Douze constructions exactes du pentagone à la « règle et au compas ».
Angles et côtés
Si a est la longueur du côté, d la longueur d'une diagonale et r le rayon du cercle circonscrit, on a montré dans la page polygones réguliers que : d = Le rapport
Méthodes de construction du pentagonePour tracer un pentagone régulier convexe, à la « règle et au compas », on peut se donner : • Le centre O du cercle circonscrit et un sommet A (cinq premières constructions). • Une diagonale (côté du pentagone croisé) en choisissant deux sommets non consécutifs. • Un côté en choisissant deux sommets consécutifs A et B. Constructions à partir d'un sommetConstructions du pentagone régulier inscrit dans un cercle Constructions à partir du centre O du cercle circonscrit et d'un sommet A. Pour construire un pentagone régulier convexe inscrit dans un cercle à la « règle et au compas » il suffit de savoir
construire un angle au centre de On peut effectuer la construction adaptée du procédé de création du rectangle d'or (de longueur [A’U] et de hauteur OB’). On trouve le triangle rectangle isocèle, dans de nombreuses constructions à la « règle et au compas ». |
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1. Constructions de Ptolémée |
Ptolémée ; Alexandrie 85-165 après J.-C. |
Construction à partir d'un sommet A, situé sur un diamètreTracer un cercle (c1) de centre O, passant par A. On choisira comme unité le rayon du cercle. Placer un diamètre [AA’] et un rayon [OB’], perpendiculaire à [AA’]. K est le milieu de [OA’], le cercle de « Ptolémée » (c2) de centre K et de rayon KB’ coupe [OA] en U. La longueur du côté du pentagone est égale à B’U. La médiatrice de [OU] coupe le premier cercle (c1) aux points B et E qui sont deux sommets du pentagone. Le cercle de centre B, passant par A, recoupe c1 en C. Le symétrique D de C par rapport à (AA’) termine la construction du pentagone. La corde [AB] est donc le premier côté du pentagone régulier convexe ABCDE. [EB] est un côté du pentagone étoilé EBDAC inscrit dans le même cercle. Preuve En effet avec OA = 1, le rayon du cercle de « Ptolémée » (c2) est : Commandes GéoPlan Taper M pour effacer/afficher la médiatrice
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Construction à partir d'un sommet A, situé sur un rayon perpendiculaire au diamètrePlacer les points O et A, tracer le cercle c1 de centre O, passant par A. Sur un diamètre [A’A2] perpendiculaire au rayon [OA], placer le point K au milieu de [OA’]. Tracer le cercle de « Ptolémée » (c2) de centre K, passant par A. AU est égal à la longueur du côté d'un pentagone inscrit dans le cercle (c1). Tracer le cercle (c3) de centre A, passant par U. Terminer la construction du pentagone par report de la longueur du côté (dernière ouverture du compas).
publié in bulletin APMEP no 439 |
Remarque 1 : A’U = A’K + KU = Remarque 2 : OAB est un triangle isocèle d'angle au sommet Dans le triangle IAB rectangle en I, IB = AB cos
Construction du pentagone au collège Pentagramme mystiqueDans la figure de droite, les points A’, C’, E’, B’, D’, nommés dans cet ordre sont les sommets d'un polygone régulier étoilé appelé pentagramme. Ce pentagramme de Pythagore était le sceau secret de reconnaissance des pythagoriciens.
Sections d'or E’A est égal à la longueur du côté E’D’ du pentagone convexe A’B’C’D’E’ qui enveloppe la figure. Dans un pentagone convexe, la longueur d'un côté partage la diagonale en « moyenne raison ». Mais Φ = De même
Mathématiques amusantesUn jardinier plante 10 arbres, il réalise 5 rangs de 4 arbres. Sommaire |
2. Construction du R.P. Durand |
Variante de la construction de Ptolémée |
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Méthode Construction à partir du centre O du cercle circonscrit et d'un sommet A.
