Sommaire

Constructions à partir d'un sommet
1. Constructions de Ptolémée
2. Construction du R.P. Durand
3. Méthode des tangentes à un cercle
4. Construction d'un cerf-volant
5. Méthode des cercles tangents

Construction à partir d'une diagonale
6. Construction d'Euclide
7. À partir de la longueur d'un côté situé sur une diagonale

Constructions à partir d'un côté
8. Construction à partir d'un carré inscrit dans un demi-cercle
9. Construction d'architecte
10. Un triangle intéressant
11. Autre construction à partir d'un côté

Pentagone - Constructions approchées

Propriétés du pentagone
Pliage et nœud
Centre de gravité
Pentagone et nombre d'or

Constructions approchées
Construction de Dürer
Pliage d'une feuille A4
Construction dite « de Thalès »
Les étoiles de Compostelle

Feuille de travail dynamique avec GeoGebra : pentagone

Page n^o 39, réalisée le 22/4/2003 - mise à jour le 30/11/2008

cos

Angles
Rotations

GéoPlan
Lieux géométriques

GéoPlan
Le barycentre

GéoPlan
Homothéties

Faire de la géométrie dynamique

Angles et côtés

L'angle au centre du Pentagone régulier est de et l'angle intérieur de .

Si a est la longueur du côté, d la longueur d'une diagonale et r le rayon du cercle circonscrit, on a montré dans la page polygones réguliers que :
a = 2 r sin = = r ≈ 1,176 r ;

d = = r ≈ 1,902 r.

Le rapport est égal au nombre d'or Φ = .

Télécharger la figure GéoPlan pentagone.g2w
Télécharger la figure GeoGebra pentagone.ggb
Voir : aire d'un pentagone

Méthodes de construction du pentagone

Pour tracer un pentagone régulier convexe, à la « règle et au compas », on peut se donner :

• Le centre O du cercle circonscrit et un sommet A (cinq premières constructions).

• Une diagonale (côté du pentagone croisé) en choisissant deux sommets non consécutifs.

• Un côté en choisissant deux sommets consécutifs A et B.

Constructions à partir d'un sommet

Constructions du pentagone régulier inscrit dans un cercle

Constructions à partir du centre O du cercle circonscrit et d'un sommet A.

Pour construire un pentagone régulier convexe inscrit dans un cercle à la « règle et au compas » il suffit de savoir construire un angle au centre de dont le cosinus est égal à .

On peut effectuer la construction adaptée du procédé de création du rectangle d'or (de longueur [A’U] et de hauteur OB’).
Le triangle rectangle de côtés proportionnels à 1, et est utilisé depuis l'antiquité pour le tracé de sections dorées.
Le cercle de « Ptolémée » permet alors le report d'un sommet en un point U qui partage le rayon en « moyenne raison ».

On trouve le triangle rectangle isocèle, dans de nombreuses constructions à la « règle et au compas ».

1. Constructions de Ptolémée

Ptolémée ; Alexandrie 85-165 après J.-C.

Construction à partir d'un sommet A, situé sur un diamètre

Tracer un cercle (c₁) de centre O, passant par A. On choisira comme unité le rayon du cercle. Placer un diamètre [AA’] et un rayon [OB’], perpendiculaire à [AA’].

K est le milieu de [OA’], le cercle de « Ptolémée » (c₂) de centre K et de rayon KB’ coupe [OA] en U. La longueur du côté du pentagone est égale à B’U.

La médiatrice de [OU] coupe le premier cercle (c₁) aux points B et E qui sont deux sommets du pentagone. Le cercle de centre B, passant par A, recoupe c₁ en C. Le symétrique D de C par rapport à (AA’) termine la construction du pentagone.

La corde [AB] est donc le premier côté du pentagone régulier convexe ABCDE. [EB] est un côté du pentagone étoilé EBDAC inscrit dans le même cercle.

Preuve

En effet avec OA = 1, le rayon du cercle de « Ptolémée » (c₂) est :
KB’ = KU = d'après la propriété de Pythagore, dans le triangle OKB’ rectangle en O,
donc OU = − = et OI = .
L'angle (, ) a un cosinus égal à , c'est bien un angle de .

