Cabri-Géomètre en sixième
Figures remarquables au collège : triangles, parallélogrammes, quadrilatères, polygones réguliers, pentagones - Arcs et angles, symétries.
SommaireTP 1 : Les triangles |
Les parallélogrammes Programme de géométrie en 6e GéoPlan en sixièmeCarré et deux triangles équilatéraux - Vérifier un alignement La règle et de l'équerre Les triangles Constructions géométriques - Ovale au tiers - Œuf, voir constructions avec contrainte Exercices au collège - Comparer deux longueurs Page no 3, réalisée le 2/12/2000 - mise à jour le 17/4/2010 | ||
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GéoPlan en 6e | GéoPlan en 6e |
Cabri-Géomètre | |
TP no 1 - LES TRIANGLES
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Objet : dessiner des triangles particuliers (rectangle, isocèle ou équilatéral) 1. Construire un triangle rectangle à partir d'un petit côté
tracer la perpendiculaire à [AB] passant par B, placer un point C sur la perpendiculaire (menu point>Point sur objet). Nommer les points (Label), Marquer le milieu de [AB] (menu perpendiculaire) et tracer le cercle de centre O, passant par A.
2. Construire un triangle rectangle à partir de l'hypoténuse
Nommer les points (Label),
3. Construire un triangle isocèle à partir de la base
Nommer les points,
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Placer deux points libres A, B et dessiner le segment [AB],
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Placer les points libres A, C et dessiner le segment [AC], marquer le milieu (menu perpendiculaire),
Placer les points libres B, C et dessiner le segment [BC],
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4. 
Classe de cinquième
Accompagnement du programme de 5e|
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Application : retrouver le centre d'un cercle
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Étant donné un cercle comme le cercle circonscrit au triangle MNP, trouver le centre de ce cercle. Construction Placer trois points distincts A, B et C sur le cercle et dessiner les médiatrices de [AB] et [BC]. Le centre est le point d'intersection O de ces deux droites. Dans le menu « Créer>point>Centres divers », GéoPlan permet de retrouver le centre d'un cercle déjà crée.
Construction à la « règle et au compas » des médiatrices, voir : retrouver le centre |
Dessin de Serge Cecconi |
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Modalités de mise en œuvre CommentairesCet exercice peut être proposé à partir de la 5e en travail de groupes, il est propice à des échanges autour des différentes stratégies de construction qu'il est possible de mettre en œuvre. Banque de problèmes pour le collège |
3. Hauteurs
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Tracer un triangle ABC, Placer les intersections des côtés et des hauteurs : A’ sur [BC], B’ sur [AC] et C’ sur [AB],
Les trois hauteurs sont concourantes en H Classe de quatrième Le point H est l'orthocentre du triangle. Plus difficile : remplacer certains segments par des droites pour obtenir une figure complète quand un des angles du triangle est obtus. L'orthocentre est à l'extérieur du triangle
4. Bissectrice et cercle inscrit dans le triangleVoir : problèmes de construction au collège Sommaire TP 3 - PARALLÉLOGRAMMESConstruction de parallélogrammes, losanges, rectangles : voir parallélogramme au collège TP 4 - Utilisation de la symétrie pour la construction
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Les hauteurs sont les perpendiculaires abaissées d'un sommet sur le côté opposé.
Tracer les segments [AA’], [BB’] et [CC’],
Construction d'un triangle équilatéral à partir d'un sommet B et d'un axe de symétrie (d).
Construction d'un trapèze isocèle à partir d'un côté [AB] et de son axe de symétrie (d).
Tracer une droite (d), placer deux points A et D à l'extérieur, d'un même côté, de (d),
Construction d'un rectangle à partir d'un sommet A et d'un axe de symétrie (d).
Cette macro se rajoute à la fin du menu construction.
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Pavage d'étoiles
Construire le symétrique O’ du point O par rapport à la droite (AB).
Avec la macro étoile construire une autre étoile de centre O’, passant par A.
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5. Réseaux de triangles équilatéraux
Placer les points symétriques par rapport à O : C symétrique de F, D symétrique de A et E symétrique de B. Placer les autres points symétriques : A’, A”, B’, B” etc. À partir du réseau de points ainsi créé, réaliser des figures comme ci-dessous : |
Placer deux points O et A, |
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Sommaire T. P. 6 - Milieu et médiatriceLe mot « médiatrice » ne date que 1925, date à laquelle il a été adopté par l'assemblée générale de l'Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Secondaire. 1. Construire la médiatrice d'un segment [AB] avec la règle et le compasDéfinition : |
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a. Construction d'Œnopide de Chios (Vème siècle avant J.-C.)
