Sommaire

2002

2002.1. Octaèdre régulier

2004

2004.1. Un devoir qui ne fait pas un pli ! (pliage du coin d'une feuille)
2004.2. Mise en boite
2004.3. Carré d'aire cinq fois plus petite

2005

2005.1. Un ennéagone
2005.2. Ombre d'une fenêtre
2005.3. Carrés inscrits dans un triangle

Sujets traités dans d'autres pages du site

2002

Deux cercles tangents, tangents à un carré

2004

Partage en deux d'un triangle
Multiplication de l'aire d'un triangle

 Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec la version ActiveX de GéoPlan et GéoSpace

Page n^o 83, créée le 31/5/2005, mise à jour le 2/11/2009

Olympiades 2008

Un partage équitable

Sujet national

Transformer un quadrilatère en triangle

Amiens

Partage de l'angle d'un triangle en 4 : construction de-ci, de-là

Existe-t-il un triangle ABC tel que la hauteur, issue de A, la bissectrice de l'angle BÂC et la médiane relative au côté [BC] partagent l'angle BÂC en quatre angles de même mesure ?

Olympiades 2004 - Dijon

Réciproque : prouver qu'un rectangle ayant angle partagé en 4 angles de même mesure par la hauteur, la bissectrice et la médiane, issues du sommet de cet angle, dans cet ordre, est obligatoirement rectangle.

Montpellier

Cloître
Construction d'une parabole, à la manière des compagnons bâtisseurs du Moyen-Âge.

Toulouse

Angles
Rotations

Angles
Trigonométrie

Barycentre

GéoPlan
Minimum-maximum

Fonctions
distance

Faire de la géométrie dynamique

Aix-Marseille

Un ennéagone est un polygone à neuf côtés.

On considère la figure suivante dans laquelle AB₁ = B₁B₂ = B₂C ; BC₁ = C₁C₂ = C₂A et BA₂= A₂A₁ = A₁C.

1. Démontrer que la droite (AE) est perpendiculaire à la droite (BC).

De même, la droite (BF) est perpendiculaire à la droite (AC) et la droite (CG) est perpendiculaire à la droite (AB) (On ne demande pas de le démontrer). On note H le point d'intersection des droites (AE), (BF) et (CG).

2. Quel est le rapport de l'aire de l'ennéagone (A₁A₂FC₁C₂EB₁B₂G) sur celle du triangle (ABC) ?

Solution

1. • Les points A, C₂ et B sont alignés dans cet ordre.
Les points A, B₁ et C sont alignés dans cet ordre.

= =

D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (B₁C₂) et (BC) sont parallèles.

• E est l'orthocentre du triangle (AB₁C₂) car les droites (B₁E) et (C₂E) sont, par construction, deux hauteurs de ce triangle.

(AE) est la troisième hauteur de ce triangle, donc (AE) ^ (B₁C₂).

• (B₁C₂) et (BC) et (AE) ^ (B₁C₂) : on en déduit que (AE) ^ (BC).

2. • Les points A, C₂ et B sont alignés.

Les points A, E et H sont alignés.

(BH) // (C₂E) car elles sont toutes deux perpendiculaires à (AC).

D'après le théorème de Thalès = =

• Le quadrilatère AC₂EB₁ est donc une réduction de rapport du quadrilatère ABHC.

Donc : Aire(AC₂EB₁) = Aire(ABHC) = [Aire(ABC) - Aire(BHC)].

Par raisonnement analogue, on montre que :

Aire(BA₂FC₁) = Aire(BCHA) = [Aire(ABC) - Aire(AHC)],

Aire(CB₂GA₁) = Aire(CAHB) = [Aire(ABC) - Aire(AHB)].

• Par addition, il vient : Aire(AC₂EB₁) + Aire(BA₂FC₁) + Aire(CB₂GA₁)

= [3 × Aire(ABC) - Aire(BHC) - Aire(AHC) - Aire(AHB)]

= [3 × Aire(ABC) - Aire(ABC)] = Aire(ABC).

L'aire de l'ennéagone A₁A₂F C₁C₂E B₁B₂G est complémentaire de l'aire précédente, dans le triangle ABC.

On en déduit : Aire(A₁A₂F C₁C₂E B₁B₂G) = Aire(ABC). 

Télécharger la figure GéoPlan enneagone.g2w

2005.2. Ombre d'une fenêtre

Amiens

La figure 1 représente une fenêtre éclairée par le soleil.

