Théorèmes de Desargues, de Pappus. Division harmonique ; trapèze et quadrilatère complets : droite de Newton et point de Miquel.
Sommaire1. Configuration du trapèze complet |
Géométrie euclidienne a. Droite de Newton d'un quadrilatère complet Page no 46, réalisée le 21/6/2003, modifiée le 30/4/2011 | ||||
Épreuve pratique de terminale S |
Les problèmes du BOA : triangles |
Les problèmes du BOA : carrés |
GéoPlan |
GéoPlan |
Polaire d'une droite ou d'un cercle |
DéfinitionsGirard Desargues (Lyonnais 1591-1661) est le créateur de la géométrie projective, étude de propriétés qui se conservent par projection centrale : alignement, point de concours, contact et birapport. Intuitivement la droite projective est une droite affine complétée par un point, appelé point à l'infini. Elle est en bijection avec R È {∞} (à ne pas confondre avec R È {- ∞, + ∞}). Le plan projectif est un plan affine complété par la droite de l'infini, réunion des points à l'infini des droites de ce plan. Le plan projectif est associé au groupe des transformations projectives qui conservent alignement, concours, division harmonique et birapport. Ces notions ne sont plus enseignées au lycée. Nous donnons ici quelques exemples d'alignements et de point de concours. 1. Configuration du trapèze completTrapèze completDéfinition : Un trapèze complet est un quadrilatère complet dont un des sommets est un point à l'infini Un trapèze complet (qui n'est pas un parallélogramme) est formé de quatre droites du plan, deux droites parallèles et deux sécantes coupant les parallèles en quatre points. Remarque : un trapèze est un quadrilatère, possédant au moins deux côtés opposés parallèles. Un parallélogramme est un cas particulier de trapèze. Un parallélogramme est un trapèze complet dont deux des sommets sont des points à l'infini. Théorème du trapèzeDans un trapèze (qui n'est pas un parallélogramme), la droite joignant le point d'intersection des côtés non parallèles au point d'intersection des diagonales, passe par les milieux des côtés parallèles. ActivitéA, B et C sont trois points du plan ; D est un point sur la parallèle à (AB) passant par C. ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD] ayant pour milieux I et J. Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en O. Les droites (BC) et (AD) se coupent en P. Montrer que les points I, J, O et P sont alignés. Démonstration avec l'homothétie Utiliser les propriétés des homothéties transformant le segment [AB] en [CD]. Réciproque : CDP est un triangle, J est le milieu de [CD], O est un point de la droite (PJ) distinct de P, de J et du
symétrique de J par rapport à P. Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles et que I, intersection de (AB) et (PJ), est le milieu de [AB]. |
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Démonstration avec des barycentres Il existe un nombre k différent de 0, 1 et -1 tel que le vecteur = − k , soit 2 + 2k = . D'après la règle d'associativité des barycentres, on trouve que l'intersection A de (PD) avec (CO) est le
barycentre partiel de (P, 2k) et (D, 1) En calculant à partir de P, dans les formules 2 et 3, on trouve (2k + 1) = et (2k + 1) = , De même, en calculant à partir de D, dans la formule 2, on trouve (2k + 1) + 2k = ; D est le barycentre de (A, 2k + 1) et (P, -2k). La formule vectorielle de Leibniz (α + β) = α + b ,
en plaçant M en O, permet d'écrire = (2k + 1) - 2k Des calculs similaires avec la formule 3, à partir du point C, permettent d'écrire (2k + 1) + 2k = ; En remplaçant ces deux derniers résultats dans la formule 1, on trouve - (2k + 1) - (2k + 1) + 2k = ; Sommaire 2. PappusPappus d'Alexandrie (vers l'an 300) Théorème de Pappus : Soit (d) et (d’) deux droites du plan projectif ayant O comme point d'intersection ; A, B et C trois points de d) distincts de O ; A’, B’ et C’ trois points de (d’) distincts de O. Les points d'intersection A1, B1 et C1 sont alignés (voir figure). Remarque : on trouve diverses formes de ce théorème en géométrie affine en tenant compte que deux droites du plan projectif, toujours concourantes, correspondent à deux droites sécantes ou parallèles du plan affine. En géométrie affine, voir le cas particulier où (AB’)//(A’B) : TP Cabri en troisième D'après le théorème de Pascal, pour un hexagone inscrit dans une conique, les points d'intersection des côtés opposés de l'hexagone, s'ils existent, sont alignés. Les deux droites (d) et (d’) peuvent être considérées comme une conique dégénérée : pour l'hexagramme AB’CA’BC’, le théorème de Pappus-Pascal affirme l'alignement des points A1, B1 et C1. | |
