Le plan projectif

Théorèmes de Desargues, de Pappus. Division harmonique ; trapèze et quadrilatère complets : droite de Newton et point de Miquel.

Sommaire

1. Configuration du trapèze complet
2. Pappus
3. Desargues
4. a. Division harmonique
b. Quadrilatère complet

Géométrie euclidienne

a. Droite de Newton d'un quadrilatère complet
b. Droites des milieux
c. Point de Miquel
d. Alignement des orthocentres
e. Droite de Newton d'un triangle

Page n^o 46, réalisée le 21/6/2003, modifiée le 30/4/2011

Épreuve pratique de terminale S

Les problèmes du BOA : triangles

Les problèmes du BOA : carrés

GéoPlan
Lieux géométriques

GéoPlan
Le barycentre

Polaire d'une droite ou d'un cercle

Définitions

Girard Desargues (Lyonnais 1591-1661) est le créateur de la géométrie projective, étude de propriétés qui se conservent par projection centrale : alignement, point de concours, contact et birapport.

Intuitivement la droite projective est une droite affine complétée par un point, appelé point à l'infini. Elle est en bijection avec R È {∞} (à ne pas confondre avec R È {- ∞, + ∞}).

Le plan projectif est un plan affine complété par la droite de l'infini, réunion des points à l'infini des droites de ce plan.
Dans le plan projectif, deux droites parallèles ont en commun un point à l'infini (point de fuite sur la ligne d'horizon en perspective).
De cette façon, deux droites distinctes du plan projectif ont toujours un point commun.

Le plan projectif est associé au groupe des transformations projectives qui conservent alignement, concours, division harmonique et birapport.

Ces notions ne sont plus enseignées au lycée. Nous donnons ici quelques exemples d'alignements et de point de concours.

1. Configuration du trapèze complet

Trapèze complet

Définition : Un trapèze complet est un quadrilatère complet dont un des sommets est un point à l'infini

Un trapèze complet (qui n'est pas un parallélogramme) est formé de quatre droites du plan, deux droites parallèles et deux sécantes coupant les parallèles en quatre points.
Le trapèze complet (strict) a quatre côtés, cinq sommets (les quatre sommets du trapèze et le point d'intersection des côtés non parallèles), deux diagonales et un point diagonal.

Remarque : un trapèze est un quadrilatère, possédant au moins deux côtés opposés parallèles. Un parallélogramme est un cas particulier de trapèze. Un parallélogramme est un trapèze complet dont deux des sommets sont des points à l'infini.

Théorème du trapèze

Dans un trapèze (qui n'est pas un parallélogramme), la droite joignant le point d'intersection des côtés non parallèles au point d'intersection des diagonales, passe par les milieux des côtés parallèles.

Activité

A, B et C sont trois points du plan ; D est un point sur la parallèle à (AB) passant par C.

ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD] ayant pour milieux I et J. Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en O. Les droites (BC) et (AD) se coupent en P.

Montrer que les points I, J, O et P sont alignés.

Démonstration avec l'homothétie

Utiliser les propriétés des homothéties transformant le segment [AB] en [CD].

Réciproque : CDP est un triangle, J est le milieu de [CD], O est un point de la droite (PJ) distinct de P, de J et du symétrique de J par rapport à P.
(CO) coupe (PD) en A et (DO) coupe (PC) en B.

Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles et que I, intersection de (AB) et (PJ), est le milieu de [AB].

Télécharger la figure GéoPlan trapeze.g2w
Télécharger la figure GeoGebra trapeze_complet.ggb

feuille de travail dynamique

Démonstration avec des barycentres

Il existe un nombre k différent de 0, 1 et -1 tel que le vecteur = − k , soit 2 + 2k = .
O est le barycentre de (P, 2k) et (J, 2).
Comme J est milieu de [CD], le théorème de la médiane dans le triangle OCD permet d'écrire :
+ = 2 donc + + 2k = (formule 1) ;
O est le barycentre de (P, 2k) ; (C, 1) et (D, 1).

D'après la règle d'associativité des barycentres, on trouve que l'intersection A de (PD) avec (CO) est le barycentre partiel de (P, 2k) et (D, 1)
et aussi que B est le barycentre partiel de (P, 2k) et (C, 1) ;
donc 2k + = et 2k + = (formules 2 et 3).