Dessiner deux points A, B et le segment [AB]. Démonstration En effet, ACBD est un losange, car les quatre côtés sont de même longueur AB. [CD] diagonale du losange permet de retrouver la propriété de la médiatrice :
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b. Généralisation : deux cercles de même rayon
Tracer deux cercles de centres A et B, de même rayon, suffisamment grand. Démonstration Comme ci-contre ACBD est un losange, car les quatre côtés sont de même longueur r, r rayon commun des deux cercles. La droite (CD), diagonale du losange, est la médiatrice de [AB].
Voir : construction de la médiatrice avec une équerre |
2. Médiatrices et triangle rectangle
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Tracer un triangle rectangle ABC, Que constate-t-on ?
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3. Deux cercles de même rayon - Deux triangles équilatéraux
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Reproduire cette figure avec Cabri. Quels sont les axes de symétrie ? Que peut-on dire des triangles ABC et ABD ? Montrer que la droite (CD) est la médiatrice de [AB].
Retrouver cette figure : triangle équilatéral, |
4. Triangles symétriques
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ABC est un triangle équilatéral. Reproduire cette figure.
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5. Cinq triangles équilatéraux
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ABC est un triangle équilatéral. Reproduire ce dessin. Quels sont les axes de symétrie ? Que peut-on dire des triangles de la figure ?
Voir aussi : triangle équilatéral et cercle inscrit |
6. Monter un angle droit
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Dès la classe de 6e, il est par exemple possible de rencontrer des situations qui font passer de la définition à la propriété caractéristique de la médiatrice (ou réciproquement).
Que peut-on dire des droites (AB) et (MP) ? Justifier. Ressources pour les classes de 6e, 5e, 4e et 3e - Géométrie au collège Sommaire |
En 6e : les cercles de centre A et B sont sécants en M et P.T. P. 7 - CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES
1. Triangles isocèles
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Reproduire la figure ci-dessous, sachant que : le triangle ABC est isocèle (AB = AC), le triangle ACD est isocèle (AC = AD). Le triangle ABE est isocèle (EA = EB) et les longueurs CE et CD sont égales. (D'après Décimale classe de 6e, Belin) |  |
Indication : cercles et médiatrice
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Avec Cabri-Géomètre, placer les points libres A et B. Pour construire les deux premiers triangles isocèles, placer les points C et D sur le cercle de centre A passant par B. Le point E est une des intersections de la médiatrice de [AB] et du cercle de centre C, passant par A.
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2. Quadrilatère
a) Tracer un triangle FIL.
Tracer la droite, passant par L, parallèle à (FI),
tracer la droite, passant par I, parallèle à (FL),
et nommer S l'intersection de ces deux droites.
Quelle est la nature du quadrilatère FISL ?
b) Si le triangle FIL est rectangle en F, que dire de FISL ?
c) Et si le triangle FIL est isocèle FIL (FI = FL) ?
d) Même question avec un triangle FIL rectangle isocèle.
(D'après les exercices 38 et 39 page 144 in Triangle 6e, Hatier)
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Technique Cabri
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3. Perpendiculaires dans un rectangle
Partage en trois de [CF]Construction de symétriques : Cabri ne permet pas de diviser un segment en trois. Pour tracer la figure du problème (ci-dessous à droite) placer deux points A et C, Construction de parallèles : Il est aussi possible de faire la construction de la figure de gauche qui sera justifiée par la propriété de Thalès en quatrième : |
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ACFH est un rectangle, B est milieu de [AC], G celui de [FH]. D et E partagent [CF] en trois segments de même longueur. 
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Tracer ensuite les sécantes, marquer et mesurer des angles.
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Déplacer les points pour trouver des paires de droites perpendiculaires ;Le but de l'exercice est de trouver que (AD) et (CH) sont perpendiculaires, lorsque AF est le double de AC. Si ACFH est un carré, les diagonales sont perpendiculaires. Technique GéoPlan En modifiant le prototype marquer un angle droit avec µ(abs(t-90)<0.1), pour une précision de 0,1°, on peut faire apparaître les angles droits en déplaçant les points avec la souris. Commandes GéoPlan : (D'après l'exercice 65 page 130 in Triangle 6e, Hatier) Voir aussi le partage d'un segment en trois : constructions élémentaires, règle à bords parallèles Sommaire TP 8 - ARCS ET ANGLES1. Reproduire un arc de cercle
Tracer un cercle de centre I de même rayon : placer un point I. Avec le compas, montrer les points O et A pour mesurer le rayon du cercle (c), puis montrer le point I pour tracer ce deuxième cercle. Reporter la longueur de la corde AB : au compas montrer les points A et B pour mesurer le rayon, puis montrer le point C ; le point D est une des intersections des deux derniers cercles. Les arcs AB et CD sont égaux (on peut mesurer les longueurs de leurs cordes).
