Similitude en TS avec GéoPlan

Sommaire

1. Alignement et similitude
2. Homothétie, produit scalaire au Bac S
    Polynésie - septembre 2000
3. Deux carrés
5. Centre de deux similitudes
6. Pseudo-carré
    Bac S Antilles-Guyane – Septembre 2002

Lieux géométriques

Plan complexe

Exercices pouvant être démontrés avec des affixes de complexes : les triangles du BOA,
les carrés du BOA,
construction du pentagone régulier,
théorème de Clifford : cercles.

Page n^o 91, réalisée le 16/6/2003, modifiée le 17/4/2010

Faire de la géométrie dynamique

Angles
Rotations

Angles
Trigonométrie

TS
Le barycentre au bac

GéoPlan
Homothéties

Index

Un point A fixe et un point M variable sont placés sur un cercle (c₁).
Une similitude de centre A transforme le cercle (c₁) en un cercle (c₂) et le point M en un point M’.
Les cercles (c₁) et (c₂) ont comme deuxième point d'intersection B.
Montrer que les points M, B et M’ sont alignés.

Démonstration

Calculer l'angle (, ) = (, ) + (, ) [mod π].

Les angles inscrits sont égaux à la moitié de l'angle au centre :
(, ) = (, ) [mod π],
(, ) = (, ) [mod π].

Dans la similitude A est point fixe, O₁ a pour image O₂, M a pour image M’, par conservation des angles on a ( , ) = (, ) [mod π].
D'où – (, ) = (, ) et (, ) = 0 [mod π] ce qui prouve l'alignement.

Télécharger la figure GéoPlan sim_cer.g2w
Télécharger la figure GeoGebra sim_cer.ggb (La similitude est la composée d'une rotation de centre A suivie d'une homothétie de centre A et de rapport r₂/r₁. M a pour image M₁ par la rotation, M₁a pour image M’ par l'homothétie.)

Feuille de travail dynamique avec GeoGebra : épreuve pratique

Démonstration avec les angles inscrits, voir : angles inscrits en troisième,
cas particulier de cercles de même rayon, voir : rotation en seconde,
exercice proposé à l'épreuve pratique de terminale S en 2009.

Sur la figure ci-contre, ABCD est un rectangle de sens direct, AEFB et ADGH sont des carrés de sens direct.

1. Le but de cette première question est de démontrer que les droites (AC), (EG) et (FH) sont concourantes.
Pour cela, on note I le point d'intersection des droites (EG) et (FH), pois on introduit :
- l'homothétie h₁ de centre I qui transforme G en E ;
- l'homothétie h₂ de centre I qui transforme F en H.
a) Déterminer l'image de la droite (CG) par l'homothétie h₁ puis par la composée h₂ o h₁.
b) Déterminer l'image de la droite (CF) par l'homothétie h₁ o h₂.
c) Justifier l'égalité h₂ o h₁ = h₁ o h₂.
En déduire que la droite (AC) passe aussi par le point I.

2. On se propose ici de démontrer que la médiane, issue du sommet A du triangle AEH, est une hauteur du triangle ABD.
On note O le milieu du segment [OH].
a) Exprimer le vecteur en fonction des vecteurs et .
b) Exprimer le vecteur en fonction des vecteurs et .
c) Calculer le produit scalaire . et conclure.

3. Dans cette question on étudie la similitude directe s qui transforme A en B et D en A.
On pose AB = 1 et AD = k (k > 0).
a) Déterminer l'angle et le rapport de la similitude s.
b) Déterminer l'image de la droite (BD), puis l'image de la droite (AO) par cette similitude s.
c) En déduire que K, le point d'intersection des droites (BD) et (AO), est le centre de la similitude s.

Télécharger la figure GéoPlan homo_bac.g2w
Médiane de l'un, hauteur de l'autre, variante : deux carrés autour de BOA
Retrouver cette configuration dans : carré au collège
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

3. Deux carrés - Alignement et point de concours

Trois points I, A et G sont alignés si les droites (IA) et (IG) sont perpendiculaires à une même troisième.

On considère deux carrés ABCD et BEFG, extérieurs l'un à l'autre, avec GÎ[BC].
Soit I le point d'intersection des deux segments [CE] et [DF].
Montrer que les points A, G et I sont alignés : les droites (CE), (DF) et (AG) sont concourantes en I.

Une figure riche : les droites (AG), (CE) et (DF) sont concourante en I.
Les angles FÎE, EÎB, BÎA, AÎD et DÎC mesurent 45°.
Le Point I est à l'intersection des cercles circonscrits aux carrés et du cercle de diamètre [AE].
Une similitude de centre I et d'angle transforme ABCD en EFGB.

Solution

La similitude de centre B, de rapport et d'angle transforme E en F, C en D, [EC] en [FD], d'où : (, ) = = (, ) (modulo 2π).

