Figures remarquables au collège : triangles, parallélogrammes, quadrilatères, polygones réguliers, pentagones - Arcs et angles, symétries.
Cabri-Géomètre en sixième
SommaireTP 1 : Les triangles Les parallélogrammes Programme de géométrie en 6e |
GéoPlan en sixièmeCarré et deux triangles équilatéraux - Vérifier un alignement La règle et de l'équerre Les triangles Constructions géométriques - Ovale au tiers - Œuf, voir constructions avec contrainte Exercices au collège - Comparer deux longueurs Page no 3, réalisée le 2/12/2000 - mise à jour le 21/3/2008 | ||
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GéoPlan en 6e | GéoPlan en 6e | Cabri-géomètre | |
Activité B2i |
Domaine B2i |
Items validables |
Travaux pratiques en sixième avec Cabri |
1 – S'approprier un environnement informatique de travail 2 - Adopter une attitude responsable pour les élèves venant en aide. |
1.1 – Je sais m'identifier sur un réseau ou un site et mettre fin à cette identification. 1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail. 2.7 – Je mets mes compétences informatiques au service d'une production collective. |
TP no 1 - LES TRIANGLES
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Objet : dessiner des triangles particuliers (rectangle, isocèle ou équilatéral) 1. Construire un triangle rectangle à partir d'un petit côté
tracer la perpendiculaire à [AB] passant par B, placer un point C sur la perpendiculaire (menu point>Point sur objet). Nommer les points (Label), Marquer le milieu de [AB] (menu perpendiculaire) et tracer le cercle de centre O, passant par A.
2. Construire un triangle rectangle à partir de l'hypoténuse
Nommer les points (Label),
3. Construire un triangle isocèle à partir de la base
Nommer les points,
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Placer deux points libres A, B et dessiner le segment [AB],
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Placer les points libres A, C et dessiner le segment [AC], marquer le milieu (menu perpendiculaire),
Placer les points libres B, C et dessiner le segment [BC],
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4. 
Classe de cinquième
Accompagnement du programme de 5e
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Étant donné un cercle (par exemple, le cercle circonscrit au triangle MNP), Construction Placer trois points distincts A, B et C sur le cercle et dessiner les médiatrices de [AB] et [BC]. Le centre est le point d'intersection O de ces deux médiatrices.
Construction à la « règle et au compas » ; retrouver le centre |
Dessin de Serge Cecconi |
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Modalités de mise en œuvre CommentairesCet exercice peut être proposé à partir de la 5e en travail de groupes, il est propice à des échanges
autour des différentes stratégies de construction qu’il est possible de mettre en œuvre. Banque de problèmes pour le collège |
3. Hauteurs
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Tracer un triangle ABC, Placer les intersections des côtés et des hauteurs : A’ sur [BC], B’ sur [AC] et C’ sur [AB],
Les trois hauteurs sont concourantes en H Classe de quatrième Le point H est l'orthocentre du triangle. Plus difficile : remplacer certains segments par des droites pour obtenir une figure complète quand un des angles du triangle est obtus. L'orthocentre est à l'extérieur du triangle
4. Bissectrice et cercle inscrit dans le triangleVoir : problèmes de construction au collège Sommaire TP 3 - PARALLÉLOGRAMMESConstruction de parallélogrammes, losanges, rectangles : voir parallélogramme au collège TP 4 - Utilisation de la symétrie pour la construction
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Les hauteurs sont les perpendiculaires abaissées d'un sommet sur le côté opposé.
Tracer les segments [AA’], [BB’] et [CC’],
Construction d'un triangle équilatéral à partir d'un sommet B et d'un axe de symétrie (d).
Construction d'un trapèze isocèle à partir d'un côté [AB] et de son axe de symétrie (d).
Tracer une droite (d), placer deux points A et D à l'extérieur, d'un même côté, de (d),
Construction d'un rectangle à partir d'un sommet A et d'un axe de symétrie (d).
Le côté de l'hexagone régulier inscrit dans un cercle est égal au rayon r de ce cercle.