Commandes GéoPlan

Taper M pour effacer/afficher la médiatrice
Taper D pour afficher/effacer le pentagone croisé

Télécharger la figure GéoPlan penta_f1.g2w
Télécharger la figure GeoGebra penta_f1.ggb

Télécharger la figure Cabri penta_f1.fig
Télécharger la figure GeoLabo penta_f1.glb

Feuille de travail dynamique avec GeoGebra : pentagone

Construction à partir d'un sommet A, situé sur un rayon perpendiculaire au diamètre

Placer les points O et A, tracer le cercle c₁ de centre O, passant par A.

Sur un diamètre [A’A₂] perpendiculaire au rayon [OA], placer le point K au milieu de [OA’].

Tracer le cercle de « Ptolémée » (c₂) de centre K, passant par A.
Ce cercle coupe la diamètre [A’A₂] en U.
Le point U partage le rayon [OA₂] en « moyenne raison ».

AU est égal à la longueur du côté d'un pentagone inscrit dans le cercle (c₁).

Tracer le cercle (c₃) de centre A, passant par U.
Ce cercle (c₃) coupe (c₁) aux sommets B et E du pentagone.

Terminer la construction du pentagone par report de la longueur du côté (dernière ouverture du compas).

Télécharger la figure GéoPlan penta_ptolemee.g2w
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Traité d'architecture civile et militaire, R.P. Durand - 1700

publié in bulletin APMEP n^o 439

Remarque 1 : A’U = A’K + KU = + = Φ.

Remarque 2 : OAB est un triangle isocèle d'angle au sommet , les deux autres angles étant égaux à .

Dans le triangle IAB rectangle en I, IB = AB cos = AB
et EB = 2 IB = AB.

Le rapport d'une diagonale sur le côté du pentagone convexe régulier est égal au nombre d'or Φ.

Construction du pentagone au collège

Pentagramme mystique

Dans la figure de droite, les points A’, C’, E’, B’, D’, nommés dans cet ordre sont les sommets d'un polygone régulier étoilé appelé pentagramme. Ce pentagramme de Pythagore était le sceau secret de reconnaissance des pythagoriciens.

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Sections d'or

E’A est égal à la longueur du côté E’D’ du pentagone convexe A’B’C’D’E’ qui enveloppe la figure.
= Φ. Le point A partage le côté [E’C’] en « moyenne raison ».

Dans un pentagone convexe, la longueur d'un côté partage la diagonale en « moyenne raison ».

Mais Φ = = = 1 + , donc = Φ − 1 = .

De même = .

= = Φ. Les points B et C’ partagent [E’A] en « moyenne et extrême raison ».

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Mathématiques amusantes

Un jardinier plante 10 arbres, il réalise 5 rangs de 4 arbres.
Quelle est la disposition ?

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

2. Construction du R.P. Durand

Variante de la construction de Ptolémée

Méthode

Construction à partir du centre O du cercle circonscrit et d'un sommet A.

Dans la construction de Ptolémée, ci-dessus à droite, le cercle de « Ptolémée » de centre K, passant par A, coupe [OQ] en U. Le cercle de centre A passant par U permet de trouver les sommets B et E.
Avec le deuxième point T d'intersection du cercle de « Ptolémée » et de la droite (OQ), on trace le cercle de centre A passant par T qui permet de trouver les deux derniers sommets C et D.

Construction

Placer les points O et A, tracer le cercle (c₁) de centre O, passant par A.

Sur un rayon [OQ’], perpendiculaire au rayon [OA], placer le point K au milieu de ce rayon.

Tracer le cercle de « Ptolémée » (c₂), de centre K, passant par A. Ce cercle coupe la droite (OK) en U et T. AU est égal à la longueur du côté d'un pentagone convexe inscrit dans le cercle (c₁), AT est égal à la longueur du côté du pentagone croisé.

