Le plan projectif - Figures interactives avec GéoPlan Théorèmes de Desargues, Pappus. Polaire ; trapèze et quadrilatère complets : droite de Newton et point de Miquel.

…avec GéoPlan

Définitions

Girard Desargues (Français 1591-1661) est le créateur de la géométrie projective, étude de propriétés qui se conservent par projection centrale : alignement, point de concours et birapport.

Intuitivement la droite projective est une droite affine complétée par un point, appelé point à l'infini. Elle est en bijection avec R È {∞} (à ne pas confondre avec R È {-∞, +∞}).

Le plan projectif est un plan affine complété par des points à l'infini de façon à ce que deux droites distinctes aient un point commun.

La division harmonique et le birapport ne sont plus enseignés au lycée. Nous donnons ici quelques exemples d'alignements et de point de concours.
Les étudiants du CAPES et les professeurs du secondaire trouveront la théorie des espaces projectifs en particulier dans :
Carrega J.-C. - Théorie des corps : la règle et le compas - Hermann 2001
Ladegaillerie Yves - Géométrie pour le CAPES - Ellipses 2003

1. Configuration du trapèze complet

Trapèze complet

Définition : Un trapèze complet est un quadrilatère complet dont un des sommets est un point à l'infini

Un trapèze complet (qui n'est pas un parallélogramme) est formé de quatre droites du plan, deux droites parallèles et deux sécantes coupant les parallèles en quatre points.
Le trapèze complet (strict) a quatre côtés, cinq sommets (les quatre sommets du trapèze et le point d'intersection des côtés non parallèles), deux diagonales et un point diagonal.

Remarque : un trapèze est un quadrilatère, possédant au moins deux côtés opposés parallèles. Un parallélogramme est un cas particulier de trapèze. Un parallélogramme est un trapèze complet dont deux des sommets sont des points à l'infini.

Théorème du trapèze

Dans un trapèze (qui n'est pas un parallélogramme), la droite joignant le point d'intersection des côtés non parallèles au point d'intersection des diagonales, passe par les milieux des côtés parallèles.

Activité

A, B et C sont trois points libres du plan ; D est un point libre sur la parallèle à (AB) passant par C.

ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD] ayant pour milieux I et J. Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en O. Les droites (BC) et (AD) se coupent en P.

Montrer que les points I, J, O et P sont alignés.

Démonstration avec l'homothétie

Utiliser les propriétés des homothéties transformant le segment [AB] en [CD].

Réciproque : CDP est un triangle, J le milieu de [CD], O un point de la droite (PJ) distinct de P, de J et du symétrique de J par rapport à P.
(CO) coupe (PD) en A et (DO) coupe (PC) en B.

Montrer que la droite (AB) et (CD) sont parallèles et que le point I, intersection de (AB) et (PJ), est le milieu de [AB].

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Feuille de travail dynamique avec GeoGebra : plan projectif

Démonstration avec des barycentres

Il existe un nombre k différent de 0, 1 et -1 tel que le vecteur = − k , soit 2 + 2k = .
O est le barycentre de (P, 2k) et (J, 2).
Comme J est milieu de [CD], le théorème de la médiane dans le triangle OCD permet d'écrire :
+ = 2 donc + + 2k = (formule 1) ;
O est le barycentre de (P, 2k) ; (C, 1) et (D, 1).

D'après la règle d'associativité des barycentres, on trouve que l'intersection A de (PD) avec (CO) est le barycentre partiel de (P, 2k) et (D, 1) et aussi que B est le barycentre partiel de (P, 2k) et (C, 1) ;
donc 2k + = et 2k + = (formules 2 et 3).

En calculant à partir de P, dans les formules 2 et 3, on trouve (2k + 1) = et (2k + 1) = ,
d'où en faisant la différence de ces deux égalités, on trouve (2k + 1) = . Ces deux derniers vecteurs sont colinéaires et (AB) // (CD).

De même, en calculant à partir de D, dans la formule 2, on trouve (2k + 1) + 2k = ;

D est le barycentre de (A, 2k + 1) et (P, -2k).