En calculant à partir de P, dans les formules 2 et 3, on trouve (2k + 1) = et (2k + 1) = ,
d'où en faisant la différence de ces deux égalités, on trouve (2k + 1) = . Ces deux derniers vecteurs sont colinéaires et (AB) // (CD).

De même, en calculant à partir de D, dans la formule 2, on trouve (2k + 1) + 2k = ;

D est le barycentre de (A, 2k + 1) et (P, -2k).

La formule vectorielle de Leibniz (α + β) = α + b , en plaçant M en O, permet d'écrire = (2k + 1) - 2k
et en remplaçant dans la formule 1 on obtient : + (2k + 1) = : O est le barycentre de (C, 1) et (A, 2k + 1).

Des calculs similaires avec la formule 3, à partir du point C, permettent d'écrire (2k + 1) + 2k = ;
C est le barycentre de (B, 2k + 1) et (P, -2k) : + (2k + 1) = : O est le barycentre de (D, 1) et (B, 2k + 1).

En remplaçant ces deux derniers résultats dans la formule 1, on trouve - (2k + 1) - (2k + 1) + 2k = ;
O est le barycentre de (A, 2k + 1) ; (B, 2k + 1) et (P, -2k). D'après la règle d'associativité des barycentres on trouve que le point d'intersection I de (PO) avec (AB) est le barycentre partiel de (A, 2k + 1) et (B, 2k + 1). Les deux coefficients étant égaux, le point I est le milieu de [AB].

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

2. Pappus

Pappus Pappus d'Alexandrie (vers l'an 300)

Théorème de Pappus :

Soit (d) et (d’) deux droites du plan projectif ayant O comme point d'intersection ; A, B et C trois points de d) distincts de O ; A’, B’ et C’ trois points de (d’) distincts de O.

Les points d'intersection A₁, B₁ et C₁ sont alignés (voir figure).

Remarque : on trouve diverses formes de ce théorème en géométrie affine en tenant compte que deux droites du plan projectif, toujours concourantes, correspondent à deux droites sécantes ou parallèles du plan affine.

En géométrie affine, voir le cas particulier où (AB’)//(A’B) : TP Cabri en troisième
(La droite (A₁B₁) est alors la droite de l'infini.)

D'après le théorème de Pascal, pour un hexagone inscrit dans une conique, les points d'intersection des côtés opposés de l'hexagone, s'ils existent, sont alignés.

Les deux droites (d) et (d’) peuvent être considérées comme une conique dégénérée : pour l'hexagramme AB’CA’BC’, le théorème de Pappus-Pascal affirme l'alignement des points A₁, B₁ et C₁.

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Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Parallélogramme de Pappus : homothétie
Figure de Pappus : Thalès

Démonstration de Pappus : Pythagore
Le problème de Pappus

3. Desargues

Théorème de Desargues Desargues Girard - Géomètre français 1591-1661

Théorème de Desargues (forme forte)

Soit ABC et A’B’C’ deux triangles (d'un espace projectif) ayant leurs sommets deux à deux distincts.

Si les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes, alors les points de concours A₁, B₁ et C₁ sont alignés.

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Réciproque, voir :
– joindre deux points d'une droite avec une règle trop courte ;
– le point de concours de deux droites étant situé hors de la feuille, construire une droite passant par cette intersection inaccessible.

Démonstration historique « par le relief » avec une perspective de centre O, à la façon de Desargues (1637)

Figure dessinée dans le plan, que l'«on voit » comme la représentation en perspective d'une figure de l'espace

Théorème de Desargues avec perspective

A’B’C’ dans le « plan horizontal »,
ABC dessiné dans un « plan vertical »,
l'œil du peintre étant situé en O.

Même figure dépouillée des plans permettant de « voir » dans l'espace

Théorème de Desargues avec perspective

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Commande GéoPlan
Taper P pour effacer/afficher les Plans permettant que l'«on voit » les triangles comme la représentation en perspective d'une figure de l'espace.

Desargues transgresse une des règles d'Euclide qui est de démontrer une propriété de géométrie plane dans le seul cadre de la géométrie plane.

Il peut être considéré comme l'inventeur de la méthode des transformations permettant des démonstrations par transfert de propriété.

Il utilise l'espace pour la visualisation d'un problème plan :

Imaginons que la figure ci-dessus soit une représentation de l'espace :
le triangle ABC est l'image en perspective du triangle A’B’C’.
Les points A₁, B₁ et C₁ sont alignés sur la ligne de terre, droite d'intersection des plans (ABC) et (A’B’C’).