Construction d'un hexagone par pliage d'un triangle équilatéral
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Pavage d'étoiles
Construire le symétrique O’ du point O par rapport à la droite (AB).
Avec la macro étoile construire une autre étoile de centre O’, passant par A.
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5. Réseaux
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Placer deux points O et A, |
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Sommaire T. P. 6 - Milieu et médiatrice1. Construire la médiatrice d'un segment [AB] avec la règle et le compasDéfinition : |
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a. Construction d'Œnopide de Chios (Ve siècle avant J.-C.)
Dessiner deux points A, B et le segment [AB]. Démonstration En effet, ACBD est un losange, car les quatre côtés sont de même longueur AB. [CD] diagonale du losange permet de retrouver la propriété de la médiatrice :
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b. Généralisation : deux cercles de même rayon
Tracer deux cercles de centres A et B, de même rayon, suffisamment grand. Démonstration Comme ci-contre ACBD est un losange, car les quatre côtés sont de même longueur r, r rayon commun des deux cercles. La droite (CD), diagonale du losange, est la médiatrice de [AB]. Voir : Animation Flash Voir : construction de la médiatrice avec une équerre |
Wikipédia : 2. Médiatrices et triangle rectangle
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Tracer un triangle rectangle ABC, Que constate-t-on ?
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3. Deux cercles de même rayon
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Reproduire cette figure avec Cabri. Quels sont les axes de symétrie ? Que peut-on dire des triangles ABC et ABD ? Montrer que la droite (CD) est la médiatrice de [AB].
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4. Triangles symétriques
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ABC est un triangle équilatéral. Reproduire cette figure.
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5. Triangles équilatéraux
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ABC est un triangle équilatéral. Reproduire ce dessin. Quels sont les axes de symétrie ? Que peut-on dire des triangles de la figure ?
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6. Monter un angle droit
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Dès la classe de 6e, il est par exemple possible de rencontrer des situations qui font passer de la définition à la propriété caractéristique de la médiatrice (ou réciproquement).
Que peut-on dire des droites (AB) et (MP) ? Justifier. Ressources pour les classes de 6e, 5e, 4e et 3e - Géométrie au collège Sommaire |
En 6e : les cercles de centre A et B sont sécants en M et P.T. P. 7 - CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES
1. Triangles isocèles
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Reproduire la figure ci-dessous, sachant que : le triangle ABC est isocèle (AB = AC), le triangle ACD est isocèle (AC = AD). Le triangle ABE est isocèle (EA = EB) et les longueurs CE et CD sont égales. (D'après Décimale classe de 6e, Belin) |  |
Indication : cercles et médiatrice
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Avec Cabri-Géomètre, placer les points libres A et B. Pour construire les deux premiers triangles isocèles, placer les points C et D sur le cercle de centre A passant par B. Le point E est une des intersections de la médiatrice de [AB] et du cercle de centre C, passant par A.
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2. Quadrilatère
a) Tracer un triangle FIL.
Tracer la droite, passant par L, parallèle à (FI),
tracer la droite, passant par I, parallèle à (FL),
et nommer S l'intersection de ces deux droites.
Quelle est la nature du quadrilatère FISL ?
b) Si le triangle FIL est rectangle en F, que dire de FISL ?
c) Et si le triangle FIL est isocèle FIL (FI = FL) ?
d) Même question avec un triangle FIL rectangle isocèle.