La formule vectorielle de Leibniz (α + β) = α + β , en plaçant M en O, permet d'écrire = (2k + 1) - 2k
et en remplaçant dans la formule 1 on obtient : + (2k + 1) = : O est le barycentre de (C, 1) et (A, 2k + 1).

Des calculs similaires avec la formule 3, à partir du point C, permettent d'écrire (2k + 1) + 2k = ;
C est le barycentre de (B, 2k + 1) et (P, -2k) : + (2k + 1) = : O est le barycentre de (D, 1) et (B, 2k + 1).

En remplaçant ces deux derniers résultats dans la formule 1, on trouve - (2k + 1) - (2k + 1) + 2k = ;
O est le barycentre de (A, 2k + 1) ; (B, 2k + 1) et (P, -2k). D'après la règle d'associativité des barycentres, on trouve que le point d'intersection I de (PO) avec (AB) est le barycentre partiel de (A, 2k + 1) et (B, 2k + 1). Les deux coefficients étant égaux, I est le milieu de [AB].

Barycentre
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Faire de la géométrie dynamique

2. Pappus

Pappus d'Alexandrie (vers l'an 300)

Théorème de Pappus :

Soit d et d’ deux droites du plan projectif ayant O comme intersection. A, B et C trois points de d distincts de O. A’, B’ et C’ trois points de d’ distincts de O.

Les points d'intersection A₁, B₁ et C₁ sont alignés.

Remarque : on trouve diverses formes de ce théorème en géométrie affine en tenant compte que deux droites du plan projectif, toujours concourantes, correspondent à deux droites sécantes ou parallèles du plan affine.

En géométrie affine, voir le cas particulier où (AB’)//(A’B) : TP Cabri en troisième
(La droite (A₁B₁) est alors la droite de l'infini.)

D'après le théorème de Pascal, pour un hexagone inscrit dans une conique, les points d'intersection des côtés opposés de l'hexagone, s'ils existent, sont alignés.

Les deux droites d et d’ peuvent être considérées comme une conique dégénérée : pour l'hexagramme AB’CA’BC’, le théorème de Pappus-Pascal affirme l'alignement des points A₁, B₁ et C₁.

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Parallélogramme de Pappus : homothétie
Figure de Pappus : Thalès
Démonstration de Pappus : Pythagore
Le problème de Pappus
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3. Desargues

Desargues Girard - Géomètre français 1591-1661

Théorème de Desargues :

soit ABC et A’B’C’ deux triangles (d'un espace projectif) sans points communs.

Si les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes, alors les points A₁, B₁ et C₁ sont alignés.

Remarque : des droites concourantes dans un espace projectif correspondent à des droites sécantes ou parallèles dans un espace affine.
En géométrie affine, on trouvera plusieurs énoncés du théorème tenant compte de ce fait.

En géométrie affine, voir le cas particulier où (AB)//(A’B’) : TP Cabri en troisième
(La droite (A₁B₁) est alors la droite de l'infini.)

Remarque : on peut utiliser l'espace pour la visualisation d'un problème plan : la pyramide de base ABC et de sommet O est coupée par le plan (A’B’C’). Les points A₁, B₁ et C₁ sont alignés sur la droite d'intersection des plans (ABC) et (A’B’C’).

Réciproque, voir : le point de concours de deux droites étant situé hors de la feuille, construire une droite passant par ce point inaccessible.

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4. Polaire d'un point
a. Division harmonique

Définitions : quatre points distincts alignés A, B, C, D sont en division harmonique si et seulement si on a l'une des quatre relations équivalentes :
définition : = − ;

relation de Descartes : ;

relation de Newton : IA² = IB² = . où I est le milieu de [AB] ;

relation de Mac-Laurin : . = . où J est le milieu de [CD].

Birapport de quatre points alignés : c'est nombre noté [A, B, C, D].