Le point I est cocyclique avec E, F et G sur le cercle de diamètre [EG], d'où : (, ) = (2π).

On a de même, (, ) = = (, ) (2π).

I est cocyclique avec A, C et D sur le cercle de diamètre [AC], d'où : (, ) = (2π).

(IA) et (IG) sont perpendiculaires à (EC) en I ; les points I, G et A sont alignés.

Télécharger la figure GéoPlan deux_carres.g2w
Retrouver cette configuration dans : carré au collège
Problème d'alignement, voir aussi : diamètres de deux cercles sécants

Problèmes sur les configurations

Dossier n^o 17 du CAPES Externe de Mathématiques 2005 - Épreuve sur dossier
Étude de configurations à l'aide de différents outils

L'exercice proposé au candidat :
Dans la figure ci-dessus, le point B est un point du segment [AE] distinct de A et E.
ABCD et BEFG sont des carrés.
On se propose de démontrer, par différentes méthodes, que les droites (AG) et (EC) sont orthogonales.

a. Outil « configurations »
On note I le point d'intersection de (AG) et (EC). Justifier que l'angle AIE est droit et conclure (on pourra considérer le triangle GIE).

b. Outil « produit scalaire »
Calculer . et conclure.

c. Outil « analytique »
Après avoir muni le plan d'un repère orthonormal, montrer que les droites (AG) et (EC) sont orthogonales.

Le travail demandé au candidat
Q.1. Mettre en évidence, à l'aide du logiciel de géométrie dynamique de la calculatrice, la propriété indiquée.
Q.2. Indiquer pour chacun des outils, le niveau où pourrait être donné l'exercice.
Q.3. Proposer une autre méthode de résolution.
Q.4. Proposer un ou plusieurs exercices qui permettent de mettre en jeu plusieurs méthodes pour résoudre un même problème de géométrie plane.

Indications

Pour le « produit scalaire », préférer le calcul vectoriel au calcul sur les coordonnées.

En « analytique » vérifier la relation mm’ = −1 pour les coefficients directeurs des deux droites.

Pour la question Q.3 on peut utiliser :
- les transformations : rotation de centre B ou similitude comme ci-dessus,
- les triangles semblables,
- les complexes.

4. Centre de deux similitudes

ÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2004 - Sujet 17

PARTIE I

Soit ABC un triangle rectangle en B, direct : (, ) =

Soit E un point du segment [AB]. Par le point E on mène une droite (d) qui coupe le segment [AC] en un point F et la droite (BC) en un point G (voir figure ci-contre). On suppose que les points E, F, G sont distincts des points A, B, C.

Le cercle Γ circonscrit au triangle ABC et le cercle Γ’ circonscrit au triangle BEG se coupent en deux points distincts B et K.

• Justifier l'existence d'une similitude plane directe s telle que s(A) = C
  et s(E) = G.
• Déterminer l'angle de s.

Soit Ω le centre de s.

• Montrer que Ω appartient aux cercles Γ et Γ’.
• Prouver que Ω est différent de B.
• Que peut-on en déduire pour Ω ?

Télécharger la figure GéoPlan centre_similitude.g2w

PARTIE II

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; , ) d'unité graphique 2 cm. Les affixes respectives des points A, B, C, E, F et G sont données par :

z_A = 2 + 4i, z_B = −l − 2i, z_C = 3 − 4i, z_E = 0, z_F = 5, z_G = −5.

On admettra que le point F est le point d'intersection du segment [AC] et de la droite (GE) et que les conditions de la partie I sont vérifiées.

Placer ces points sur une figure et, à l'aide des résultats de la partie I, construire le point Ω, centre de la similitude s.

• Soit s’ la similitude plane directe telle que s’(A) = E et s’(C) = G. Déterminer l'écriture complexe de s’ et déterminer l'affixe du centre Ω’ de s’.
• Montrer que les points Ω et Ω’ sont confondus.

Indications

Le centre Ω de la similitude s d'angle est le point K.
Partie 2 : l'écriture complexe de s’ est z’ = az +b avec a = (-1 - 8i)/13 et b = (-30 + 20i)/13
z_Ω’ = − l + 2i, les points Ω et Ω’ sont confondus avec K.

Dans le plan on considère deux segments [AC] et [BD] tels que :
AC = BD et (, ) = − (ABCD est un pseudo-carré).
On désigne par M le milieu de [AC] et par N celui de [BD].
On appelle (c₁), (c₂), (c₃) et (c₄) les cercles de diamètres [AB], [BC], [CD] et [DA].

1.a. Soit r la rotation qui transforme A en B, C en D. Quel est l'angle de r ?
Montrer que le centre I de r appartient aux cercles (c₁) et (c₃).

b. Soit r’ la rotation qui transforme A en D, C en B. Quel est l'angle de r’ ?
Montrer que le centre J de r’ appartient aux cercles (c₂) et (c₄).

c. Quelle est la nature du quadrilatère INJM.