(D'après les exercices 38 et 39 page 144 in Triangle 6e, Hatier)
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Technique Cabri
3. Perpendiculaires dans un rectangleACFH est un rectangle, B est milieu de [AC], G celui de [FH]. D et E partagent [CF] en trois segments de même longueur. Déplacer les points pour trouver des paires de droites perpendiculaires ; |
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Cabri ne permet pas de diviser un segment en trois. Pour tracer la figure du problème (ci-dessus à droite) placer deux points A et C, Il est aussi possible de faire la construction de la figure de gauche qui sera justifiée par la propriété de Thalès en quatrième : Le but de l'exercice est de trouver que (AD) et (CH) sont perpendiculaires, lorsque AF est le double de AC. Si ACFH est un carré, les diagonales sont perpendiculaires. Technique GéoPlan En modifiant le prototype marquer un angle droit avec µ(abs(t-90)<0.1), pour une précision de 0,1°, on peut faire apparaître les angles droits en déplaçant les points avec la souris. Commandes GéoPlan : (D'après l'exercice 65 page 130 in Triangle 6e, Hatier) Voir aussi le partage d'un segment en trois : constructions élémentaires, règle à bords parallèles Sommaire TP 8 - ARCS ET ANGLES1. Reproduire un arc de cercle
Tracer un cercle de centre I de même rayon : placer un point I. Avec le compas, montrer les points O et A pour mesurer le rayon du cercle (c), puis montrer le point I pour tracer ce deuxième cercle. Reporter la longueur de la corde AB : au compas montrer les points A et B pour mesurer le rayon, puis montrer le point C ; le point D est une des intersections des deux derniers cercles. Les arcs AB et CD sont égaux (on peut mesurer les longueurs de leurs cordes).
2. Reproduire un angle
Reporter un angle d'origine O à partir d'une demi-droite d'origine I : Soit deux points O et I, deux demi-droites ayant pour origine le point O et une demi-droite d'origine I. Pour reporter l'angle d'origine O, placer un point A sur un des côtés de l'angle. Tracer le cercle de centre O, passant par A, qui coupe le deuxième côté en B. Avec le compas, mesurer la longueur OA, puis tracer le cercle de centre I et de rayon OA. Avec le compas, mesurer la longueur AB, puis tracer le cercle de centre C et de rayon AB. Nommer D une des intersections des deux cercles. Tracer la demi-droite [ID). Les angles AÔB et CÎD sont égaux. On peut les marquer et les mesurer.. Macro-constructionPour reporter un angle, il suffit de connaître les demi-droites [OA), [OB) et [IC) que le logiciel appelle objets initiaux.
L'ordinateur sait ensuite tracer la demi-droite [ID) qu'il nomme objet final.
3. Construire une bissectrice
GéoPlan permet de tracer une bissectrice à partir d'un angle défini par trois points. Soit un angle de sommet O formé par deux demi-droites (d1) et (d2) ayant ce point pour origine. Placer un point A sur un des côtés (d1) de l'angle.
Tracer le cercle de centre O, passant par A, qui coupe la deuxième demi-droite (d2) en B. [OI) est la bissectrice intérieure de l'angle des demi-droites (d1) et (d2) : La diagonale (OI) du losange OABI, est la médiatrice de [AB] car les diagonales du losange se coupent en H milieu de [AB] et sont perpendiculaires. Voir : construction avec la règle à bords parallèles
Sommaire |
Sur un cercle (c) de centre O placer un point A et un arc AB en montrant le point A, un point intermédiaire situé sur le cercle et le point final B.
Eudème, cité par Proclus, attribuait à Œnopide de Chios (Ve siècle avant J.-C.), la découverte du problème relatif à la proposition 23 du livre I d'TP 9 - Symétrie axiale
1. Construire le symétrique d'un point
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Placer un point M et une droite (d). Construire le symétrique M’ du point M par rapport à (d) :
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2. Construire le symétrique d'une droite
Déplacer les points A et B. Compléter : Si la droite (AB) coupe la droite D alors …… Si la droite (AB) est parallèle à la droite D alors …… Placer et déplacer un point M sur (AB), construire son symétrique M’ et le segment [MM’]. Remarque : lorsque les droites sont sécantes, la droite (A’B’), symétrique de (AB) par rapport à (D), passe par le point I, intersection de (AB) et (D). Il est souvent efficace d'utiliser ce point pour la construction.