Théorème de Desargues dans l'espace

Ces figures s'appliquent, dans l'espace, à deux triangles non coplanaires.
Pour deux triangles coplanaires, on utilise une figure en perspective.

Visualisation d'une pyramide de sommet O et de base A’B’C’ coupée par le plan (ABC).

Desargues par le relief

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Géométrie affine Remarque : des droites concourantes dans un espace projectif correspondent à des droites sécantes ou parallèles dans un espace affine. En géométrie affine, on trouvera plusieurs énoncés du théorème tenant compte de ce fait : Théorème de Desargues (forme faible dans le plan affine) Soient (d₁), (d₂) et (d₃) trois droites concourantes (ou parallèles) et soient ABC et A’B’C’ deux triangles non plats tels que : A et A’ soient sur (d₁) ; B et B’ sur (d₂) ; C et C’ sur (d₃). Si (AB)//(A’B’) et (BC)//(B’C’) alors (AC)//(A’C’). Télécharger la figure GéoPlan desargues.g2w Voir ce cas particulier où les triangles ont deux distincts côtés parallèles dans TP Cabri en troisième – La droite (A₁B₁) est alors la droite de l'infini. Réciproque Soient ABC et A’B’C’ deux triangles non plats, tels que (AB)//(A’B’), (BC)//(B’C’) et (AC)//(A’C’), alors les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes ou parallèles. Autre formulation : deux triangles, ayant leurs côtés deux à deux parallèles, sont homothétiques ou translatés l'un de l'autre. 4. a. Division harmonique Définitions : quatre points distincts alignés A, B, C, D sont en division harmonique si et seulement si on a l'une des quatre relations équivalentes : définition : = − ; relation de Descartes : ; relation de Newton : IA² = IB² = . où I est le milieu de [AB] ; relation de Mac-Laurin : . = . où J est le milieu de [CD]. Birapport de quatre points alignés : c'est nombre noté [A, B, C, D]. Si quatre points alignés A, B, C, D forment une division harmonique, le birapport est égal à − 1 et on note [A, B, C, D] = −1.
Voir : polaire d'une droite ou d'un cercle
b. Quadrilatère complet Définition : un quadrilatère complet est formé de quatre droites du plan se coupant, deux à deux, en six points. Remarques : deux des points peuvent être « à l'infini ». Le quadrilatère est alors un parallélogramme. L'étude de ce cas particulier ne présente pas d'intérêt dans le plan projectif. Si uniquement un des points est à l'infini, on obtient un trapèze complet.
Télécharger la figure GéoPlan quadri_complet.g2w (quadrilatère nu) Télécharger la figure GeoGebra quadrilatere_complet.ggb	Télécharger la figure GéoPlanquadri_complet_diag.g2w (quadrilatère avec les diagonales) Télécharger la figure GeoGebra quadri_complet_diag.ggb
Dans la suite de cet article nous considérons le quadrilatère complet strict où deux quelconques des quatre droites ne sont pas parallèles, trois quelconques ne sont concourantes : A, B, C et D sont quatre points du plan formant un quadrilatère convexe (qui n'est pas un trapèze), les droites (AB) et (CD) se coupent en E, puis (AD) et (BC) en F. Les quatre droites (AB), (AD), (CB) et (CD) déterminent un quadrilatère complet ayant les six sommets A, B, C, D, E et F. Les trois droites (AC), (BD) et (EF) sont les diagonales du quadrilatère complet, leurs points d'intersection I, J, K sont les points diagonaux. Le quadrilatère complet est à distinguer du quadrangle complet qui a quatre sommets, six côtés et trois points diagonaux. Dans un espace projectif, le dual d'un quadrilatère complet est un quadrangle et réciproquement.
feuille de travail dynamique	Sommaire Faire de la géométrie dynamique

Géométrie euclidienne

a. Droite de Newton

Dans la suite de ces paragraphes, les quatre droites (AB), (AD), (CB) et (CD) déterminent un quadrilatère complet de sommets A, B, C, D, E et F.
[AC], [BD] et [EF] sont les diagonales du quadrilatère complet.

Les milieux I, J et K des diagonales sont alignés (Théorème de Newton).
La droite qui porte les points I, J, K est dite droite de Newton du quadrilatère complet.