Tracer son ombre sur le plancher (l'ombre du coin inférieur gauche est donnée).

La figure 2 représente la même fenêtre éclairée cette fois par un lampadaire. Tracer son ombre sur le plancher (l'ombre du bord inférieur est donnée).

On réalisera les constructions, qui resteront apparentes, sur la feuille jointe qui sera rendue avec la copie.

Figure 1 : fenêtre éclairée par le soleil.
A’ est l'ombre du point A.

Figure 2 : fenêtre éclairée par le lampadaire
A’ est l'ombre du point A. B’ est l'ombre du point B.

Solutions

Figure 1 : fenêtre éclairée par le soleil.

On construit tout d'abord la droite (AA’).

En considérant que le soleil se trouve à l'infini, on admet que l'angle d'incidence du soleil est identique pour les quatre coins de la fenêtre.

On trace donc les parallèles à (AA’) passant par B, C et D.

On construit ensuite les points A₂ et B₂, pieds des deux côtés de la fenêtre.

Les points A₂, A et D sont alignés, donc leurs projetés le sont aussi (idem pour B₂, B et C). Or A₂ et B₂ sont leurs propres projetés.

On peut donc construire le point D’, point d'intersection de la parallèle à (AA’) passant par D et de la droite (A₂A’).

On trace ensuite la parallèle à (A₂A’) passant par B₂, et les points B’ et C’ sont les points d'intersection de cette droite avec les parallèles à (AA’) passant par B et C.

Le reste de la construction se fait alors sans peine.

Télécharger la figure GéoSpace fenetre_1.g3w

Figure 2 : fenêtre éclairée par le lampadaire

On construit tout d'abord le point d'intersection des droites (AA’) et (BB’), nommé I.

On construit ensuite les points A₂ et B₂, pieds des deux côtés de la fenêtre.

Les points A₂, A et D sont alignés, donc leurs projetés le sont aussi (idem pour B₂, B et C). Or A₂ et B₂ sont leurs propres projetés.

On peut donc construire le point C’, point d'intersection des droites (IC) et (B₂B’), et le point D’, point d'intersection de (ID) et (A₂A’).

Le reste de la construction se fait alors sans peine.

Télécharger la figure GéoSpace fenetre_2.g3w

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

2005.3. Carrés inscrits dans un triangle

 On considère un triangle ABC dont les trois angles sont aigus.
On pose BC = a, CA = b et AB = c.
On appelle h la hauteur relative à [BC] et S l'aire du triangle ABC.

Dans ce triangle, on inscrit le carré IJKL tel que I et J soient sur [BC], K sur [AC] et L sur [AB] comme indiqué sur la figure ci-contre.
On dit que le carré IJKL est « posé » sur [BC]. On appelle C₁ ce carré.

On peut construire, de même, deux autres carrés C₂ et C₃ inscrits dans le triangle ABC, l'un « posé » sur [CA], l'autre « posé » sur [AB].

1 : Exprimer le côté du carré IJKL en fonction de a et h.
2 : On suppose que a ≤ b ≤ c. Classer les trois carrés C₁, C₂ et C₃ par ordre de grandeur.
3 : Déterminer les triangles ABC d'aire S donnée, tels que l'aire du carré IJKL soit maximale.
4 : Existe-t-il des triangles ABC d'aire S donnée, tels que les trois carrés soient d'aires maximales ?

Télécharger la figure GéoPlan hom_car3.g2w
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

2004

2004.1. Un devoir qui ne fait pas un pli !

À partir d'une situation concrète, une lumière neuve sur un problème ouvert ancien.

Problème connexe avec les travaux de l'ingénieur Allemand Walter Porstmann, qui a établi en 1922 le rapport de la longueur à la largeur de la feuille A4 à .

Fiche professeur

Ce problème ouvert peut faire l'objet d'une activité réalisable en première S ou en terminale S, après le cours sur l'étude des fonctions, y compris la composée de fonctions.

Utiliser les TICE pour émettre des conjectures, car la solution mathématique n'est ni directe, ni évidente.

En une séance d'une heure, les élèves construisent la figure avec GéoPlan. Le logiciel leur permet d'émettre des conjectures. Les plus rapides construisent la représentation graphique de la fonction.
La suite est donnée en devoir maison, pour la semaine suivante.

Prolongement :
Reprendre l'étude sur d'autres  formats, par exemple une feuille A4.