Construction Placer les points O et A, tracer le cercle (c1) de centre O, passant par A. Sur un rayon [OQ’], perpendiculaire au rayon [OA], placer le point K au milieu de ce rayon. Tracer le cercle de « Ptolémée » (c2), de centre K, passant par A. Ce cercle coupe la droite (OK) en U et T. AU est égal à la longueur du côté d'un pentagone convexe inscrit dans le cercle (c1), AT est égal à la longueur du côté du pentagone croisé. Tracer les cercles (c3) et (c4) de centre A, passant par U et T. Le cercle (c3) coupe (c1) en B et E. Le cercle (c4) coupe (c1) en C et D. Remarque : avec OA = 1; alors le rayon de (c2) est
3. Méthode des tangentes à un cercleConstruction à partir du centre O du cercle circonscrit et d'un sommet A. Méthode Construire la longueur Les tangentes en I et J au cercle c3, de centre P et passant par Q, rencontrent le cercle circonscrit en quatre des sommets du pentagone
Sur un cercle c1 de centre O, passant par A, placer un diamètre [AA’] et un rayon [OB’], perpendiculaire à [AA’]. P est au quart de [OA’] à partir de O : OP = Démonstration utilisant le produit scalaire (Classe de 1S) : pour le prouver il suffit démontrer que AÔB = On choisira comme unité le rayon du cercle. I étant la projection orthogonale de B sur (OA), on trouve l'égalité des produits scalaires :
Ce produit scalaire s'exprime en fonction de l'angle des deux vecteurs :
donc cos(AÔB) = De même, OJ = OP + PJ = J étant la projection orthogonale de C sur (OA), on a :
et en fonction de l'angle des vecteurs :
donc cos(AÔC) = − AÔC = Les points D et E étant les symétriques de C et B par rapport à (OA), on a donc AÔD = Démonstration utilisant les nombres complexes (TS) Dans le plan complexe choisira le centre du pentagone comme origine O et pour le sommet A, le point d'affixe 1. Pour montrer que l'on obtient un pentagone régulier, il suffit démontrer que les affixes des sommets sont les racines cinquièmes de l'unité : Le polynôme z5 − 1 se factorise sous la forme z5 − 1 = (z − 1)(z4 + z3 + z2 + z + 1) (formule classique utilisée pour la somme des 5 premiers termes d'une suite géométrique). La factorisation peut se poursuivre par z5 − 1 = (z − 1) (z2 − 2αz + 1) (z2 − 2βz + 1) avec, par identification, les réels α et β vérifiant : Dans le triangle IJQ rectangle en Q, P est le milieu de [IJ] donc OI − OJ = −2 OP = − Il est possible de résoudre le système d'équations α + β = − (z2 − 2αz + 1) = et (z2 − 2βz + 1) = soit z5 − 1 = (z − 1) Dans tous les cas (en vérifiant éventuellement les valeurs des cosinus), on trouve : α = α et β sont les parties réelles des racines cinquièmes de l'unité, racines imaginaires. |
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Faire de la géométrie dynamique |
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4. Construction d'un cerf-volant ABVE |
Autre variante de la construction de Ptolémée |
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Méthode Construction à partir du centre O du cercle circonscrit et d'un sommet A.