Si quatre points alignés A, B, C, D forment une division harmonique, le birapport est égal à -1 et on note [A, B, C, D] = −1.

b. Polaire par rapport à deux droites

Hors programme du lycée - Paragraphe destiné aux étudiants du CAPES et aux professeurs du secondaire

Définition : étant donné deux droites d et d’ et deux points M et M’, distincts, non situés sur ces droites, la droite (MM’) rencontre respectivement d et d’ en P et P’ distincts. On dit que M et M’ sont conjugués harmoniques par rapport à d et d’ si [M, M’, P, P’] forme une division harmonique.

Définition : étant donné deux droites d et d’ distinctes et concourantes en un point I du plan affine et un point M non situé sur ces droites, l'ensemble des conjugués harmoniques du point M par rapport à d et d’ est une droite, passant par I. On l'appelle la polaire de M par rapport à d et d’.

Construction de la polaire : étant donné deux droites d et d’, concourantes en I, et un point M non situé sur ces droites, placer deux points P et Q, distincts et différents de I, sur d et tracer les deux droites (MP) et (MQ). Ces droites coupent d’ respectivement en P’ et Q’. On obtient le quadrilatère complet MPP’Q’QI. Ses diagonales Δ = (PQ’) et Δ’ = (P’Q) se coupent en J. La droite (IJ) est la polaire de M par rapport à d et d’.

Démonstration : si M₁ est le conjugué de M par rapport à P et P’ et M₂ le conjugué de M par rapport à Q et Q’, la polaire de M par rapport à d et d’ est la droite (M₁M₂) ; les points I, M₁ et M₂ sont alignés. De même, la polaire de M par rapport à Δ et Δ’ est la droite (M₁M₂) ; les points J, M₁ et M₂ sont alignés et la polaire de M par rapport à d et d’ est la droite (IJ).

Réciprocité polaire : si la polaire de M passe par J, alors la polaire de J passe par M.

Application - construction par polaires réciproques : intersection inaccessible

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c. Faisceau harmonique

d. Polaire d'un point par rapport à un cercle

Polaire d'un point M par rapport à un cercle : droite définie comme l'ensemble des points M’ conjugués harmoniques de M par rapport au cercle.

Une droite, passant par M, coupe le cercle (c) de centre O en C et D.
Soit J le milieu de [CD]. J est la projection orthogonale de O sur la corde [CD].

D'après la formule de Mac-Laurin le conjugué M’ de M par rapport à C et D vérifie MM’ × MJ = MC × MD.

Conclusion : soit un point M distinct de O, l'ensemble des points M’ conjugués harmoniques de M par rapport à un cercle c(O, R) est une droite (d) appelée polaire de M par rapport à (c). Le point M est le pôle de (d) par rapport à (c).

La polaire de M est la droite perpendiculaire à (OM) au point H de [OM) tel que OH × OM = R².

Réciprocité polaire : si la polaire (d) de M passe par M’, alors la polaire (d’) de M’ passe par M.
Les points M et M’ sont conjugués par rapport au cercle.
Les droites (d) et (d’) sont conjuguées par rapport au cercle.

5. Quadrilatère complet

Définition : un quadrilatère complet est formé de quatre droites du plan se coupant, deux à deux, en six points.

Remarques : deux des points peuvent être « à l'infini ». Le quadrilatère est alors un parallélogramme. L'étude de ce cas particulier ne présente pas d'intérêt dans le plan projectif.
Si uniquement un des points est à l'infini, on obtient un trapèze complet.

Dans la suite de cet article nous considérons le quadrilatère complet strict où deux quelconques des quatre droites ne sont pas parallèles, trois quelconques ne sont concourantes :

A, B, C et D sont quatre points du plan formant un quadrilatère convexe (qui n'est pas un trapèze), les droites (AB) et (CD) se coupent en E, puis (AD) et (BC) en F.

Les quatre droites (AB), (AD), (CB) et (CD) déterminent un quadrilatère complet ayant les six sommets A, B, C, D, E et F.

Les trois droites (AC), (BD) et (EF) sont les diagonales du quadrilatère complet, leurs points d'intersection I, J, K sont les points diagonaux.

Le quadrilatère complet est à distinguer du quadrangle complet qui a quatre sommets, six côtés et trois points diagonaux.