Tracer les cercles (c₃) et (c₄) de centre A, passant par U et T. Le cercle (c₃) coupe (c₁) en B et E. Le cercle (c₄) coupe (c₁) en C et D.
ABCDE est un pentagone régulier.

Remarque : avec OA = 1; alors le rayon de (c₂) est ; OU = ; OT = Φ.

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3. Méthode des tangentes à un cercle

Construction à partir du centre O du cercle circonscrit et d'un sommet A.

Méthode

Construire la longueur comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle ayant pour côtés et .
Le cercle c₃, homothétique du cercle de Ptolémée c₂, par l'homothétie de centre O et de rapport , permet de reporter cette longueur PQ en PI.

Les tangentes en I et J au cercle c₃, de centre P et passant par Q, rencontrent le cercle circonscrit en quatre des sommets du pentagone

Construction

Sur un cercle c₁ de centre O, passant par A, placer un diamètre [AA’] et un rayon [OB’], perpendiculaire à [AA’].

P est au quart de [OA’] à partir de O : OP = OA’ et Q est le milieu de [OB’], le cercle c₃ de centre P et passant par Q coupe [OA] en I et [OA’] en J. La perpendiculaire en I à (AA’) coupe le cercle c₁ en B et E. La perpendiculaire en J à (AA’) coupe le cercle c₁ en C et D (placés suivant la figure).
ABCDE est un pentagone régulier.

Démonstration utilisant le produit scalaire (Classe de 1S) :

pour le prouver il suffit démontrer que AÔB = et AÔC = .

On choisira comme unité le rayon du cercle.
Dans le triangle rectangle OPQ, le théorème de Pythagore permet de trouver :
PQ = et OI = PI − PO = PQ − = .

I étant la projection orthogonale de B sur (OA), on trouve l'égalité des produits scalaires :

. = . = 1 × OI

= .

Ce produit scalaire s'exprime en fonction de l'angle des deux vecteurs :

. = OA × OB cos(AÔB) = 1 × 1 × cos(AÔB)

= ,

donc cos(AÔB) = ; AÔB = .

De même, OJ = OP + PJ = + PQ = .

J étant la projection orthogonale de C sur (OA), on a :

. = . = −1 × OJ

= − ,

et en fonction de l'angle des vecteurs :

. = OA × OC cos(AÔC) = 1 × 1 × cos(AÔC)

= − ,

donc cos(AÔC) = −  ; la formule de duplication cos(2x) = 2cos²x − 1 permet, en vérifiant que 2cos² − 1 = − , de déduire que :

AÔC = .

Les points D et E étant les symétriques de C et B par rapport à (OA), on a donc AÔD = et AÔE = , la figure est bien un pentagone régulier.

Démonstration utilisant les nombres complexes (TS)

Dans le plan complexe choisira le centre du pentagone comme origine O et pour le sommet A, le point d'affixe 1.

Pour montrer que l'on obtient un pentagone régulier, il suffit démontrer que les affixes des sommets sont les racines cinquièmes de l'unité :
1, z = , z², , ; les cinq solutions de l'équation z⁵ − 1 = 0.

Le polynôme z⁵ − 1 se factorise sous la forme z⁵ − 1 = (z − 1)(z⁴ + z³ + z² + z + 1) (formule classique utilisée pour la somme des 5 premiers termes d'une suite géométrique).

La factorisation peut se poursuivre par z⁵ − 1 = (z − 1) (z² − 2αz + 1) (z² − 2βz + 1) avec, par identification, les réels α et β vérifiant :
α + β = −  et αβ = − .

Dans le triangle IJQ rectangle en Q, P est le milieu de [IJ] donc OI − OJ = −2 OP = −  ;
la relation métrique pour la hauteur [OQ] permet d'écrire :
OI × OJ = OQ² = . α et β sont donc les affixes des points I et J.

Il est possible de résoudre le système d'équations α + β = − et αβ = − et les réels α et β sont les solutions d'une équation du second degré, mais utilisons plutôt la calculatrice TI-92 qui permet de factoriser dans C et en regroupant les facteurs trouvés avec factorC(z^5−1,z) on a :

(z² − 2αz + 1) =

et (z² − 2βz + 1) = ,

soit z⁵ − 1 = (z − 1).