Construction Placer deux points O et A et le cercle (c1) de centre O, passant par A, de rayon r = 1. A’ est le symétrique de A par rapport à O. K est le milieu du rayon [A’O]. Le cercle (c2) de « Ptolémée » de centre K passant par B’ coupe [OA] en U et [OA’) en T. Le cercle (c3) de centre A’ passant par U coupe le cercle (c1) en B et E et la droite (AO) en V. DémonstrationComme pour la méthode du R.P. Durand, on a B’U = AB, côté du polygone convexe, et B’T = BE, côté du pentagone croisé. Dans le cercle (c1) le triangle A’BA, inscrit dans un demi-cercle, est rectangle en B. L'angle BÂE est égal à Le triangle isocèle A’BU a un angle au sommet égal à Dans le cercle (c3) l'angle inscrit Les angles aigus du triangle VBA sont égaux à
5. Méthode des cercles tangents
Méthode Construction à partir du centre O du cercle circonscrit et d'un sommet A. Tracer le cercle (c2) ayant comme diamètre [OR], un rayon du cercle circonscrit (c1), perpendiculaire au diamètre [AA’] de (c1). Deux cercles de centre A’, tangents au cercle (c2), rencontrent le cercle circonscrit en quatre des sommets du pentagone Construction Placer deux points O, A et le cercle (c1) de centre O, de rayon r =1, passant par A. A’ est le symétrique de A par
rapport à O. I est le milieu d'un rayon perpendiculaire au diamètre [AA’]. (c2) est le cercle de centre I, passant par O.
TS : Démonstration par calcul d'affixes de complexes. En choisissant r = 1 et O comme origine, on va montrer que l'affixe ω = eiθ de B a pour argument θ = Le rayon de c3 est A’B tel que On a donc |1 + ω|2 = (1 + cosθ)2 + sin2θ = 2(1 + cosθ) = d'où l'on tire cosθ =
A’O2 = A’I2 − IO2 = A’I2 − A’O2 = (A’I − A’O2 = (A’I − IQ)(A’I + IP) = A’Q × A’P. A’O2 est donc le produit des rayons des cercles c3 et c4. Soit M le point d'intersection du segment [A’B] et du cercle c4. Le produit des rayons est donc : A’O2 = A’M × A’B, soit Ayant déjà l'angle OÂ’B en commun les triangles A’MO et A’OB sont semblables. Le triangle A’OB ayant deux côtés égaux à r est isocèle, le triangle A’MO l'est aussi. Soit α la mesure des angles égaux OÂ’B = Les angles « au sommet » des triangles isocèles sont donc D'autre part, le triangle BOM est isocèle (puisque BM = r). D'où MÔB = On a donc A’ÔB = π − 2α = A’ÔM + MÔB= α + De là, α = Le point C d'intersection de la demi-droite [OM) et du cercle c1 est le troisième sommet du pentagone, car :
CÔB = MÔB = L'angle CÂ’B inscrit dans le cercle c1 est égal à la moitié de l'angle au centre : CÂ’B =
Le troisième angle du triangle A’MC est La symétrie par rapport à (AA’) donne les autres sommets E et D.
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Cette figure est la représentation, par les Égyptiens, de l'œil d'Oudjat.
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Les points B et E, intersection du cercle de diamètre [AO’] et d'un des arcs RS, sont deux des sommets du pentagone de côtés [AB] et [AE]. C et D complètent le pentagone régulier.
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Faire de la géométrie dynamique
Sommaire
6. Construction d'un pentagone à partir d'une diagonale [AD] |
Construction d'Euclide |
Se donner deux points A et D. La longueur d'un côté partage la diagonale en « moyenne raison ». Construction Tracer le cercle (c1) de centre M passant par D coupant [AM] en Q Les cercles (c3), de centre P, passant par A, et (c4), de centre A, passant par D, se coupent en C, sommet du triangle d'or ACD. Terminer la construction des pentagones : ABCDE est un pentagone régulier convexe, ACEBD est un pentagone régulier étoilé.
7. Construction d'un pentagone à partir de la longueur d'un côté situé sur une diagonale
Se donner deux points A et P. La droite (AP) sera une diagonale du pentagone. Les points R et D partagent [AP] en « moyenne et extrême raison ». Trouver le point R formant une section d'or sur [AP] avec le triangle APM, rectangle en P, tel que PM = Construction Tracer le cercle (c1) de centre M passant par P coupant [AM] en Q Les cercles (c3), de centre D passant par R, et (c4), de centre A passant par A, se coupent en C. Les cercles (c3), de centre D passant par R, et (c6), de centre A passant par P, se coupent en E et en un des points d'intersection des diagonales. ABCDE est un pentagone régulier convexe, ACEBD est un pentagone régulier étoilé. |
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Faire de la géométrie dynamique |
Constructions à partir d'un côtéTriangle d'or et côtés consécutifs d'un pentagoneAvec la donnée de deux sommets consécutifs, la configuration ci-dessous est utilisée les trois constructions suivantes.