On désigne par P et R les points diamétralement opposés à I sur, respectivement, (c₁) et (c₃) et par Q et S les points diamétralement opposés à J sur, respectivement, (c₂) et (c₄).

2. Soit s la similitude directe de centre I, de rapport et d'angle .
a. Quelles sont les images, par s, des points D, N, B ?
b. En déduire que le point J est le milieu de [PR].

Télécharger la figure GéoPlan quadri_ortho.g2w

1.a. Rotation qui transforme en :
l'angle de la rotation est l'angle des deux vecteurs soit -.
(, ) = −, le centre I est sur le cercle de diamètre [AB] :
le point I est donc sur (c₁).
On montre de même que I est sur (c₃).
b. r’ transforme en . Son angle est et son centre J est l'intersection des cercles (c₂) et (c₄), autre que O.

c. Les rotations r et r’ transforment [AC] en [BD]. Le milieu M de [AC] est transformé en N milieu de [BD].
Pour r : IN = IM et l'angle MIN est droit, pour r’ : JN = JM et l'angle MJN est droit. Les points I et J sont les intersections de la médiatrice de [MN] avec le cercle diamètre [MN].
INJM est un carré.

Comme l'angle MON est droit, le point O est situé sur le cercle de [MN] circonscrit au carré. Dans ce cercle les angles inscrits ION et IMN sont égaux, donc égaux à .

2.a. Dans le carré INJM, IJ = IN avec un angle de . La similitude s transforme N en J.
Dans le cercle (c₁) de diamètre [AB], l'angle ION est l'angle inscrit IOB, comme on vient de le voir au paragraphe précédent, il est égal à . Le point I est le milieu du demi-cercle (AIB). Le point P symétrique de I est aussi le milieu le l'autre demi-cercle (APB).
L'angle inscrit PIB vaut , d'où le triangle rectangle IBP est isocèle.
La similitude s transforme B en P.
On montre de même que IDR est un triangle rectangle isocèle : s transforme D en R.

b. La similitude s transforme B, N, D en P, J, R. Comme N est le milieu de [BD], J est alors le milieu de [PR].

Remarque : on peut aussi montrer que la similitude directe s’ de centre J, de rapport et d'angle transforme A, M, C en S, I, Q.

I est le milieu de [SQ].

On a donc PR = SQ = BD = AC. (PR) et (SQ) sont perpendiculaires et sont les bissectrices de (AC, BD).
On retrouve la configuration de Von Aubel.

Avec l’étude des similitudes directes planes, on vise à la fois une synthèse des études antérieures sur les transformations et une première approche implicite de la structure de groupe. (Remarque : dans les programmes du collège et du lycée, on trouve plus de transformations : ni déplacement, ni homothétie !)

CONTENUS

MODALITÉS DE MISE EN OEUVRE

COMMENTAIRES

Similitudes directes planes

Définition géométrique d'un déplacement, d'une similitude directe.

Caractérisation complexe :
toute similitude directe a une écriture complexe de la forme
z → az + b
(a non nul).

Étude des similitudes directes.

Forme réduite d'une similitude directe.

Les similitudes directes seront introduites comme transformations du plan composées d'une homothétie et d'un déplacement.
On démontrera qu'une similitude directe conserve les rapports de distances et les angles orientés.

On fera remarquer que la réciproque d'une similitude directe est une similitude directe, que la composée de deux similitudes directes est une similitude directe et que, dans le cas général, la composition n'est pas commutative.
On démontrera qu'une similitude directe ayant deux points fixes distincts est l'identité.

On démontrera la propriété suivante : étant donnés quatre point A, B, A’, B’ tels que A ≠ B et A’ ≠ B’, il existe une unique similitude directe transformant A en A’ et B en B’.

Applications géométriques des similitudes directes à l'étude de configurations, la recherche de lieux et la résolution de problèmes de construction.

La définition générale sera illustrée d'une part avec les transformations étudiées antérieurement, d'autre part avec les transformations d'écriture complexe z → az + b ; ces dernières seront amenées progressivement à travers des exemples.

La caractérisation complexe est un moyen efficace d'établir la plupart des propriétés.

Les similitudes indirectes sont hors programme.

TS
Le barycentre
au bac

GéoPlan
Géométrie du cercle

Puissance d'un point par rapport à un cercle

TS
Géométrie plane

TS
Géométrie dans l'espace

GéoSpace en TS
Paraboloïde

Sommaire

1. Alignement et similitude
2. Homothétie, produit scalaire au Bac S
3. Deux carrés
4. Centre de deux similitudes
5. Pseudo-carré
    Bac S Antilles-Guyane – Septembre 2002

Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec la version ActiveX de GéoPlan

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