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Parallélogramme de Pappus : homothétie Démonstration de Pappus : Pythagore |
3. DesarguesDesargues Girard - Géomètre français 1591-1661 Théorème de Desargues (forme forte) Soit ABC et A’B’C’ deux triangles (d'un espace projectif) ayant leurs sommets deux à deux distincts. Si les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes, alors les points de concours A1, B1 et C1 sont alignés. Télécharger la figure GéoPlan desargue.g2w Réciproque, voir : |
Figure dessinée dans le plan, que l'«on voit » comme la représentation en perspective d'une figure de l'espace A’B’C’ dans le « plan horizontal », | Même figure dépouillée des plans permettant de « voir » dans l'espace Télécharger la figure GéoPlan thm_desargues.g2w Commande GéoPlan |
Desargues transgresse une des règles d'Euclide qui est de démontrer une propriété de géométrie plane dans le seul cadre de la géométrie plane. Il peut être considéré comme l'inventeur de la méthode des transformations permettant des démonstrations par transfert de propriété. Il utilise l'espace pour la visualisation d'un problème plan : Imaginons que la figure ci-dessus soit une représentation de l'espace : Théorème de Desargues dans l'espace Ces figures s'appliquent, dans l'espace, à deux triangles non coplanaires. |
Visualisation d'une pyramide de sommet O et de base A’B’C’ coupée par le plan (ABC). Télécharger la figure GéoPlan desargues_pyramide.g2w |
Géométrie affine Remarque : des droites concourantes dans un espace projectif correspondent à des droites sécantes ou parallèles dans un espace affine. En géométrie affine, on trouvera plusieurs énoncés du théorème tenant compte de ce fait : Théorème de Desargues (forme faible dans le plan affine) Soient (d1), (d2) et (d3) trois droites concourantes (ou parallèles) et soient ABC et A’B’C’ deux triangles non plats tels que : Si (AB)//(A’B’) et (BC)//(B’C’) alors (AC)//(A’C’). Télécharger la figure GéoPlan desargues.g2w Voir ce cas particulier où les triangles ont deux distincts côtés parallèles dans TP Cabri en troisième – La droite (A1B1) est alors la droite de l'infini. Réciproque Soient ABC et A’B’C’ deux triangles non plats, tels que (AB)//(A’B’), (BC)//(B’C’) et (AC)//(A’C’), Autre formulation : deux triangles, ayant leurs côtés deux à deux parallèles, sont homothétiques ou translatés l'un de l'autre. 4. a. Division harmoniqueDéfinitions : quatre points distincts alignés A, B, C, D sont en division harmonique si et seulement si on a l'une des quatre relations équivalentes : relation de Descartes : ; relation de Newton : IA2 = IB2 = . où I est le milieu de [AB] ; relation de Mac-Laurin : . = . où J est le milieu de [CD]. Birapport de quatre points alignés : c'est nombre noté [A, B, C, D]. Si quatre points alignés A, B, C, D forment une division harmonique, le birapport est égal à − 1 et on note [A, B, C, D] = −1. | |
Voir : polaire d'une droite ou d'un cercle |
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b. Quadrilatère completDéfinition : un quadrilatère complet est formé de quatre droites du plan se coupant, deux à deux, en six points. Remarques : deux des points peuvent être « à l'infini ». Le quadrilatère est alors un parallélogramme. L'étude de ce cas particulier ne présente pas d'intérêt dans le plan projectif. | |
Télécharger la figure GéoPlan quadri_complet.g2w (quadrilatère nu) |
Télécharger la figure GéoPlanquadri_complet_diag.g2w (quadrilatère avec les diagonales) |