3. Construire le symétrique d'un cercle
Quel est le symétrique de ce cercle par rapport à D ? Déplacer les points A et B. Compléter : Si le cercle C coupe la droite D …… Si le point O est sur la droite D alors …… Placer et déplacer un point M sur C, construire son symétrique M’ ; le segment [MM’] et les rayons [OM] et [O’M’]. Modifier les couleurs pour rendre la figure plus parlante. |
Placer deux points A et B, tracer la droite (AB) et une droite (D) {non perpendiculaire à (AB)},
Placer deux points A et O et une droite D,4. Construire le symétrique d'un triangle
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Placer trois points A, B, C et une droite D. Construire les symétriques A’, B’ et C’ des points A, B et C par rapport à D. Tracer le triangle ABC et son symétrique.
Sommaire |
Programme de géométrie en 6e
Travaux géométriques au collège
OrdinateursL'utilisation des ordinateurs peut apporter une aide importante pour l'apprentissage des mathématiques dès la classe de 6e. Programme de géométrie du 9 septembre 2004À l'école élémentaire, les élèves ont acquis une première expérience des figures et des solides les plus usuels, en passant d'une reconnaissance perceptive (reconnaissance des formes) à une connaissance plus analytique prenant appui sur quelques propriétés (alignement, perpendicularité, parallélisme, égalité de longueurs, milieu, axes de symétrie), vérifiées à l'aide d'instruments. Ils ont été entraînés au maniement de ces instruments (équerre, règle, compas, gabarit) sur des supports variés, pour construire des figures, en particulier pour le tracé de perpendiculaires et de parallèles à l'aide de la règle et de l'équerre. Les travaux conduits en sixième prennent en compte les acquis antérieurs, évalués avec précision et obéissent à de nouveaux objectifs. Ils doivent viser d'une part à stabiliser les connaissances des élèves et d'autre part à les structurer, et peu à peu à les hiérarchiser. L'objectif d'initier à la déduction est aussi pris en compte. À cet effet, les activités qui permettent le développement des capacités à décortiquer et à construire des figures et des solides simples, à partir de la reconnaissance des propriétés élémentaires, occupent une place centrale. Les travaux géométriques sont conduits dans différents cadres : espace ordinaire (cour de récréation, par exemple), espace de la feuille de papier uni ou quadrillé, écran d'ordinateur. La résolution des mêmes problèmes dans ces environnements différents, et les interactions qu'elle suscite, contribuent à une approche plus efficace des concepts mis en œuvre. Les connaissances géométriques permettent de modéliser des situations (par exemple, représenter un champ par un rectangle) et de résoudre ainsi des problèmes posés dans l'espace ordinaire. Les formes géométriques (figures planes, solides) se trouvent dans de nombreux domaines : architecture, œuvres d'art, éléments naturels, objets d'usage courant. Ces mises en relation permettent peu à peu de dégager le caractère universel des objets géométriques par rapport à leurs diverses réalisations naturelles ou artificielles. |
Contenus |
Compétences |
Exemples d'activités, commentaires |
3.1. Figures planes, médiatrice, bissectrice |
- Utiliser différentes méthodes pour :
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Ces compétences sont à développer en priorité sur papier uni, en utilisant les instruments usuels (règle, équerre et compas). Elles prennent leur sens lorsqu'elles sont mobilisées pour résoudre un problème : reproduire une figure, en compléter un agrandissement ou une réduction déjà amorcée, construire une figure d'après une de ses descriptions. Les méthodes doivent varier en fonction de l'espace dans lequel est posé le problème et des instruments laissés à la disposition des élèves :
Les exercices, sans problématique, dans lesquels ces compétences sont travaillées pour elles-mêmes, sont indispensables. Ils ne doivent en aucun cas se substituer aux situations plus riches dans lesquelles ces compétences prennent tout leur sens. Le rapporteur est, pour les élèves de 6e, un nouvel instrument de mesure dont l'utilisation doit faire l'objet d'un apprentissage spécifique. À l'école primaire, les élèves ont utilisé le fait que l'écartement entre deux droites parallèles est constant. En sixième, deux droites parallèles sont définies comme deux droites non sécantes et caractérisées par le fait que si l'une est perpendiculaire à une troisième droite, l'autre l'est également. Deux droites perpendiculaires sont définies comme deux droites sécantes déterminant quatre angles égaux (qui sont des angles droits). |
