Calculs d'aires par découpage

D'une forme à une autre par découpage ; aire du pentagone - Figures réalisées avec GéoPlan.

Classe de cinquième

Sommaire

1. Aire du parallélogramme
2. Aire du trapèze
3. Aire du triangle
4. Aire d'un pentagone convexe
5. Aire d'un pentagone régulier
6. Couronne

Extraits des programmes de géométrie de 6^e et 5^e

Lunules

Aires et triangles

Aires du parallélogramme et du trapèze

Page n^o 68, réalisée le 30/5/2004, modifiée le 20/11/2009

Calculs d'aires en cinquième

Démonstrations avec la méthode des aires :
théorème de Thalès
théorème de Pythagore

Aire d'un quadrilatère non convexe : prenons de la hauteur
Calcul de π dans le papyrus de Rhind : fractions égyptiennes

Calcul d'aire minimum : minimum-maximum
Analyse en option 1L-TL

Problèmes de partage
Multiplication de l'aire d'un triangle : triangles en seconde

Aires dans un rectangle : aire en seconde

Aire formée par deux segments circulaires

Aire de quadrilatère orthodiagonal et de cerf-volant

Index
Aires

Faire de la géométrie
dynamique

Problèmes de construction
au collège

Triangle inscrit
dans un carré
Aire maximale

Index
collège

Les méthodes de découpages et recollement de figures pour des calculs d'aires peuvent être considérées comme des démonstrations mathématiques : le découpage et le recollement correspondent à l'application d'un déplacement ou d'un antidéplacement et ces deux types d'applications du plan dans le plan conservent les aires.
Avec les élèves, on peut considérer que l'on a démontré si l'on vérifie qu'il y a bien « recollement ».

1. Aire du parallélogramme

Aire du parallélogramme Classe de cinquième

L'aire d'un parallélogramme a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Soit ABCD un parallélogramme, E et F les projections orthogonales de C et D sur (AB).

Le rectangle FECD a même aire que le parallélogramme, car les triangles rectangles ADF et BCE sont isométriques.

Aire(ABCD) = AB × DF = a × h où a = AB = CD et h = DF = CE.

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Voir : aire du parallélogramme

2. Aire du trapèze

Classe de 5^ème

Aire du trapèze La surface d'un trapèze a pour mesure le produit de la moyenne des bases par sa hauteur :

b = AB, b’ = CD, h = HE : Aire(ABCD) = × h.

Soit ABCD un trapèze de grande base [AB], et de petite base [CD] parallèle à (AB).
I et J les milieux des côtés [BC] et [AD]. D'après la propriété de Thalès, IJ est égal à la moyenne des bases.
E et F les projections orthogonales de J et I sur (AB) ainsi que G et H les projections orthogonales de I et J sur (CD).

Le rectangle EFGH a même aire que le trapèze ABCD, car les triangles rectangles
IGC et IFB sont isométriques, de même que les triangles JHD et JEA.

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Voir : aire du trapèze

3. Aire du triangle

Aire du triangle Classe de 5^e

L'aire d'un triangle a pour mesure le demi-produit d'un côté par la hauteur perpendiculaire à ce côté.

Le rectangle BCED a une aire double de celle du triangle ABC
Aire(ABC) = Aire(BCED) = BC × AH = base × hauteur.

Au lycée, voir la formule de Héron d'Alexandrie dans l'article relations métriques du triangle

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Voir : aires et triangles

4.a. Transformation d'un polygone convexe en triangle

Transformation d'un quadrilatère Classe de troisième

Exemple : transformation d'un quadrilatère ABCD en triangle AB’D avec la propriété du trapèze

Il est toujours possible de transformer un polygone convexe de n côtés (n > 3) en un polygone de
n − 1 côtés en procédant comme suit :
isolant quatre sommets consécutifs ABCD, on sait transformer le triangle ABC en AB’C où B’ est l'intersection du côté (CD) et de la parallèle à (AC) passant par B. Le polygone ayant pour côtés consécutifs AB’D a un côté de moins et l'aire est conservée par la propriété du trapèze.