Dans tous les cas (en vérifiant éventuellement les valeurs des cosinus), on trouve :

α =  = Re() ; partie réelle des solutions de z² − 2αz + 1 = 0,
et β = −   = Re() ; partie réelle des solutions de z² − 2βz + 1 = 0.

α et β sont les parties réelles des racines cinquièmes de l'unité, racines imaginaires.
Les sommets du pentagone régulier sont bien l'intersection du cercle unité avec les parallèles à (Oy) passant par I et J.

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Voir : plan complexe

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4. Construction d'un cerf-volant ABVE

Autre variante de la construction de Ptolémée

Méthode

Construction à partir du centre O du cercle circonscrit et d'un sommet A.

Le cercle de « Ptolémée » de centre K, passant par B’, coupe le diamètre [A’A] en U. Le cercle de centre A’ passant par U permet de trouver les sommets B et E et le point V de concours des côtés (BC) et (DE).
Les deux derniers sommets C et D sont les points de rencontre de ces deux droites avec le cercle circonscrit.

Construction

Placer deux points O et A et le cercle (c₁) de centre O, passant par A, de rayon r = 1.

A’ est le symétrique de A par rapport à O.
Le point B’ est un des points d'intersection du diamètre perpendiculaire à [A’A] avec le cercle (c₁).

K est le milieu du rayon [A’O].

Le cercle (c₂) de « Ptolémée » de centre K passant par B’ coupe [OA] en U et [OA’) en T.

Le cercle (c₃) de centre A’ passant par U coupe le cercle (c₁) en B et E et la droite (AO) en V.
Les droites (BV) et (EV) coupent le cercle (c₁) en C et D.
Les points ABCDE sont les sommets du pentagone cherché.

Démonstration

Comme pour la méthode du R.P. Durand, on a B’U = AB, côté du polygone convexe, et B’T = BE, côté du pentagone croisé.
On a aussi : A’U = Φ = ainsi que A’B et A’E rayons du cercle (c₃).

Dans le cercle (c₁) le triangle A’BA, inscrit dans un demi-cercle, est rectangle en B.
cos AA’B = = = = cos . Les angles aigus du triangle sont donc et .

L'angle BÂE est égal à . Les deux segments égaux [AB] et [AE], de longueur égale, sont deux côtés d'un pentagone régulier inscrit dans le cercle (c₁).

Le triangle isocèle A’BU a un angle au sommet égal à , c'est un triangle d'or de côtés A’B = A’U =  Φ et BU = 1.

Dans le cercle (c₃) l'angle inscrit correspond à l'angle au centre EÂ’B = 2 AÂ’B = . Cet angle inscrit est donc = .

Les angles aigus du triangle VBA sont égaux à et . Le troisième angle est = . Le point C est aussi un sommet du pentagone. Même démonstration pour D, ce qui permet de conclure que ABCDE est un pentagone régulier.

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5. Méthode des cercles tangents

Construction proposée par Dumont (1996) à propos des tracés régulateurs des temples d'Angkor.

Méthode

Construction à partir du centre O du cercle circonscrit et d'un sommet A.

Tracer le cercle (c₂) ayant comme diamètre [OR], un rayon du cercle circonscrit (c₁), perpendiculaire au diamètre [AA’] de (c₁).

Deux cercles de centre A’, tangents au cercle (c₂), rencontrent le cercle circonscrit en quatre des sommets du pentagone

Construction

Placer deux points O, A et le cercle (c₁) de centre O, de rayon r =1, passant par A. A’ est le symétrique de A par rapport à O. I est le milieu d'un rayon perpendiculaire au diamètre [AA’]. (c₂) est le cercle de centre I, passant par O.
La droite (A’I) coupe le cercle (c₂) en P et Q. (c₃) et (c₄) sont les cercles de centre A’ tangents à (c₂).
Le cercle (c₃) est tangent intérieurement au cercle (c₂) en P et le cercle (c₄) est tangent extérieurement au cercle (c₂) en Q. Le cercle (c₃) coupe (c₁) en B et E et le cercle (c₄) coupe (c₁) en C et D.
Les points ABCDE sont les sommets du pentagone cherché.