- Connaître les propriétés relatives aux côtés, aux angles, aux diagonales pour les quadrilatères suivants : rectangle, losange, cerf-volant, carré. |
Certaines des propriétés évoquées ont déjà été étudiées à l'école primaire (notamment celles relatives aux côtés, à la présence d'angles droits ou à celle d'axes de symétrie), d'autres sont nouvelles (notamment celles relatives aux angles autres que les angles droits et celles relatives aux diagonales). La symétrie orthogonale est mise en jeu le plus fréquemment possible pour justifier les propriétés. | |
- Connaître les propriétés relatives aux côtés et aux angles des triangles suivants : triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle. |
La connaissance ainsi développée des figures ci-contre conduit à les situer les unes par rapport aux autres, en mettant en évidence leurs propriétés communes et des propriétés différentes. Dans cette optique nouvelle, le carré est reconnu comme étant un losange particulier et un rectangle particulier, car il vérifie les propriétés du losange et celles du rectangle. | |
- Utiliser ces propriétés pour reproduire ou construire ces figures. |
Les travaux de reproduction et de construction peuvent consister en :
Dans ce dernier cas, il existe en général plusieurs réalisations conformes à la description, ce qui peut donner lieu à des analyses et des échanges fructueux entre les élèves. Les procédés utilisés pour la reproduction ou la construction dépendent des indications fournies à l'élève et des instruments disponibles. Pour les figures suivantes : cerf-volant, losange, carré, triangle isocèle, triangle équilatéral, leur construction à la règle graduée et au compas est un objectif de la classe de sixième (dans la mesure où la construction ne fait pas intervenir le parallélisme). | |
- Reconnaître des figures simples dans une figure complexe. |
Les situations dans lesquelles les élèves ont à identifier des propriétés et des figures simples dans une figure complexe à reproduire demandent un travail d'analyse qui est nécessaire aux élèves pour leurs apprentissages ultérieurs. Il s'agit d'une activité essentielle. Il en va de même de petits problèmes de type « construction » et « lieux géométriques ». L'usage d'outils informatiques permet aussi une mise en œuvre de ce travail d'analyse. [B2i] | |
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Médiatrice d'un segment |
Utiliser différentes méthodes pour tracer : |
La bissectrice d'un angle est définie en sixième comme la demi-droite qui partage l'angle en deux angles adjacents de même mesure. La justification de la construction de la bissectrice à la règle et au compas est reliée à la symétrie axiale. |
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- Caractériser les points du cercle par le fait que :
Construire, à la règle et au compas, un triangle connaissant les longueurs de ses côtés. |
Cette compétence a été travaillée au cycle 3 (chercher à localiser des points dont les distances respectives à deux points donnés sont connues), sans y être exigible. | |
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Vocabulaire et notations |
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La maîtrise du vocabulaire, des notations et des formulations spécifiques du langage géométrique est nécessaire au travail géométrique, mais ce dernier ne doit pas se limiter à la recherche de cette maîtrise. C'est donc dans des problèmes où leur présence s'avère utile, voire indispensable, que ces éléments de langage sont introduits et employés :
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3.3 Symétrie orthogonale par rapport à une droite (symétrie axiale) |
- Construire le symétrique d'un point, d'une droite, d'un segment, d'un cercle (que l'axe de symétrie coupe ou non la figure). - Construire ou compléter la figure symétrique d'une figure donnée ou de figures possédant un axe de symétrie à l'aide de la règle (graduée ou non), de l'équerre, du compas, du rapporteur. |
Dans la continuité du travail entrepris à l'école élémentaire, les activités s'appuient encore sur un travail expérimental (pliage, papier calque) permettant d'obtenir un inventaire abondant de figures simples, à partir desquelles sont dégagées les propriétés de « conservation » de la symétrie axiale (conservation des distances, de l'alignement, des angles et des aires). Le rôle de la médiatrice comme axe de symétrie d'un segment est mis en évidence. La symétrie axiale n'a, à aucun moment, à être présentée comme une application du plan dans lui-même. |
Programme de géométrie dans l'espace en sixième