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b. Aire d'un pentagone convexe (papillons)

Transformation du pentagone convexe ABCDE en triangle APQ en utilisant deux fois le théorème du papillon.

Aire d'un pentagone Soit ABCDE un pentagone (convexe).
Les parallèles aux diagonales AC et AD coupent la droite (CD) en P et Q.

L'aire du pentagone est égale à l'aire du triangle APQ.

Indications : l'aire du pentagone est égale à la somme des aires des trois triangles ABC, ACD et ADE.

Solution : les triangles ABC et APC ont même base AC et la même hauteur, de longueur égale à la distance entre les droites (AC) et (PC) ; ils ont donc même aire.
De même, les triangles ADE et ADQ ont même aire.
L'aire du pentagone est alors égale à la somme des aires des trois triangles APC, ACD et ADQ : c'est l'aire du triangle APQ.

Remarque : Il a été enlevé du pentagone les triangles ABI et AEJ, que l'on a remplacés par les triangles CPI et DQJ d'aires équivalentes (théorème du papillon).

Technique GéoPlan : dans le logiciel il n'existe pas fonction permettant de calculer l'aire a d'un pentagone.
On peut la trouver en calculant a = a1 + a2 + a3, somme des aires des trois triangles ABC, ACD et ADE, ou utiliser l'aire du triangle APQ.

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5. Aire du pentagone régulier

Aire d'un pentagone régulier Classe de troisième

Dans le cas du pentagone régulier ABCDE, il existe un découpage en quatre pièces.

En déplaçant le triangle ABE en EDF, on obtient un trapèze BCDF d'aire équivalente à celle du pentagone.

Par symétrie par rapport au milieu I de [DF] on remplace le triangle CDI par GFI.

L'aire du pentagone est égale à l'aire du triangle BCG.

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Pentagone régulier :
constructions exactes
constructions approchées
avec GeoGebra

Transformation du pentagone régulier en parallélogramme

Pentagone vers parallélogramme

M est le milieu de la diagonale [BD].

Le triangle BMN est isocèle (triangle d'or d'angles 36° et 72°).

À partir de ce puzzle de trois pièces, il est possible de reconstituer un parallélogramme.

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Transformation du pentagone régulier en carré

Reprenons la figure ci-contre pour transformer le parallélogramme DEFK en carré.

En choisissant un point I sur le demi-cercle de diamètre [FE], nous pouvons découper le triangle FEI et le translater en FJL, avec un sommet en J, intersection de (EI) avec (CD). [FI] et [IL] sont les côtés d'un rectangle de même aire que celle du pentagone.

Côté du carré de même aire

Pour tracer un carré, nous utiliserons la méthode de la moyenne proportionnelle : l'aire du parallélogramme DEFK est égale au produit de base FE par la hauteur FH. Pour cette hauteur, rabattre le point H en Q sur (FE). La droite (FH) coupe le cercle de diamètre (QE) en U. Dans le triangle rectangle QEU, le carré de la hauteur FU issue de l'angle droit U est égal au produit des segments QF et FE découpés sur l'hypoténuse (Construction d'Euclide reprise par Descartes).

Le cercle de centre F passant par U coupe le cercle de diamètre [FE] en I. Le quadrilatère BEIR est translaté en BJLV. Le triangle EJD est translaté en FPK.

Les six pièces du pentagone permettent de reconstituer un carré.

Remarques : FH est aussi la distance de F à la droite (MN).
Le point C n'est pas sur la droite (EU), mais utiliser ce point est une erreur imperceptible.

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6. Aire d'une Couronne

Calcul d'aire Classes de 4^e - 3^e

Dans la figure ci-contre, on ne connaît pas les rayons r = OM et R = OA des cercles (c₁) et (c₂) de centre O. On sait seulement que la corde [AB] mesure a = 3 cm et qu'elle est tangente au cercle intérieur (c₁).