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Démonstration :

Soit G et H les points définis par = et =

Soit h₁ l'homothétie de centre F qui transforme B en C, et h₂ l'homothétie de centre F qui transforme D en A.

h₃ = h₂ o h₁ et h₄ = h₁ o h₂

L'image de (BG) par h₁ est (DC), l'image de (DC) par h₂ est (AH), donc l'image de (BG) par h₃ est (AH). De même, l'image de (DG) par h₄ est (CH).

La composition des homothéties de même centre est commutative : h₃ = h₄ est une homothétie de centre F. D'où l'image de G par h₃ est H ; les points F, G et H sont alignés.

Comme = , EDGB est un parallélogramme de centre J ; EJ = EG/2.

= , ECHA est un parallélogramme de centre I ; EI = EH/2.

L'homothétie de centre E et de rapport transforme F en K, G en J, H en I.

Comme les points F, G, H sont alignés ; les transformés I, J, K sont donc alignés.

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b. Droites des milieux

Les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère complet se coupent en M :
• Les milieux I de [ME], J de [AD] et K de [BC] sont alignés.
• De même, les milieux L de [MF], P de [AB] et Q de [CD] sont aussi alignés.

Commande GéoPlan : taper M pour effacer/afficher ces alignements.

De même, on trouve que si les diagonales [AC] et [EF] se coupent en N :
• Les milieux de [NB], de [AF] et de [CE] sont alignés ;
• ainsi que les milieux de [ND], de [AE] et de [CF].

Commande GéoPlan : taper N pour afficher/effacer ces alignements.

Enfin, si les diagonales [BD] et [EF] se coupent en O :
• Les milieux de [OA], de [BF] et de [DE] sont alignés ;
• ainsi que les milieux de [OC], de [BE] et de [DF].

Commande GéoPlan : taper la lettre O pour afficher/effacer ces alignements.

Télécharger la figure GéoPlan qua_com3.g2w

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Droites des milieux

Les milieux I de [ME], J de [AD] et K de [BC] sont alignés.
De même, les milieux L de [MF], P de [AB] et Q de [CD] sont aussi alignés.

Droites des milieux

Les milieux de [NB], de [AF] et de [CE] sont alignés ;
ainsi que les milieux de [ND], de [AE] et de [CF].

Droites des milieux

Les milieux de [OA], de [BF] et de [DE] sont alignés ;
ainsi que les milieux de [OC], de [BE] et de [DF].

c. Point de Miquel

Les quatre cercles circonscrits aux triangles ABF, ADE, BCE et CDF formés par les sommets du quadrilatère complet, pris trois à trois, sont concourants en M, point de Miquel du quadrilatère complet.

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Feuille de travail dynamique avec GeoGebra : angles - rotation

Quadrilatère complet, point de Miquel et points cocycliques : angle-rotation
Autres cercles concourants, démonstration de Miquel, voir : triangles de Napoléon

d. Alignement des orthocentres

Les quatre triangles ABF, ADE, BCE et CDF formés par les côtés du quadrilatère complet pris trois à trois ont leurs orthocentres alignés sur une droite orthogonale à la droite de Newton qui passe par le milieu des diagonales.

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Démonstration avec un axe radical : géométrie du cercle

e. Droite de Newton d'un triangle

Dans un triangle, une ménélienne est une droite (transversale) ne passant pas par un des sommets.

Dans un triangle ABC, une ménélienne (d) rencontre les droites latérales (BC), (CA) et (AB) respectivement aux points P, Q et R, distincts des sommets.
Soit I, J et K, les milieux respectifs des segments [AP], [BQ] et [CR].

Alors les points I, J et K sont alignés sur la droite de Newton du triangle ABC, associée à la transversale (d).

La ménélienne rencontre deux côtés du triangle ABC

Droite de Newton d'un triangle

La ménélienne ne rencontre aucun des côtés du triangle

wton d'un triangle

Les quatre droites (AB), (AC), (PC) et (PQ), définissent un quadrilatère complet admettant, pour sommets, les six points A, B, C, P, Q et R. Les points I, J et K sont alignés sur la droite de Newton de ce quadrilatère complet.
Télécharger la figure GéoPlan droite_newton.g2w Télécharger la figure GeoGebra droite_newton.ggb	Feuille de travail dynamique avec GeoGebra : droite de Newton

GéoPlan
Le barycentre

GéoPlan
Minimum-maximum

GéoPlan
Pythagore

Angles
Rotations

Construire un pentagone régulier

GéoPlan 1S

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