Exercice

National

Soit ABCD une feuille de papier rectangulaire de largeur AB = 4 et de longueur BC = 6 Soit R un point de [AB] (bord inférieur de la feuille) et T un point de [AD] (bord droit de la feuille). On replie la feuille suivant le segment [RT] et on appelle S la nouvelle position du point A (coin inférieur droit de la feuille).
Voir figure ci-dessous.

Dans tout l'exercice, on considère que le point  S est sur le segment [BC] (bord gauche de la feuille).
On se propose de déterminer s'il existe une position de S sur le segment [BC] qui donne une longueur de pli PQ minimale, puis dans un deuxième temps de déterminer s'il existe une position de S sur le segment [BC] qui donne une aire minimale pour le triangle SRT.

On pose AR = x, AT = y.

1°) Trouver les valeurs minimale et maximale de x.
2°) Trouver une relation entre x et y lorsque S se déplace sur [BC].
3°) Trouver la valeur de x pour laquelle l'aire de la partie repliée (triangle SRT) est minimale.
Quelle est alors la nature du triangle AST ?

Approche GéoPlan

Placer un point libre R sur le segment [AB]. Si R est à gauche du milieu de [AB] le cercle de centre R passant par A, coupe le segment [BC] en S. La médiatrice de [AS] coupe la droite (AD) en T. Si T appartient au segment [AD] le triangle RST représente le bord replié de la feuille. Dans le cadre de droite de la figure ci-dessus on place les points M(x, y) et N(x, z) où z = A(x) est l'aire du triangle SRT.

Commandes GéoPlan :
touche T pour la Trace de M et N,
touche S pour Sortir du mode trace,
touche L pour les représentations graphiques des fonctions.

Télécharger la figure GéoPlan coin_plie.g2w

Figure 1
T hors de [AD]

Télécharger la figure GéoPlan coin_replie_2.g2w

Figure 2
x minimum

Télécharger la figure GéoPlan coin_replie.g2w

Figure 3

Aire(RST) minimale

Figure 4

x = 4 : maximum

En déplaçant le point R de A vers B on s'aperçoit :
  – que la partie repliée de la feuille est un trapèze qui ne convient pas si 2 < x < 2,29 (figure 1),
  – qu'environ 2,29 est la plus petite valeur de x obtenue lorsque T est D (figure 2),
  – que l'aire de SRT décroît jusqu'à ce que x atteigne 2,67,
      pour x ≈ 2,67 le triangle AST semble être équilatéral avec BS ≈ AT (figure 3),
  – qu'enfin l'aire croit jusqu'à 8 lorsque le point R est en B pour le maximum 4 de x (figure 4).

Indications

1°)  La plus petite valeur de x respectant les conditions est obtenue lorsque T est D (figure 2).
Alors DS = DA = 6, comme CD = 4, d'après Pythagore dans le triangle rectangle CDS, CS = 2.

Donc BS = 6 - 2. Or RS = AR = x et BR = 4 - x. D'après Pythagore dans le triangle rectangle BRS :
x² = (6 - 2)² + (4 - x)², soit (6 - 2)² + 16 - 8x = 0 et enfin x = 9 - 3.

Le maximum pour x est de 4 (figure 4) ; x est compris entre 9 - 3 et 4.

2°) Les triangles rectangles SRT et ART sont symétriques : AR = RS = x, AT = ST = y ; (RT) est la médiatrice de [AS].
Dans le triangle BRS rectangle en B, RS = x et BR = 4-x donc BS² = x² - (4-x)² = 8x -16, BS = 2 .
Les triangles rectangles BAS et ATR ayant leurs côtés perpendiculaires sont semblables et les angles aigus BÂS et ATR sont égaux.

tan(BÂS) = = et tan(ATR) = = , donc y =

3°) L'aire du triangle SRT mesure A(x) = SR × ST = = , x variant sur I[9 - 3, 4].
Cette fonction a pour dérivée A’(x) = qui est du signe de 3x - 8 sur I.
L'aire A admet un minimum atteint pour x = et y = ; minimum égal à A() =
tan ATR = = ; l'angle ATR est alors de 30°. ATS mesure 60° et AT = ST = y ; le triangle isocèle AST ayant un angle de 60° a tous ses angles égaux à 60° et est un triangle équilatéral.