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TS : Démonstration par calcul d'affixes de complexes.

En choisissant r = 1 et O comme origine, on va montrer que l'affixe ω = e^iθ de B a pour argument θ = en calculant cosθ.

Le rayon de c₃ est A’B tel que = + donc A’B = |1 + ω|,
or A’B = A’P = A’I + IP = + d'où |1 + ω| = (le nombre d'or Φ).

On a donc |1 + ω|² = (1 + cosθ)² + sin²θ = 2(1 + cosθ) = ,

d'où l'on tire cosθ = soit θ = (voir angle trigonométrie).

Démonstration (d'après Georges Lion - Bulletin APMEP n^o 433)

Dans le triangle rectangle A’OI on a (puissance du point A’ par rapport au cercle
c₂) :

A’O² = A’I² − IO² = A’I² −

A’O² = (A’I − )(A’I + )

A’O² = (A’I − IQ)(A’I + IP) = A’Q × A’P.

A’O² est donc le produit des rayons des cercles c₃ et c₄.

Soit M le point d'intersection du segment [A’B] et du cercle c₄.

Le produit des rayons est donc :

A’O² = A’M × A’B, soit .

Ayant déjà l'angle OÂ’B en commun les triangles A’MO et A’OB sont semblables.

Le triangle A’OB ayant deux côtés égaux à r est isocèle, le triangle A’MO l'est aussi.

Soit α la mesure des angles égaux OÂ’B = = MÔA’.

Les angles « au sommet » des triangles isocèles sont donc = A’ÔB = π − 2α.

D'autre part, le triangle BOM est isocèle (puisque BM = r). D'où MÔB = .

On a donc A’ÔB = π − 2α = A’ÔM + MÔB= α + .

De là, α = , MÔB = , A’ÔB = . Donc, AÔB = et le point B est le deuxième sommet du pentagone.

Le point C d'intersection de la demi-droite [OM) et du cercle c₁ est le troisième sommet du pentagone, car : CÔB = MÔB = . Montrons que ce sommet C du pentagone est sur le cercle c₄.

L'angle CÂ’B inscrit dans le cercle c₁ est égal à la moitié de l'angle au centre : CÂ’B = CÔB = .

= MÔB = .

Le troisième angle du triangle A’MC est = . Ce triangle ayant deux angles égaux est isocèle. A’M = A’C. Le point C est bien sur le cercle c₄.

La symétrie par rapport à (AA’) donne les autres sommets E et D.

Télécharger la figure GéoPlan pent_f3b.g2w

Cette figure est la représentation, par les Égyptiens, de l'œil d'Oudjat.
Les deux arcs de cercle RS forment ce que les mathématiciens appellent une lentille.

Télécharger la figure GéoPlan pent_f3c.g2w

Les points B et E, intersection du cercle de diamètre [AO’] et d'un des arcs RS, sont deux des sommets du pentagone de côtés [AB] et [AE]. C et D complètent le pentagone régulier.

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6. Construction d'un pentagone à partir d'une diagonale [AD]

Construction d'Euclide

Méthode

Se donner deux points A et D.

La longueur d'un côté partage la diagonale en « moyenne raison ».
Trouver le point P formant une section d'or sur [AD] avec le triangle ADM, rectangle en D, tel que DM = AD.

Construction

Tracer le cercle (c₁) de centre M passant par D coupant [AM] en Q
et le cercle (c₂) de centre A passant par Q.
Le cercle (c₂) coupe [AD] en P. Son rayon est égal au côté du pentagone convexe. Les sommets B et E sont situés sur ce cercle.

Les cercles (c₃), de centre P, passant par A, et (c₄), de centre A, passant par D, se coupent en C, sommet du triangle d'or ACD.

Terminer la construction des pentagones :
le point B est à une des intersections du cercle (c₂) et du cercle de centre D, passant par A.
Le cercle (c₂) recoupe (CP) en E.

