Aires du parallélogramme et du trapèze

Sommaire

1. Aire du parallélogramme
2. Aire du trapèze
3. Chevron et parallélogramme
4. Deux parallélogrammes d'aires égales
5. Partage d'un parallélogramme en deux polygones croisés
6. Théorème du papillon

Multiplication de l'aire d'un parallélogramme

Page n^o 131, réalisée le 3/12/2008, modifiée le 4/11/2009

Calculs d'aires

Démonstrations avec la méthode des aires :
      théorème de Thalès
      théorème de Pythagore

Aire d'un quadrilatère non convexe : prenons de la hauteur

Calcul d'aire minimum : minimum-maximum
Analyse en option 1L-TL

Aires dans un rectangle : aires en seconde

Problèmes de partage

Quadrilatère dans un rectangle : napperon

collège
Calcul d'aires

Aires et
triangles

Triangle inscrit
dans un carré
Aire maximale

Rectangle

Carré

Faire de la géométrie
dynamique

1.a. Aire du parallélogramme

Classe de cinquième

L'aire d'un parallélogramme a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Soit ABCD un parallélogramme, E et F les projections orthogonales de C et D sur (AB).

Le rectangle FECD a même aire que le parallélogramme, car les triangles rectangles ADF et BCE sont isométriques.

Aire(ABCD) = AB × DF = a × h = base × hauteur
où a = AB = CD et h = DF = CE.

Chaque diagonale partage le parallélogramme en deux triangles de même aire.
En effet, les deux triangles sont symétriques par rapport au milieu de la diagonale.

Technique GéoPlan : cette propriété est utilisée pour calculer l'aire d'un parallélogramme en doublant l'aire d'un des triangles formés par une diagonale et les deux côtés consécutifs correspondants.

Calculer s1 avec le menu :« Créer>Numérique>Calcul géométrique>Aire d'un triangle »

s1 aire du triangle ABC (unité de longueur Uoxy)
s = 2s1

Calcul traditionnel avec GéoPlan

Il est aussi possible de faire faire le calcul en nommant la base b et h la hauteur dans le menu :
« Créer>Numérique>Calcul géométrique>Longueur d'un segment »

b = AB (unité de longueur Uoxy)
h = DF (unité de longueur Uoxy)

Puis faire le calcul avec l'option « Créer>Numérique>Calcul algébrique » avec l'expression du calcul : bh ; ayant pour nom du calcul : s

s = bh

Télécharger la figure GéoPlan air_para.g2w

Si ABCD et ABEF sont deux parallélogrammes tels que E (et F) sont des points de la droite (CD), alors ils ont même aire.
En effet ils ont même base et même hauteur.

Télécharger la figure GéoPlan thm_tringle.g2w

Méthode des aires : démonstration utilisant les propriétés d'Euclide : « les triangles ou les parallélogrammes qui ont la même hauteur sont l'un relativement à l'autre comme leurs bases ».

2. Aire du trapèze

Classe de 5^ème

De l'objet réel à sa modélisation

Géométriser un problème, c'est transposer le problème, qui peut être concret ou non, le plus souvent spatial au niveau du collège, dans le cadre de la géométrie afin de le simplifier et de le résoudre. C'est le cas, par exemple, lors du calcul de l'aire d'un champ. Le champ réel a une certaine forme. Le processus de modélisation géométrique comporte deux étapes :
  – assimilation du champ à une surface plane limitée par des portions de lignes droites ;
  – assimilation de cette surface à un polygone élémentaire (trapèze dans l'exemple qui suit) ou un agencement de plusieurs polygones simples.

Le recours à un schéma pour « simplifier » et s'approprier la situation étudiée illustre ce passage de la réalité au domaine de la géométrie. La figure géométrique intervient ainsi comme une maquette de la réalité. Ces transferts sont déjà travaillés à l'école primaire. Cette habitude du recours à une visualisation simplificatrice peut paraître naturelle à certains élèves à l'entrée au collège, mais reste à construire pour beaucoup d'autres. Il est donc indispensable de travailler cette compétence.
Une fois le transfert effectué dans le cadre géométrique, la résolution du problème repose sur des propriétés attachées aux objets, qui sont utilisées alors comme des modèles.
Le modèle référent possède un statut mathématique organisé en propriétés. Le schéma « simplifie » donc, mais ajoute aussi des éléments de connaissance.
Ainsi, dans l'exemple du champ trapézoïdal, on passe du champ à un trapèze, puis, enfin au « Trapèze » dont on peut calculer l'aire, par décomposition en triangles et rectangle, à l'aide de hauteurs issues de deux sommets qui ne correspondent à rien dans la réalité.