Voir rédaction de quatre solutions et compléments : les olympiades académiques 2004 - brochure APMEP n^o 163
corrigés
Voir : aire maximale d'un triangle
Constructions par pliages

2004.2. Mise en boite

Amiens

Un objet a la forme d'un parallélépipède rectangle de base carrée de côté a = 68 cm et de hauteur inconnue. Il est vendu conditionné dans une boîte cubique de côté a = 68 cm dont il épouse la forme.
Alors qu'on l'insère dans la boîte, l'objet reste coincé en position inclinée, la boîte ferme quand même, l'arête supérieure affleurant juste le couvercle.
Quelle est la hauteur de l'objet ?

Indications

La « vue de face » d'une perspective cavalière de la figure permet de transformer ce problème en problème plan.

On peut se placer a priori dans le cas particulier où l'objet est centré sur la diagonale de la face, ce qui donne la figure ci-contre :

La diagonale ac du carré vaut a = 2y + l= 2y + a, donc 2y = a - a = a( - 1).

Ensuite on constate que d'après la symétrie de la figure, le triangle AMQ dans le coin inférieur gauche est un demi-carré, par conséquent h = 2y.

La hauteur de l'objet vaut donc h = 68( - 1) ≈ 28,17 cm.

Télécharger la figure GéoPlan rectangle_inscrit.g2w
Exporté dans la page forum cadxp : rectangle inscrit

ABCD est un carré de côté 1. À partir de du milieu des côtés de ce carré ABCD, on construit la figure ci-dessous.

1) Justifier que l'on a construit un petit carré à l'intérieur du carré ABCD. Quelle est la longueur de son côté ?

2) Dans la suite, on procède au même découpage des carrés ainsi construits et à chaque étape on colorie les quatre petits triangles formés, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

Montrer que l'aire de la partie colorée tend vers un quart de l'aire du carré ABCD lorsqu'on poursuit indéfiniment cette construction.

Partage en deux d'un triangle

Montpellier

ABC est un triangle quelconque.
I est un point du segment [AC].
Déterminer, puis construire le ou les points J de (BC), tels que la droite (IJ) partage le triangle en deux parties de même aire.

Problème équivalent posé à Créteil en 2008.

Multiplication de l'aire d'un triangle : triangle en seconde

CorseCorse

2002

2002.1. Octaèdre régulier : GéoSpace en seconde

Orléans-Tours

Deux pyramides de même base carrée ABCD, de sommets respectifs E et F distincts, sont accolées par leur base et forment un octaèdre régulier, c'est-à-dire un solide formé de huit faces identiques qui sont des triangles équilatéraux. On suppose que AB = 1.

Montrer que les faces ABE et CDF sont parallèles et déterminer leur distance, c'est-à-dire la plus courte distance d'un point du plan ABE à un point du plan CDF.

Solution

En notant I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [CD], les segments [EI], [EJ], [FI] et [FJ] sont alors des hauteurs d'un triangle équilatéral de côté 1 : ils mesurent tous . Par suite, EIFJ est un losange.
Il en résulte que les droites sécantes (AB) et (EI) du plan (ABE) sont respectivement parallèles aux droites (CD) et (FJ) du plan (CDF) : ces deux plans sont donc parallèles.

Puisque le losange EIFJ est dans le plan médiateur des segments [AB] et [CD], la distance entre les deux plans (ABE) et (CDF) est aussi la hauteur h du losange.

Or les diagonales du losange EIFJ mesurent IJ = 1 et EF = (c'est la diagonale du carré ACF) :
le losange a donc pour aire A = EF × IJ = EI × h ce qui donne h = .

Télécharger la figure GéoSpace octaedre_2.g3w

Deux cercles tangents, tangents à un carré : minimum-maximum

Poitiers

Domaine B2i

Compétence

Item lycée validable

1 – S'approprier un environnement informatique de travail.

Être autonome dans l'usage des services et des outils.

1.1 –  Je sais choisir les services, matériels et logiciels adaptés à mes besoins.

3 – Créer, produire, traiter, exploiter des données.

Concevoir et publier des documents numériques en choisissant le logiciel, le service ou le matériel adapté.

Exploiter des données ou des documents numériques.
Modifier un ou plusieurs paramètres, une situation simulée ou modélisée.

3.5 – Je sais produire une représentation graphique à partir d'un traitement de données numérique.

3.6 – Dans le cadre de mes activités scolaires, je sais repérer des exemples de modélisation ou simulation et je sais citer au moins un paramètre qui influence le résultat.

Faire de la géométrie dynamique

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