2. Reproduire un angle
Eudème, cité par Proclus, attribuait à Œnopide de Chios (Vème siècle avant J.-C.), la découverte du problème relatif à la proposition 23 du livre I d'Euclide : « Sur une droite donnée, et en un point donné sur cette droite, construire un angle égal à un angle donné. » (Histoire des mathématiques - Colette - 1973 - page 55). Reporter un angle d'origine O à partir d'une demi-droite d'origine I : Soit deux points O et I, deux demi-droites ayant pour origine le point O et une demi-droite d'origine I. Pour reporter l'angle d'origine O, placer un point A sur un des côtés de l'angle. Tracer le cercle de centre O, passant par A, qui coupe le deuxième côté en B. Avec le compas, mesurer la longueur OA, puis tracer le cercle de centre I et de rayon OA. Avec le compas, mesurer la longueur AB, puis tracer le cercle de centre C et de rayon AB. Nommer D une des intersections des deux cercles. Tracer la demi-droite [ID). Les angles AÔB et CÎD sont égaux. On peut les marquer et les mesurer. Macro-constructionPour reporter un angle, il suffit de connaître les demi-droites [OA), [OB) et [IC) que le logiciel appelle objets initiaux.
L'ordinateur sait ensuite tracer la demi-droite [ID) qu'il nomme objet final.
3. Construire une bissectricea. Construction, au compas seul, d'un losange
Soit un angle de sommet O formé par deux demi-droites (d1) et (d2) ayant ce point pour origine. Placer un point A sur un des côtés (d1) de l'angle.
Tracer le cercle de centre O, passant par A, qui coupe la deuxième demi-droite (d2) en B. [OI) est la bissectrice intérieure de l'angle des demi-droites (d1) et (d2) : La diagonale (OI) du losange OABI, est la médiatrice de [AB] car les diagonales du losange se coupent en H milieu de [AB] et sont perpendiculaires. |
Sur un cercle (c) de centre O placer un point A et un arc AB en montrant le point A, un point intermédiaire situé sur le cercle et le point final B.
GéoPlan permet de tracer une bissectrice à partir d'un angle défini par trois points.|
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Paragraphe exporté dans la page : construction au compas seul |
b. Construction par report de mesure
[OI) est la bissectrice intérieure de l'angle des demi-droites (d1) et (d2) : les triangles isométriques OAD et OBC sont symétriques par rapport à (OI).
c. voir aussi : construction avec une règle à bords parallèlesSommaire |
TP 9 - Symétrie axiale
1. Construire le symétrique d'un point
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Placer un point M et une droite (d). Construire le symétrique M’ du point M par rapport à (d) :
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2. Construire le symétrique d'une droite
Déplacer les points A et B. Compléter : Si la droite (AB) coupe la droite D alors …… Si la droite (AB) est parallèle à la droite D alors …… Placer et déplacer un point M sur (AB), construire son symétrique M’ et le segment [MM’]. Remarque : lorsque les droites sont sécantes, la droite (A’B’), symétrique de (AB) par rapport à (D), passe par le point I, intersection de (AB) et (D). Il est souvent efficace d'utiliser ce point pour la construction.
3. Construire le symétrique d'un cercle
Quel est le symétrique de ce cercle par rapport à D ? Déplacer les points A et B. Compléter : Si le cercle C coupe la droite D …… Si le point O est sur la droite D alors …… Placer et déplacer un point M sur C, construire son symétrique M’ ; le segment [MM’] et les rayons [OM] et [O’M’]. Modifier les couleurs pour rendre la figure plus parlante. |
Placer deux points A et B, tracer la droite (AB) et une droite (D) {non perpendiculaire à (AB)},
Placer deux points A et O et une droite D,4. Construire le symétrique d'un triangle
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Placer trois points A, B, C et une droite D. Construire les symétriques A’, B’ et C’ des points A, B et C par rapport à D. Tracer le triangle ABC et son symétrique.
