Méthode d'Euler Figures interactives avec GéoPlan : construction point par point d'une courbe intégrale.	…avec GéoPlan

1. Introduction

Primitive

Étant donnée une fonction f définie sur un intervalle I = [x₀, x_n] et un réel y₀,

une fonction G, dérivable sur I, telle que G(x₀) = y₀ et G’(x) = f(x) pour tout x de I est une primitive de f.

Principe de Méthode d'Euler

Lorsqu'on ne sait pas trouver une formule explicite de la primitive G, la méthode d'Euler permet de calculer point par point les valeurs d'une fonction affine F telle que la représentation graphique de F soit une courbe approchée de celle de G.

Propriété de la dérivée

Si G est une fonction dérivable sur un intervalle I,  f = G’ sa dérivée sur I et x_i un réel de I.

Pour tout réel h non nul et proche de 0 tel que x_i + h soit dans I on a :

G(x_i + h) ≈ G(x_i) + h G’(x_i) ≈ G(x_i) + h f(x_i)

2. Méthode d'Euler

Pour calculer des valeurs approchées d'une primitive G de f sur I = [x₀, x_n], on divise I en n intervalles et on choisit h = .

Pour la valeur initiale y₀ on a F(x₀) = G(x₀) = y₀ ce qui permet de placer le premier point A₀ (x₀ ; y₀).

Pour les n valeurs x₁ = x₀ + h, x₂ = x₁ + h…, x_n = x_n-1 + h, on calcule de proche en proche, en relation avec la propriété de la dérivée citée ci-dessus, les n valeurs approchées F(x₁), F(x₂)…, F(x_n) de G.

En effet, G est dérivable en x₀ et G’(x₀) = f(x₀) :

F(x₀ + h) = F(x₀) + h f(x₀) soit F(x₁) = y₀ + hG’(x₀) ≈ G(x₁) ; on a y₁ = y₀ + h f(x₀) avec y₁ = F(x₁) ≈ G(x₁).

On recommence avec x₁ :

F(x₁ + h) = F(x₁) + h f(x₁) soit F(x₂) = y₁ + hG’(x₁) ≈ G(x₁) + hG’(x₁) ≈ G(x₂) ; on a y₂ = y₁ + h f(x₁) avec y₂ = F(x₂) ≈ G(x₂).

Puis y₃ = y₂+ h f(x₂) = F(x₃) ≈ G(x₃)

Et ainsi de suite n itérations jusqu'à y_n = y_n-1 + h f(x_n-1) = F(x_n) ≈ G(x_n).

Représentation graphique

On place ensuite, par exemple avec le logiciel GéoPlan, les points A₀(x₀ ; y₀) ; A₁(x₁ ; y₁) ; A₂(x₂ ; y₂) ; … ; A_n(x_n ; y_n).

La courbe représentative de la fonction F, affine par intervalles, constituée des segments [A₀A₁], [A₁A₂]…, [A_n-1A_n] approche la courbe exacte (C) de G.

3. Étude de f(x) =

Étant donnée la fonction f(x) = et les valeurs initiales x₀ = 1 et y₀ = F(x₀) = , calculer les valeurs F(x₁), F(x₂), F(x₃)…

La représentation graphique de F par les segments [A₀A₁], [A₁A₂], [A₂A₃]… « approche » la courbe d'une primitive de f.

TOUCHE X …………… Variation de l'abscisse x₀
TOUCHE H ……… Variation du pas de calcul h
TOUCHE 1 ……… Première construction : A1
TOUCHE 2 ……… Seconde construction : A2
TOUCHE 3 ……… Troisième construction : A3
TOUCHE Z ……… Zoom Avant sur le point A1
TOUCHE CTRL-Z …… Zoom Arrière sur le point A1

Les premières lignes de la figure GéoPlan euler.g2w contiennent les définitions de la fonction f et de sa primitive G :
f fonction: x|->x/2
G fonction: x|->x^2/4
Dans le menu Créer>numérique>fonction numérique, il est possible de changer ces deux fonctions.

La fonction f(x) =  a pour primitive G(x) =  avec x₀ = 1 et y₀ = G(x₀) = .
La courbe (C) représentative de G est placée sur le même graphe que F pour visualiser le calcul des tangentes.

4. Étude de f(x) = 2 -

touche X : sélection de x₀ pour pilotage au clavier,
touche H : sélection de h pour pilotage au clavier,
touche C : effacer ou afficher la courbe de la primitive,
maj N : effacer les noms de points

Condition initiale y₀ = F(x₀) = 0 pour x₀ = 0.

Dans la figure de gauche est tracé de 10 points avec GéoPlan avec un pas h = 1. Cliquer sur la figure et modifier ce pas avec les flèches de direction.

La figure, ci-dessus à droite, utilise la création itérative de GéoPlan. Cliquer sur la figure et taper sur la touche S pour faire apparaître les points suivants. Diminuer le pas h avec les flèches du clavier et supprimer l'affichage des noms de points avec la combinaison de touches maj N pour un grand nombre de points.

Cliquer sur la figure et taper sur la touche C pour le faire disparaître le graphe (C) de F(x) = 2 -  primitive de f telle que F(0) = 0.

Télécharger la figure GéoPlan gauss.g2w
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5. Fonction racine

Étude de f(x) = définie sur [0, ∞[.

Cliquer sur une figure, taper S pour obtenir les points suivants

Télécharger la figure GéoPlan eule_rac.g2w
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6. Fonction logarithme

Étude de f(x) = définie sur ]0, ∞[.

Les abscisses x_n des points A_n doivent rester positives.

Cliquer sur une des figures, taper S pour obtenir les points suivants

Télécharger la figure GéoPlan euler_ln.g2w

On peut constater sur ces exemples qu'avec un pas petit, la méthode d'Euler donne facilement des approximations très précises.