Dans un espace projectif, le dual d'un quadrilatère complet est un quadrangle et réciproquement.

a. Divisions harmoniques

Deux côtés, la diagonale passant par leur point d'intersection et la droite joignant ce sommet au point d'intersection des deux autres diagonales forment un faisceau harmonique.

Par exemple, la droite (FI) est la polaire de E par rapport aux droites (FD), (FC).
(FD), (FC), (FE), (FI) est un faisceau harmonique.
[A, B, E, R] ; [P, Q, E, I] et [D, C, E, S] sont des divisions harmoniques.

(EI) est la polaire de F par rapport à (EB), (EC).
(EB), (EC), (EF), (EI) est aussi un faisceau harmonique.
[A, D, F, P] ; [R, S, F, S] et [B, C, F, Q] sont des divisions harmoniques.

Les points K, R, P sont alignés ; de même, K, Q, S sont aussi alignés.

Télécharger la figure GéoPlan quadri_complet.g2w (quadrilatère nu), quadri_complet_diag.g2w (quadrilatère avec les diagonales)
Télécharger la figure GeoGebra quadrilatere_complet.ggb, quadri_complet_diag.ggb (quadrilatère avec les diagonales)

Feuille de travail dynamique avec GeoGebra : plan projectif

Dans la suite de ces paragraphes, les quatre droites (AB), (AD), (CB) et (CD) déterminent un quadrilatère complet de sommets A, B, C, D, E et F.

b. Droite de Newton

[AC], [BD] et [EF] sont les diagonales du quadrilatère complet.

Les milieux I, J et K des diagonales sont alignés (Théorème de Newton).

La droite qui porte les points I, J, K est dite droite de Newton du quadrilatère complet.

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Démonstration

Soit G et H les points définis par = et =

Soit h₁ l'homothétie de centre F qui transforme B en C, et h₂ l'homothétie de centre F qui transforme D en A.

h₃ = h₂ o h₁ et h₄ = h₁ o h₂

L'image de (BG) par h₁ est (DC), l'image de (DC) par h₂ est (AH), donc l'image de (BG) par h₃ est (AH). De même, l'image de (DG) par h₄ est (CH).

La composition des homothéties de même centre est commutative : h₃ = h₄ est une homothétie de centre F. D'où l'image de G par h₃ est H ; les points F, G et H sont alignés.

Comme = , EDGB est un parallélogramme de centre J ; EJ = EG/2.

= , ECHA est un parallélogramme de centre I ; EI = EH/2.

L'homothétie de centre E et de rapport transforme F en K, G en J, H en I.

Comme F, G, H sont alignés; les transformés I, J, K sont donc alignés.

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c. Droites des milieux

Les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère complet se coupent en G :
les milieux I de [EG], J de [AD] et K de [BC] sont alignés.
De même, les milieux L de [FG], P de [AB] et Q de [CD] sont alignés.

De même, si les diagonales [AC] et [EF] se coupent en G₁, on trouve que :
les milieux de [BG₁], de [AF] et de [CE] sont alignés,
ou les milieux de [DG₁], de [AE] et de [CF] sont alignés.

Enfin, si les diagonales [BD] et [EF] se coupent en G₂ :
les milieux de [AG₂], de [BF] et de [DE] sont alignés,
ou les milieux de [CG₂], de [BE] et de [DF] sont alignés.

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Géométrie euclidienne

f. Droite de Newton d'un triangle

Dans un triangle, une ménélienne est une droite (transversale) ne passant pas par un des sommets.

Dans un triangle ABC, une ménélienne rencontre les droites latérales (BC), (CA) et (AB) respectivement aux points P, Q et R, distincts des sommets.
Soit I, J et K, les milieux respectifs des segments [AP], [BQ] et [CR]

Alors les points I, J et K sont alignés sur la droite de Newton du triangle ABC associée à la transversale (d).

Les quatre droites (AB), (AC), (PC) et (PQ), définissent un quadrilatère complet admettant, pour sommets, les six points A, B, C, P, Q et R.
Les points I, J et K sont alignés sur la droite de Newton de ce quadrilatère complet.

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Feuille de travail dynamique avec GeoGebra : plan projectif