformation du triangle ABC en ABD par l'intermédiaire d'un parallélogramme Cas où la parallèle à (BD) passant par C coupe (AB) entre A et B (CD < AB). Soit I, J, K et L les milieux des côtés [AC], [BC], [AD] et [AD]. La parallèle à (BD) passant par C coupe [IJ] en M. K est le milieu de [PL], car dans le parallélogramme PL = AB En conclusion, les triangles ABC et ABD ont même aire, celle du parallélogramme ABLP.
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Les points I, J, I’, J’ sont les milieux des côtés d'un rectangle ABCD. Quelle fraction de l'aire du rectangle représente l'aire du triangle IJK ?
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(I’J’) est parallèle à (JI). En déplaçant K en I’ on obtient le triangle IJI’ d'aire égale. Ce triangle a une aire égale à la moitié du rectangle AII’D. Soit le quart de l'aire du rectangle ABCD. Les accrocs de la méthode du trapèze pourraient encore déplacer le sommet J en A et obtiendraient le triangle AII’ d'aire
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Une médiane partage un triangle en deux triangles d'aires égales. Si (AA’) est une médiane du triangle ABC, les triangles ABA’ et ACA’ ont des bases de même longueur et la même hauteur. Leurs aires sont égales.
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Aire(ABA’) |
BA’ |
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= |
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Aire(ABC) |
BC |
Barycentre : A’ est le barycentre des points pondérés (B, A’C) et (C, A’B).
A’ est aussi le barycentre des points pondérés (B, Aire(AA’C)) et (C, Aire(AA’B)).
Télécharger la figure GéoPlan prop_proportion.g2w
En appliquant deux fois la propriété des proportions, pour le triangle ABA’ inscrit dans ABC, puis pour AB’A’ inscrit dans ABA’ on trouve : Le rapport des aires des triangles AB’A’ et ABC est alors :
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En appliquant deux fois la propriété des proportions, par exemple pour le triangle AB’C inscrit dans ABC, puis pour AB’C’ inscrit dans AB’C on trouve : Le rapport des aires des triangles AB’C’ et ABC est :
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Chaque côté d'un triangle ABC est partagé en segments de longueur égale.
Quelle fraction de l'aire du triangle ABC représente l'aire du triangle IJK ?
Indications
Calculer les aires des trois triangles complémentaires de IJK dans ABC.
Avec GéoPlan Aire(AJK) = Par soustraction de ces trois aires de l'aire du triangle ABC on en déduit que :
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Avec GeoGebra : les points sont mieux marqués… Aire(AJK) = Aire(BIK) = Aire(CIJ) = Par soustraction de ces trois aires de l'aire du triangle ABC on en déduit que :
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Généraliser ces exercices à n'importe quels découpages des côtés du triangle ABC.
Ce résultat se démontre par un calcul de proportions en appliquant deux fois la propriété des proportions ! Il reste valable si M est à l'extérieur du triangle ABC.
Chevron et médianeSi M est un point à l'intérieur d'un triangle ABC, les triangles ABM et ACM ont même aire si et seulement si M est sur la médiane issue de A.
BarycentreSoit M un point à l'intérieur d'un triangle ABC, tel que la cévienne (AM) coupe le côté (BC) en A’, la propriété des proportions permet de vérifier que A’ est le barycentre des points pondérés (B, Aire(A’AC)) et (C, Aire(A’AB)) ; Par différence : Aire(MAB) = Aire(A’AB) - Aire(A’MB). Même calcul pour Aire(MAC). On en déduit que : A’ est le barycentre des points pondérés (B, Aire(MAC)) et (C, Aire(MAB)). Prolongement : M est le barycentre des points pondérés (A, Aire(MBC)) ; (B, Aire(MAC)) et (C, Aire(MAB)). Preuve par associativité : la droite (AM) coupe le côté (BC) en A’ qui est, selon la propriété précédente, le barycentre partiel des deux points (B, Aire(MAC)) et (C, Aire(MAB)), M, point d'intersection des droites (AA’) et (BB’), est bien le barycentre de (A, Aire(MBC)) ; (B, Aire(MAC)) et (C, Aire(MAB)). Ce résultat se généralise au cas où le point M serait à l'extérieur du triangle ABC, en comptant négativement les aires entièrement extérieures au triangle ABC.
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Polygone D1
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Polygone D2
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Polygone D3
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Polygone D4
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a) Montrer de proche en proche que D1, D2, D3 puis D4 ont des aires égales.
b) En déduire le rapport :
Aire(D1) |
Aire(T) |
1) On demande la démonstration de la propriété du trapèze : le parallélisme de (MN) et (PP’) implique que les deux triangles MNP et MNP’ ont même base. Comme ils ont même base, ils ont même aire.
2) L'énoncé imposait une démonstration un peu délicate basée sur le choix non judicieux de transformer le triangle MQN en MQC. Au niveau de la classe de première, la démonstration est alors terminée.
Au collège, en s'inspirant de l'énoncé on terminera par la transformation du triangle BLQ en BLP. Par la propriété du trapèze ces deux triangles ont même aire et comme (LP) est parallèle à (AB) on a :
Les triangles BLP et BQL ont même aire que D1 et on a :
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Quadrilatère D1
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Triangle S2
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Triangle S3
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En CM2 et au début du collège il est possible de réaliser cet exercice avec un triangle T isocèle rectangle dans un géoplan 5 × 5.
Les figures peuvent alors être facilement réalisées avec des élastiques autour des clous du Géoplan.
Les calculs d'aie peuvent se faire avec les carrés unitaires et les demi-carrés : Aire(T) = 8 et Aire(D1) = 4,5 et on a bien
Aire(D1) = Aire(T) × 9/16.
Quadrilatère D1
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Triangle G2
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Triangle G3
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Lors du téléchargement les fichiers GeoGebra sont enregistrés sous les noms « ploygone_XX.zip », les renommer avec l'extension « .ggb ».
Triangle |
GéoPlan 5e |
GéoPlan |
GéoPlan 3ème |
Construction du pentagone | |
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