Dans la suite de cet article nous considérons le quadrilatère complet strict où deux quelconques des quatre droites ne sont pas parallèles, trois quelconques ne sont concourantes : A, B, C et D sont quatre points du plan formant un quadrilatère convexe (qui n'est pas un trapèze), les droites (AB) et (CD) se coupent en E, puis (AD) et (BC) en F. Les quatre droites (AB), (AD), (CB) et (CD) déterminent un quadrilatère complet ayant les six sommets A, B, C, D, E et F. Les trois droites (AC), (BD) et (EF) sont les diagonales du quadrilatère complet, leurs points d'intersection I, J, K sont les points diagonaux. Le quadrilatère complet est à distinguer du quadrangle complet qui a quatre sommets, six côtés et trois points diagonaux. Dans un espace projectif, le dual d'un quadrilatère complet est un quadrangle et réciproquement. | |
Sommaire |
a. Droite de NewtonDans la suite de ces paragraphes, les quatre droites (AB), (AD), (CB) et (CD) déterminent un quadrilatère complet de sommets A, B, C, D, E et F. Les milieux I, J et K des diagonales sont alignés (Théorème de Newton). Télécharger la figure GéoPlan qua_com1.g2w Démonstration : Soit G et H les points définis par = et = Soit h1 l'homothétie de centre F qui transforme B en C, et h2 l'homothétie de centre F qui transforme D en A. h3 = h2 o h1 et h4 = h1 o h2 L'image de (BG) par h1 est (DC), l'image de (DC) par h2 est (AH), donc l'image de (BG) par h3 est (AH). De même, l'image de (DG) par h4 est (CH). La composition des homothéties de même centre est commutative : h3 = h4 est une homothétie de centre F. D'où l'image de G par h3 est H ; les points F, G et H sont alignés. Comme = , EDGB est un parallélogramme de centre J ; EJ = EG/2. = , ECHA est un parallélogramme de centre I ; EI = EH/2. L'homothétie de centre E et de rapport transforme F en K, G en J, H en I. Comme les points F, G, H sont alignés ; les transformés I, J, K sont donc alignés. Télécharger la figure GéoPlan qua_com9.g2w |
Les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère complet se coupent en M : Commande GéoPlan : taper M pour effacer/afficher ces alignements. De même, on trouve que si les diagonales [AC] et [EF] se coupent en N : Commande GéoPlan : taper N pour afficher/effacer ces alignements. Enfin, si les diagonales [BD] et [EF] se coupent en O : Commande GéoPlan : taper la lettre O pour afficher/effacer ces alignements. Télécharger la figure GéoPlan qua_com3.g2w Sommaire |
Les milieux I de [ME], J de [AD] et K de [BC] sont alignés. |
Les milieux de [NB], de [AF] et de [CE] sont alignés ; |
Les milieux de [OA], de [BF] et de [DE] sont alignés ; |
c. Point de MiquelLes quatre cercles circonscrits aux triangles ABF, ADE, BCE et CDF formés par les sommets du quadrilatère complet, pris trois à trois, sont concourants en M, point de Miquel du quadrilatère complet. Télécharger la figure GéoPlan qua_comp.g2w Quadrilatère complet, point de Miquel et points cocycliques : angle-rotation |
d. Alignement des orthocentresLes quatre triangles ABF, ADE, BCE et CDF formés par les côtés du quadrilatère complet pris trois à trois ont leurs orthocentres alignés sur une droite orthogonale à la droite de Newton qui passe par le milieu des diagonales. Télécharger la figure GéoPlan qua_com4.g2w Démonstration avec un axe radical : géométrie du cercle |
Dans un triangle, une ménélienne est une droite (transversale) ne passant pas par un des sommets. Dans un triangle ABC, une ménélienne (d) rencontre les droites latérales (BC), (CA) et (AB) respectivement aux points P, Q et R, distincts des sommets. Alors les points I, J et K sont alignés sur la droite de Newton du triangle ABC, associée à la transversale (d). |
La ménélienne rencontre deux côtés du triangle ABC |
La ménélienne ne rencontre aucun des côtés du triangle |
Les quatre droites (AB), (AC), (PC) et (PQ), définissent un quadrilatère complet admettant, pour sommets, les six points A, B, C, P, Q et R. | |
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Feuille de travail dynamique avec GeoGebra : droite de Newton |
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Angles |
Construire un pentagone régulier |
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Faire de la géométrie dynamiqueSuggestions, remarques, problèmes : me contacter. |
Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec Internet Explorer et la version ActiveX de GéoPlan |