Ressources pour les classes de 6^e, 5^e, 4^e, et 3^e - Géométrie au collège
Projet de document d'accompagnement mathématique - Juillet 2007

Définition

Trapèze : quadrilatère convexe ayant deux côtés opposés parallèles ; les deux côtés parallèles sont les bases : la grande base et la petite base.

Voir : quadrilatères

Dans ce paragraphe ABCD désigne un trapèze de grande base [AB] et de petite base [CD] parallèle à (AB).

a. Décomposition en deux triangles et un rectangle

Cas où [HK], projection de la petite base [DC], est inclus dans [AB].

On peut calculer l'aire, par décomposition en un rectangle et deux triangles rectangles, à l'aide des hauteurs issues des deux sommets de la petite base.

Comme pour tout quadrilatère convexe, l'aire se calcule avec GéoPlan en le partageant, par une diagonale, en deux triangles.

Télécharger la figure GéoPlan aire_trapeze_1.g2w

Calcul

La surface d'un trapèze a pour mesure le produit de la moyenne des bases par sa hauteur :

b = AB, b’ = CD, h = DH : Aire(ABCD) = × h.

Télécharger la figure GéoPlan trapeze_hauteur.g2w

b. Transformer le trapèze en rectangle

Soit I et J les milieux des côtés [BC] et [AD]. D'après la propriété de Thalès, IJ est égal à la moyenne des bases.
E et F les projections orthogonales de J et I sur (AB) ainsi que G et H les projections orthogonales de I et J sur (CD).

Le rectangle EFGH a même aire que le trapèze ABCD, car les triangles rectangles
IGC et IFB sont isométriques, de même que les triangles JHD et JEA.

Télécharger la figure GéoPlan aire_trapeze.g2w
Voir avec Geolabo : figure interactive

c. Doubler le trapèze pour obtenir un parallélogramme

Soit ABCD un trapèze de grande base [AB], et de petite base [CD] parallèle à (AB).
I le milieu du côté [BC].

La symétrie de centre I transforme A en A’ et D en D’.

Les points A, B et C’ sont alignés comme les points D, C et A’.
(BD’) est parallèle à (A’C). BD’A’C est un trapèze de même aire que ABCD et on a :
b = AB = A’C, b’ = CD = A’C, h = CH.

(AD) est parallèle à (A’D’). AD’A’D est un parallélogramme de base AD’ = b + b’.
Aire(AD’A’D) = AD’ × CH = (b + b’) × h.

Or Aire(AD’A’D) = Aire(ABCD) + Aire(BD’A’C) = 2 Aire(ABCD), soit 2 Aire(ABCD) = (b + b’) × h.

On retrouve Aire(ABCD) = × h.

Télécharger la figure GéoPlan aire_trapeze_2.g2w

d. Transformer le trapèze en un autre rectangle

Le trapèze a même aire que celle du rectangle AFEG.
Aire(ABCD) = Aire(AFEG) = AF × KF = (b + b’) × h.

Télécharger la figure GéoPlan aire_trapeze_3.g2w

e. Transformer le trapèze en parallélogramme

Le trapèze a même aire que celle du parallélogramme AFEJ.
Aire(ABCD) = Aire(AFEG) = AF × h = (b + b’) × h.

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f. Transformer le trapèze en triangle

Le trapèze a même aire que celle du triangle ADF.

Aire(ABCD) = Aire(ADF) = AF × h = (b + b’) × h.

Télécharger la figure GéoPlan aire_trapeze_5.g2w

Voir : trapèze complet et théorème du trapèze (classe de première)

3. Chevron et parallélogramme

Si M est un point de diagonale [BD] d'un parallélogramme
ABCD, les triangles ABM et BCM ont même aire.

En effet, M est un point de la médiane (BO) du triangle ABC.

Télécharger la figure GéoPlan chevron_parallelogramme.g2w

Application : démontrer que les médianes d'un triangle sont concourantes.

4. Deux parallélogrammes d'aires égales

M est un point variable sur la diagonale [AC] d'un parallélogramme ABCD.

Démontrer que les aires des deux parallélogrammes hachurés sont égales.

Vérification assez facile avec GéoPlan : le logiciel ne sait pas calculer l'aire d'un parallélogramme, mais il sait trouver la moitié de cette aire : l'aire d'un triangle formé par deux côtés et une diagonale.