Sommaire |
Activité B2i |
Domaine B2i |
Items validables |
Travaux pratiques en 6ème avec Cabri |
1 – S'approprier un environnement informatique de travail 2 - Adopter une attitude responsable pour les élèves venant en aide. |
1.1 – Je sais m'identifier sur un réseau ou un site et mettre fin à cette identification. 1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail. 2.7 – Je mets mes compétences informatiques au service d'une production collective. |
Programme de géométrie plane en 6e
Bulletin Officiel du 28 août 2008 À l'école élémentaire, les élèves ont acquis une première expérience des figures et des solides les plus usuels, en passant d'une reconnaissance perceptive (reconnaissance des formes) à une connaissance plus analytique prenant appui sur quelques propriétés (alignement, perpendicularité, parallélisme, égalité de longueurs, milieu, axes de symétrie), vérifiées à l'aide d'instruments. Ils ont été entraînés au maniement de ces instruments (équerre, règle, compas, gabarit) sur des supports variés, pour construire des figures, en particulier pour le tracé de perpendiculaires et de parallèles à l'aide de la règle et de l'équerre. ObjectifsLa résolution de problèmes a pour objectifs : |
Connaissances |
Capacités |
Commentaires |
3.1. Figures planes Notions de parallèle, de perpendiculaire. |
– Tracer, par un point donné, la perpendiculaire ou la parallèle à une droite donnée. – Utiliser différentes méthodes pour :
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Il est seulement attendu des élèves qu'ils sachent utiliser en situation ces notions, notamment pour la reconnaissance de deux droites parallèles ou pour leur tracé. Ces capacités prennent leur sens lorsqu'elles sont mobilisées pour résoudre un problème : reproduire une figure, en compléter un agrandissement ou une réduction déjà amorcée, construire une figure d'après une de ses descriptions. |
– Savoir que, pour un cercle : – Construire, à la règle et au compas, un triangle connaissant les longueurs de ses côtés. |
On attend des élèves qu'ils sachent utiliser en situation ces propriétés. Capacité déjà travaillée au cycle 3. |
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– Connaître les propriétés relatives aux côtés, aux angles, aux diagonales pour le rectangle, le carré et le losange. |
La symétrie axiale est mise en jeu pour mettre en évidence certaines propriétés. | |
– Connaître les propriétés relatives aux côtés et aux angles des triangles suivants : triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle. |
On travaillera à la fois les constructions sur papier par les outils de dessin traditionnels et les constructions sur écran à l'aide d'un logiciel de géométrie. | |
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Médiatrice d'un segment
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Utiliser différentes méthodes pour tracer : |
La bissectrice d'un angle est définie en sixième comme la demi-droite qui partage l'angle en deux angles adjacents de même mesure. La justification de la construction de la bissectrice à la règle et au compas est reliée à la symétrie axiale. |
Constructions géométriques. |
Reproduction, construction de figures complexes. |
Ces situations nécessitent de reconnaître des figures simples dans une figure complexe et demandent un travail d'analyse utile aux apprentissages ultérieurs. |
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3.3 Symétrie orthogonale par rapport à une droite (symétrie axiale) |
– Construire le symétrique d'un point, d'une droite, d'un segment, d'un cercle (que l'axe de symétrie coupe ou non la figure). – Construire ou compléter la figure symétrique d'une figure donnée ou de figures possédant un axe de – Effectuer les tracés de l'image d'une figure par symétrie axiale à l'aide des instruments usuels(règle, équerre, compas). |
L'élève peut utiliser la méthode de son choix. Dans la continuité du travail entrepris à l'école élémentaire, les activités s'appuient encore sur un travail expérimental (pliage, papier calque) permettant d'obtenir un inventaire abondant de figures simples, à partir desquelles sont dégagées les propriétés de « conservation » de la symétrie axiale (conservation des distances, de l'alignement, des angles et des aires). Le rôle de la médiatrice comme axe de symétrie d'un segment est mis en évidence. |
4.2 Angles |
– Comparer des angles sans avoir recours à leur mesure. |
Le rapporteur est un nouvel instrument de mesure qu'il convient d'introduire à l'occasion de la construction et de l'étude des figures. |
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4.3 Aires : mesure, comparaison et calcul d'aires |
– Comparer géométriquement des aires. |
Poursuivre le travail effectué à l'école élémentaire, La comparaison d'aires sans avoir recours à des Certaines activités proposées conduisent les élèves à comprendre notamment que périmètre et aire ne varient pas toujours dans le même sens. Une démarche expérimentale permet de vérifier la formule de l'aire du disque. |
Programme de géométrie dans l'espace en sixième
Faire de la géométrie dynamique avec Cabri |
GéoPlan collège | GéoSpace 6ème | |
SommaireTP 1 : Les triangles |
TP 7 : Constructions géométriques diverses Les parallélogrammes Programme de géométrie en 6e | ||
Faire de la géométrie dynamiqueSuggestions, remarques, problèmes : me contacter. | |||