ABCDE est un pentagone régulier convexe, ACEBD est un pentagone régulier étoilé.

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7. Construction d'un pentagone à partir de la longueur d'un côté situé sur une diagonale

Méthode

Se donner deux points A et P. La droite (AP) sera une diagonale du pentagone.

Les points R et D partagent [AP] en « moyenne et extrême raison ».

Trouver le point R formant une section d'or sur [AP] avec le triangle APM, rectangle en P, tel que PM = AP.
Puis reporter AR en P pour trouver le point D.

Construction

Tracer le cercle (c₁) de centre M passant par P coupant [AM] en Q
et le cercle (c₂) de centre A passant par Q.
Le cercle (c₂) coupe [AP] en P. et placer D tel que PD = AR.

Les cercles (c₃), de centre D passant par R, et (c₄), de centre A passant par A, se coupent en C.

Les cercles (c₃), de centre D passant par R, et (c₆), de centre A passant par P, se coupent en E et en un des points d'intersection des diagonales.
Le point B est à une des intersections du cercle (c₅) de centre D, passant par A, et du cercle (c₆) de centre A, passant par P.

ABCDE est un pentagone régulier convexe, ACEBD est un pentagone régulier étoilé.

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Sommaire

Constructions à partir d'un côté

Triangle d'or et côtés consécutifs d'un pentagone

Avec la donnée de deux sommets consécutifs, la configuration ci-dessous est utilisée les trois constructions suivantes.

Étant donné un pentagone ABCDE de côté AB = 1, la diagonale BE mesure Φ.

L'angle intérieur BÂE vaut radians et le supplémentaire FÂE est .

À partir de deux points A et B il est possible de trouver la longueur Φ d'une diagonale en réalisant la construction du nombre d'or.

Construction de E

Construire un carré ABB’A’ de côté 1 :
Soit I le milieu du côté [AB].

Le cercle (c₁) de centre I, passant par A’ (et B’), coupe (AB) en F et G.
On a BF = AG = Φ.
Les cercles (c₂) de centre A passant par B, de rayon 1, et (c₄) de centre B passant par F, de rayon Φ, se coupent en E.

Triangles d'or

FA = FB − AB = Φ − 1 = ; AE = 1 ; FÂE = : AEF est un triangle d'or. EF est donc égal à 1.

FB = EB = Φ : EF = 1 : FBE est un triangle d'or, c'est le « triangle intéressant » de Daniel Reisz.

Télécharger la figure GéoPlan penta_triangle.g2w

Voir aussi : carré inscrit dans un demi-cercle

8. Construction à partir d'un carré inscrit dans un demi-cercle

Méthode

Dessin à partir de deux sommets consécutifs A et B.

Comme expliqué ci-dessus, construire le carré ABB’A’ et le cercle (c₁) de centre I, milieu de [AB], passant par A’, qui coupe (AB) en F et G.

Construction

Les cercles (c₂) de centre A passant par B et (c₄) de centre B passant par F se coupent en E.

De façon symétrique, les cercles (c₃) de centre B passant par A et (c₅) de centre A passant par G se coupent en C.

Les cercles (c₄) et (c₅) se coupent en D.
ADB est un triangle d'or ce côtés Φ et 1.

Télécharger la figure GéoPlan penta_carre.g2w

Pentagones d'Hippocrate

À partir de la figure précédente, création d'un second pentagone A’B’C’DE’ dont les sommets sont des points remarquables :

• A’ situé sur la diagonale (AD) à l'intersection des cercles (c₂) et (c₄),
• E’ situé sur le cercle (c₂) à l'intersection du côté (AE) et de la droite (A’F).

Les points A et B sont situés aux intersections de diagonales du pentagone A’B’C’DE’.

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9. Construction d'architecte

Méthode

Dessin à partir d'un côté du pentagone : les points de base (libres) sont deux sommets consécutifs A et B.

Simplification de la construction précédente, en utilisant une seule perpendiculaire (AA’) et non un carré.