Classe de cinquième

Montrer qu'une diagonale d'un parallélogramme le partage en deux triangles d'aires égales.

Démontrer que les aires hachurées sont égales en utilisant cette propriété dans les parallélogrammes ABCD, AIML et MKCJ.

Classe de troisième - assez difficile

Indication : (AB) étant parallèle à (CD), la propriété de Thalès dans les triangles rectangles AMG et CMH permet d'écrire : = .

(AD) étant parallèle à (BC), avec la propriété de Thalès dans les triangles ALM et CKM on a : = .

Par transitivité = .

Le produit des « extrêmes » est égal au produit des « moyens » :
KM × MG = LM × MH.
Aire(IBKM) = Aire(LMJD).

Cas particulier de rectangles en classe de quatrième, voir : les Éléments d'Euclide

Télécharger la figure GéoPlan hom_par3.g2w

Deux triangles dans un parallélogramme

M est un point libre sur la diagonale [AC] du parallélogramme ABCD.
Les aires des deux triangles hachurés sont égales.

Télécharger la figure GéoPlan hom_par6.g2w

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

5. Partage d'un parallélogramme en deux polygones croisés

Classe de cinquième

Un fermier possède un très grand champ en forme de parallélogramme ABCD à l'intérieur duquel se trouve un puits en un certain point M.
Se sentant mourir, il donne à son fils Pierre les deux champs triangulaires MAB et MCD et tout le reste à son autre fils Jean.
Un des frères est-il défavorisé ?

Il est possible de simplifier cet exercice en considérant un champ rectangulaire.

Défi « Héritage » - Jeune Archimède n^o 3 - 1990

Formulation plus classique :

M est un point à l'intérieur d'un parallélogramme ABCD.
Démontrer que la somme des aires des deux triangles hachurés est égale à celle des deux triangles non hachurés.

Indication : tracer les points H et K projections orthogonales de M sur (AB) et (CD). (HK) est perpendiculaire à (AB) et à (CD).

(HM) est une hauteur de ABM et Aire(ABM) = AB × HM.
(MK) est une hauteur de CDM et Aire(CDM) = CD × MK.

Dans le parallélogramme ABCD, les côtés [AB] et [CD] sont de même longueur.
D'où Aire(ABM) + Aire(CDM) = AB × HM + AB × MK = AB × (HM + MK).
Aire(ABM) + Aire(CDM) = AB × HK = Aire(ABCD).

La somme des aires des deux triangles hachurés est égale à la moitié de l'aire du parallélogramme. Celle des deux triangles non hachurés est égale à l'autre moitié. Le partage est équitable.

Télécharger la figure GéoPlan para_aire.g2w

6. Théorème du papillon

ABCD est un trapèze. Les diagonales se coupent en I.

Classe de 5^ème

a. Les aires des deux triangles hachurés ADI et BCI sont égales.

Théorème du papillon : si la droite (AB) est parallèle à la droite (DC) alors Aire(ADI) = Aire(BCI).

Indication : tracer les points H et K projections orthogonales de I sur (AB) et (CD). (HK) est perpendiculaire à (AB) et à (CD).
Les triangles ABC et ABD ont même aire, égale à la moitié de la base AB, multipliée par la hauteur de longueur HK. En enlevant à ces deux triangles la surface du triangle CDI, on a bien Aire(ADI) = Aire(BCI).

Classe de 3^ème

b. Montrer que le rapport est égal au carré du rapport (Thalès…).
Indication : (AB) étant parallèle à (CD), la propriété de Thalès dans les triangles ABI et CDI permet d'écrire :
= = k.
De même, la propriété de Thalès dans les triangles rectangles AHI et CKI permet d'écrire :
= = k.
Aire(ABI) = AB × HI et Aire(CDI) = CD × KI d'où :
= × = = k² car = = k.

En classe de seconde, on dira que les triangles ABI et CDI, ayant leurs trois angles respectivement égaux, sont semblables avec un coefficient d'agrandissement k. Cette démonstration montre que le rapport de leurs aires est k².

Télécharger la figure GéoPlan trap_aire.g2w

Parallélogramme

Aires et
triangles

GéoPlan 5^e
Calculs d'aires

Rectangle

Construction à la règle et au compas

Rectangle inscrit dans un rectangle

Sommaire

1. Aire du parallélogramme
2. Aire du trapèze
3. Chevron et parallélogramme
4. Deux parallélogrammes d'aires égales
5. Partage d'un parallélogramme en deux polygones croisés
6. Théorème du papillon

Faire de la géométrie dynamique

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