D'une forme à une autre par découpage ; aire du pentagone - Figures réalisées avec GéoPlan.
Classe de cinquième
Sommaire1. Aire du parallélogramme Extraits des programmes de géométrie de 6e et 5e Aires du parallélogramme et du trapèze Page no 68, réalisée le 30/5/2004, modifiée le 20/11/2009 |
Démonstrations avec la méthode des aires : Aire d'un quadrilatère non convexe : prenons de la hauteur Calcul d'aire minimum : minimum-maximum Problèmes de partage Aires dans un rectangle : aire en seconde | ||||
Index |
Faire de la géométrie | Problèmes de construction | Triangle inscrit |
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Les méthodes de découpages et recollement de figures pour des calculs d'aires peuvent être considérées comme des démonstrations mathématiques : le découpage et le recollement correspondent à l'application d'un déplacement ou d'un antidéplacement et ces deux types d'applications du plan dans le plan conservent les aires. |
L'aire d'un parallélogramme a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur. Soit ABCD un parallélogramme, E et F les projections orthogonales de C et D sur (AB). Le rectangle FECD a même aire que le parallélogramme, car les triangles rectangles ADF et BCE sont isométriques. Aire(ABCD) = AB × DF = a × h où a = AB = CD et h = DF = CE.
Voir : aire du parallélogramme 2. Aire du trapèzeClasse de 5ème
b = AB, b’ = CD, h = HE : Aire(ABCD) = Soit ABCD un trapèze de grande base [AB], et de petite base [CD] parallèle à (AB). Le rectangle EFGH a même aire que le trapèze ABCD, car les triangles rectangles
Voir : aire du trapèze 3. Aire du triangle
L'aire d'un triangle a pour mesure le demi-produit d'un côté par la hauteur perpendiculaire à ce côté. Le rectangle BCED a une aire double de celle du triangle ABC Au lycée, voir la formule de Héron d'Alexandrie dans l'article relations métriques du triangle
Voir : aires et triangles 4.a. Transformation d'un polygone convexe en triangle
Exemple : transformation d'un quadrilatère ABCD en triangle AB’D avec la propriété du trapèze Il est toujours possible de transformer un polygone convexe de n côtés (n > 3) en un polygone de
b. Aire d'un pentagone convexe (papillons)Transformation du pentagone convexe ABCDE en triangle APQ en utilisant deux fois le théorème du papillon.
L'aire du pentagone est égale à l'aire du triangle APQ. Indications : l'aire du pentagone est égale à la somme des aires des trois triangles ABC, ACD et ADE. Solution : les triangles ABC et APC ont même base AC et la même hauteur, de longueur égale à la distance entre les droites (AC) et (PC) ; ils ont donc même aire. Remarque : Il a été enlevé du pentagone les triangles ABI et AEJ, que l'on a remplacés par les triangles CPI et DQJ d'aires équivalentes (théorème du papillon). Technique GéoPlan : dans le logiciel il n'existe pas fonction permettant de calculer l'aire a d'un pentagone.
5. Aire du pentagone régulier
Dans le cas du pentagone régulier ABCDE, il existe un découpage en quatre pièces. En déplaçant le triangle ABE en EDF, on obtient un trapèze BCDF d'aire équivalente à celle du pentagone. Par symétrie par rapport au milieu I de [DF] on remplace le triangle CDI par GFI. L'aire du pentagone est égale à l'aire du triangle BCG.
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Transformation du pentagone régulier en parallélogrammeM est le milieu de la diagonale [BD]. Le triangle BMN est isocèle (triangle d'or d'angles 36° et 72°). À partir de ce puzzle de trois pièces, il est possible de reconstituer un parallélogramme.
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Transformation du pentagone régulier en carréReprenons la figure ci-contre pour transformer le parallélogramme DEFK en carré. En choisissant un point I sur le demi-cercle de diamètre [FE], nous pouvons découper le triangle FEI et le translater en FJL, avec un sommet en J, intersection de (EI) avec (CD). [FI] et [IL] sont les côtés d'un rectangle de même aire que celle du pentagone. Côté du carré de même airePour tracer un carré, nous utiliserons la méthode de la moyenne proportionnelle : l'aire du parallélogramme DEFK est égale au produit de base FE par la hauteur FH. Pour cette hauteur, rabattre le point H en Q sur (FE). La droite (FH) coupe le cercle de diamètre (QE) en U. Dans le triangle rectangle QEU, le carré de la hauteur FU issue de l'angle droit U est égal au produit des segments QF et FE découpés sur l'hypoténuse (Construction d'Euclide reprise par Descartes). Le cercle de centre F passant par U coupe le cercle de diamètre [FE] en I. Le quadrilatère BEIR est translaté en BJLV. Le triangle EJD est translaté en FPK. Les six pièces du pentagone permettent de reconstituer un carré. Remarques : FH est aussi la distance de F à la droite (MN).
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Dans la figure ci-contre, on ne connaît pas les rayons r = OM et R = OA des cercles (c1) et (c2) de centre O. On sait seulement que la corde [AB] mesure a = 3 cm et qu'elle est tangente au cercle intérieur (c1). On demande cependant de trouver l'aire s de la couronne circulaire comprise entre (c1) et (c2). Indications : la tangente (AB) au cercle (c1) en M est perpendiculaire au rayon [OM]. Cas particulier : Si AB est égal au diamètre du cercle (c1), r = Voir : Haha ou l'éclair de la compréhension mathématique - Martin Gardner - Pour la science - Belin - 1979
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Activité B2i |
Domaine B2i |
Item collège validable |
Aire en 5ème ou en 4èmeAire du parallélogramme |
1 – S'approprier un environnement informatique de travail. |
1.1 – Je sais m'identifier sur un réseau ou un site et mettre fin à cette identification. 1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail. |
2 – Adopter une attitude responsable pour les élèves venant en aide. |
2.7 – Je mets mes compétences informatiques au service d'une production collective. |
Connaissances |
Capacités |
Commentaires |
4.3 Aires : mesure, comparaison et calcul d'aires |
– Comparer géométriquement des aires. |
Poursuivre le travail effectué à l'école élémentaire, en confrontant les élèves à des problèmes. La comparaison d'aires sans avoir recours à des formules est particulièrement importante pour affermir le sens de cette notion. Certaines activités proposées conduisent les élèves à comprendre notamment que périmètre et aire ne varient pas toujours dans le même sens. Une démarche expérimentale permet de vérifier la formule de l'aire du disque. |
Connaissances |
Capacités |
Commentaires |
4.3 Aires parallélogramme, triangle, disque. |
– Calculer l'aire d'un parallélogramme. – Calculer l'aire d'un triangle connaissant un côté et la hauteur associée.
– Calculer l'aire d'un disque de rayon donné. – Calculer l'aire d'une surface plane ou celle d'un solide, par décomposition en surfaces dont les aires sont facilement calculables. |
La formule de l'aire du parallélogramme est déduite de celle de l'aire du rectangle. La formule de l'aire du triangle est déduite de celles de l'aire du parallélogramme, du triangle rectangle ou du rectangle. Dans le cadre du socle, les élèves peuvent calculer ainsi l'aire d'un parallélogramme. |
Triangle |
GéoPlan 5e |
GéoPlan |
GéoSpace 6e |
GéoPlan 3e | |
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