Construction

Tracer le cercle (c₂) de centre A passant par B. Soit A’ un des points d'intersection entre ce cercle (c₂) et la droite perpendiculaire à (AB), passant par A.
Soit I le milieu de [AB]. Le cercle de centre I, passant par A’, coupe la demi-droite [BA) en F.
Le cercle (c₄) de centre B passant par F coupe le cercle (c₂) en E.
Il coupe aussi la médiatrice de [AB] en D.
Tracer le cercle (c₅) de centre D passant par E, puis (c₃) de centre B, passant par A.
Seul un des points d'intersection de ces deux cercles permet d'obtenir un polygone convexe : le point C.
ABCDE est un pentagone régulier.

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Feuille de travail dynamique avec GeoGebra : pentagone

10. Un triangle intéressant

Daniel Reisz - Bulletin APMEP n^o 430

Comme expliqué au début de ce chapitre, tracer le triangle d'or BEF. Pour cela, trouver le point F, avec le triangle rectangle isocèle BAA’ et le cercle (c₆) de centre I milieu de [AB].

Le point E est à une des intersections des cercles (c₄) de centre B passant par F et (c₅) de centre A passant par B.

Daniel Reisz réalise alors la construction suivante :
le cercle (c₁) est circonscrit au triangle ABE et recoupe (c₄) en D.

La perpendiculaire à (BE), passant par A, coupe (ED) en V.
La droite (BV) recoupe le cercle circonscrit (c₁) en C.

On reconnaît la construction du cerf-volant ci-dessus.

Télécharger la figure GéoPlan penta_f5.g2w
Faire de la géométrie dynamique
Sommaire

11. Autre construction d'un pentagone à partir d'un côté [AB]

Dessin à partir d'un côté du pentagone : les points libres sont deux sommets consécutifs A et B.

Placer les deux premiers points A et B du polygone,

placer le point B’ symétrique de B par rapport à A,

tracer le cercle c₁ de centre A passant par B (diamètre [B’B]),

la perpendiculaire en A à (AB) coupe le cercle C₁ en A’.

Soit c₂ le cercle de diamètre [AA’] : son centre J est le milieu de [AA’].

Tracer la droite (B’J), cette droite coupe le cercle c₂ au point K.

Tracer le cercle c₃ de centre B’ passant par le point K,

les cercles c₁ et c₃ se coupent en D’, tracer le segment [BD’].

La médiatrice de [AB] coupe le segment [BD’] en O : O est le centre du cercle circonscrit c₄ au pentagone et on peut vérifier que l'angle AÔB mesure .

Pour tracer le pentagone régulier ABCDE, il suffit de placer le point C symétrique de A par rapport à (OB), E est un des points d'intersection des cercles c₁ et c₄, le point D est à l'intersection du cercle circonscrit c₄ et de la médiatrice de [AB] qui passe par O.

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Constructions au collège

Pentagone - Constructions approchées

GéoPlan
Le triangle équilatéral

Polygones
réguliers

Cabri 3^e
Construction du pentagone

Pavage avec des pentagones

Sommaire

Constructions à partir d'un sommet
1. Constructions de Ptolémée
2. Construction du R.P. Durand
3. Méthode des tangentes à un cercle
4. Construction d'un cerf-volant
5. Méthode des cercles tangents

Construction à partir d'une diagonale
6. Construction d'Euclide
7. À partir de la longueur d'un côté situé sur une diagonale

Constructions à partir d'un côté
8. Construction à partir d'un carré inscrit dans un demi-cercle
9. Construction d'architecte
10.Un triangle intéressant
11. Autre construction à partir d'un côté

Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec la version ActiveX de GéoPlan

Problèmes de construction en 1L

Retrouver un triangle à partir de droites remarquables
Retrouver un triangle à partir de centres ou de pieds

La géométrie du triangle (droites remarquables)
Points caractéristiques, lieux du triangle

Nombre d'or
    Rectangle d'or
    Triangle d'or
    Pentagone, nombre d'or et Fibonacci

Grands problèmes de la géométrie grecque

Faire de la géométrie dynamique

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