L'angle intérieur BÂE vaut À partir de deux points A et B il est possible de trouver la longueur Φ d'une diagonale en réalisant la construction du nombre d'or. Construction de E Construire un carré ABB’A’ de côté 1 : Le cercle (c1) de centre I, passant par A’ (et B’), coupe (AB) en F et G. Triangles d'or FA = FB − AB = Φ − 1 = FB = EB = Φ : EF = 1 : FBE est un triangle d'or, c'est le « triangle intéressant » de Daniel Reisz. |
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Voir aussi : carré inscrit dans un demi-cercle |
8. Construction à partir d'un carré inscrit dans un demi-cercle
Dessin à partir de deux sommets consécutifs A et B. Comme expliqué ci-dessus, construire le carré ABB’A’ et le cercle (c1) de centre I, milieu de [AB], passant par A’, qui coupe (AB) en F et G. Construction Les cercles (c2) de centre A passant par B et (c4) de centre B passant par F se coupent en E. De façon symétrique, les cercles (c3) de centre B passant par A et (c5) de centre A passant par G se coupent en C. Les cercles (c4) et (c5) se coupent en D.
Pentagones d'Hippocrate
• A’ situé sur la diagonale (AD) à l'intersection des cercles (c2) et (c4), Les points A et B sont situés aux intersections de diagonales du pentagone A’B’C’DE’.
Faire de la géométrie dynamique 9. Construction d'architecteDessin à partir d'un côté du pentagone : les points de base (libres) sont deux sommets consécutifs A et B. Simplification de la construction précédente, en utilisant une seule perpendiculaire (AA’) et non un carré. Construction Tracer le cercle (c2) de centre A passant par B. Soit A’ un des points d'intersection entre ce cercle (c2) et la droite perpendiculaire à (AB), passant par A. |
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10. Un triangle intéressant |
Daniel Reisz - Bulletin APMEP no 430 |
![]() Comme expliqué au début de ce chapitre, tracer le triangle d'or BEF. Pour cela, trouver le point F, avec le triangle rectangle isocèle BAA’ et le cercle (c6) de centre I milieu de [AB]. Le point E est à une des intersections des cercles (c4) de centre B passant par F et (c5) de centre A passant par B. Daniel Reisz réalise alors la construction suivante : La perpendiculaire à (BE), passant par A, coupe (ED) en V. On reconnaît la construction du cerf-volant ci-dessus.
11. Autre construction d'un pentagone à partir d'un côté [AB]
Placer les deux premiers points A et B du polygone, placer le point B’ symétrique de B par rapport à A, tracer le cercle c1 de centre A passant par B (diamètre [B’B]), la perpendiculaire en A à (AB) coupe le cercle C1 en A’. Soit c2 le cercle de diamètre [AA’] : son centre J est le milieu de [AA’]. Tracer la droite (B’J), cette droite coupe le cercle c2 au point K.
les cercles c1 et c3 se coupent en D’, tracer le segment [BD’]. La médiatrice de [AB] coupe le segment [BD’] en O : O est le centre du cercle circonscrit c4 au pentagone
et on peut vérifier que l'angle AÔB mesure Pour tracer le pentagone régulier ABCDE, il suffit de placer le point C symétrique de A par rapport à (OB), E est un des points d'intersection des cercles c1 et c4, le point D est à l'intersection du cercle circonscrit c4 et de la médiatrice de [AB] qui passe par O.
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