On demande cependant de trouver l'aire s de la couronne circulaire comprise entre (c₁) et (c₂).

Indications : la tangente (AB) au cercle (c₁) en M est perpendiculaire au rayon [OM].
Le triangle AMO est rectangle en M d'où la propriété de Pythagore AO² = AM² + MO²,
soit R² = (a)² + r² ou R² - r² = a².
L'aire s de la couronne est la différence entre l'aire πR² du grand cercle et πr² celle du petit cercle. s = πR² - πr² = π(R² - r²) = a², expression de l'aire de la couronne uniquement en fonction de a.

Cas particulier : Si AB est égal au diamètre du cercle (c₁), r = a, alors le triangle AMO est rectangle isocèle et R = r .
L'aire du cercle (c₂) est double de celle de (c₁), l'aire de la couronne πr² est alors égale à l'aire du cercle intérieur.

Voir : Haha ou l'éclair de la compréhension mathématique - Martin Gardner - Pour la science - Belin - 1979
Lieux géométriques du milieu d'un segment

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Activité B2i

Domaine B2i

Item collège validable

Aire en 5^ème ou en 4^ème

Aire du parallélogramme
Aire du trapèze
Aire du triangle
Aire d'un pentagone convexe
Aire d'un pentagone régulier

1 – S'approprier un environnement informatique de travail.

1.1 – Je sais m'identifier sur un réseau ou un site et mettre fin à cette identification.

1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail.

Couronne

2 – Adopter une attitude responsable pour les élèves venant en aide.

2.7 – Je mets mes compétences informatiques au service d'une production collective.

Extrait du programme de géométrie de 6^e (2008)

Connaissances

Capacités

Commentaires

4.3 Aires :

mesure, comparaison et calcul d'aires

– Comparer géométriquement des aires.
– Déterminer l'aire d'une surface à partir d'un pavage simple.
– Différencier périmètre et aire.
– Calculer l'aire d'un rectangle dont les dimensions sont données.
– Connaître et utiliser la formule donnant l'aire d'un rectangle.
– Calculer l'aire d'un triangle rectangle, d'un triangle quelconque dont une hauteur est tracée.
– Connaître et utiliser la formule donnant l'aire d'un disque.
– Effectuer pour les aires des changements d'unités de mesure.

Poursuivre le travail effectué à l'école élémentaire, en confrontant les élèves à des problèmes.

La comparaison d'aires sans avoir recours à des formules est particulièrement importante pour affermir le sens de cette notion.

Certaines activités proposées conduisent les élèves à comprendre notamment que périmètre et aire ne varient pas toujours dans le même sens.

Une démarche expérimentale permet de vérifier la formule de l'aire du disque.

Extrait du programme de géométrie de 5^e (2008)

Connaissances

Capacités

Commentaires

4.3 Aires

parallélogramme, triangle, disque.

– Calculer l'aire d'un parallélogramme.

– Calculer l'aire d'un triangle connaissant un côté et la hauteur associée.

– Calculer l'aire d'un disque de rayon donné.

– Calculer l'aire d'une surface plane ou celle d'un solide, par décomposition en surfaces dont les aires sont facilement calculables.

La formule de l'aire du parallélogramme est déduite de celle de l'aire du rectangle.

La formule de l'aire du triangle est déduite de celles de l'aire du parallélogramme, du triangle rectangle ou du rectangle.
Le fait que chaque médiane d'un triangle le partage en deux triangles de même aire est justifié (démontré en 2006 !).

Dans le cadre du socle, les élèves peuvent calculer ainsi l'aire d'un parallélogramme.
Les élèves peuvent calculer l'aire latérale d'un prisme droit ou d'un cylindre de révolution à partir du périmètre de leur base et de leur hauteur

Parallélogramme

Triangle
au collège

GéoPlan 5^e
Calculs d'aires

GéoPlan
Le triangle équilatéral

GéoSpace 6^e
Parallélépipède rectangle

GéoPlan 3^e
accompagnement des programmes