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Exercices résolus par produit scalaire

Des exemples d'exercices pour l'articulation « première terminale » en série S.

Sommaire

1. Triangle rectangle
2. Côté et angles d'un triangle

3. Angles et aire d'un triangle
4. Hauteur d'un triangle

Page no 104, réalisée le 17/3/2007

1S
Produit scalaire

1L
Construction de triangles

TS
Problèmes d'optimisation

GéoPlan en 4e
Pythagore

TS
Similitude

Faire de la géométrie dynamique

1. Triangle rectangle

Triangle rectangleSoit ABC un triangle rectangle en A. On désigne par A’ le milieu de [BC], par H le pied de la hauteur, issue de A, et par I et J les projetés orthogonaux de H respectivement sur (AB) et (AC).

a. Démontrer que vect(AB).vect(IJ) = − vect(AB).vect(AH).
b. Démontrer que les droites (AA’) et (IJ) sont perpendiculaires.

Solution

a. La projection de vect(IJ) sur (AB) est vect(IA), donc vect(AB).vect(IJ) = vect(AB).vect(IA) = - vect(AB).vect(AI).
La projection de vect(AH) sur (AB) est vect(AI), donc vect(AB).vect(AH) = vect(AB).vect(AI).
On a bien vect(AB).vect(IJ) = − vect(AB).vect(AH) = − vect(AB).vect(AI).

b. On montre, de même, que vect(AC).vect(JI) = − vect(AC).vect(AH).

La forme vectorielle du théorème de la médiane, dans le triangle ABC, permet d'écrire :
2vect(AA') = vect(AB) + vect(AC).
Calculons le produit scalaire : 2vect(AA').vect(IJ) = (vect(AB) + vect(AC)).vect(IJ) = - vect(AB).vect(AH) + vect(AC).vect(AH) = (- vect(AB) + vect(AC)).vect(AH) = (vect(BA) + vect(AC)).vect(AH) = vect(BC).vect(AH) = 0, car la hauteur (AH) est perpendiculaire à (BC).
Le produit scalaire vect(AA').vect(IJ) est nul, les droites (AA’) et (IJ) sont perpendiculaires.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_rect.g2w

2. Construire un triangle connaissant les longueurs de deux côtés et l'angle compris entre ces deux côtés

Construire un triangle connaissant deux côtés un anglea) Construire un triangle ABC tel que AB = 7 cm, AC = 8 cm et l'angle BÂC mesure 80°.

b) Calculer BC et les mesures des deux autres angles.

Indication

Construction à la « règle et au compas » avec GéoPlan - explications avec report d'angle - voir : construction de triangle

Calcul du côté BC avec la relation d'Al-Kashi :
a² = b² + c² - 2 b c cos(Â)
Puis des angles avec cos C = Cos C.

Commandes GéoPlan

Cliquer dans la figure et faire varier les longueurs des côtés en cliquant sur b ou c ou l'angle en déplaçant les points x ou y.

Taper A pour un angle d'exactement 80°.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tri_2cotes_1angle.g2w

Application :

ABC est un triangle tel que : AB = 4, AC = 3 et BÂC = 62°. Déterminer BC.

3. Angles et aire d'un triangle

Angles et aire d'un triangleOn considère dans le plan rapporté à un repère orthonormal les points A(1; 2), B(3; 4) et C(4; 0).

Déterminer des valeurs approchées des angles du triangle ABC. Calculer l'aire de ce triangle.

GéoPlan plan trouve une aire de 5 !

g2w Télécharger la figure GéoPlan angle_tr.g2w

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique


4. Construire un triangle connaissant la longueur d'un côté et les deux angles qui lui sont adjacents

Construire un triangle connaissant la longueur d'un côté et les deux angles qui lui sont adjacentsÉtant donné un segment [AB] de longueur c, deux angles xÎy et zJt, construire un triangle ABC tel que BÂC = xÎy et ABC = zJt.

On considère un triangle ABC tel que : AB = 1, BÂC = 15° et ABC = 30°.

Soit H le pied de la hauteur, issue de C.

Calculer CH.

Indications

Calculer les côtés AC et BC avec la relation d'Al-Kashi et la hauteur avec, par exemple, la relation :
AC × BC = AB × CH (voir triangle rectangle)


Commandes GéoPlan

Faire varier la longueur des côtés en cliquant sur c
ou les angles en déplaçant x ou y ; z ou t.

Taper I pour initialiser les paramètres : AB = 1, BÂC = 15° et ABC = 30°

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Géométrie dynamique en 1S

GéoSpace
Produit scalaire

1S
Produit scalaire

GéoPlan
Le barycentre

Construire un pentagone régulier

Angles
Rotations

Sommaire

1. Triangle rectangle
2. Côté et angles d'un triangle
3. Angles et aire d'un triangle
4. Hauteur d'un triangle

creem Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec Internet Explorer et la version ActiveX de GéoPlan

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