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Méthode d'Euler

Construction point par point d'une courbe intégrale avec GéoPlan en première S.

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Sommaire

1. Introduction
2. Méthode d'Euler
3. Étude de f(x) = x/2

4. Étude de f(x) = 2 - x/2
5. Fonction racine
6. Fonction logarithme
7. Équation différentielle et méthode d'Euler

Page no 32, réalisée le 12/2/2003, modifiée le 29/8/2003

La méthode d'Euler, nommée ainsi en l'honneur de Leonhard Euler, est une procédure numérique pour résoudre par approximation des équations différentielles du premier ordre avec une condition initiale. C'est la plus simple des méthodes de résolution numérique d'équations différentielles que l'on peut utiliser dès la terminale S.

D'après Wikipédia

1. Introduction

Primitive

Étant donnée une fonction f définie sur un intervalle I = [x0, xn] et un réel y0,

une fonction G, dérivable sur I, telle que G(x0) = y0 et G’(x) = f(x) pour tout x de I est une primitive de f.

Principe de Méthode d'Euler

Lorsqu'on ne sait pas trouver une formule explicite de la primitive G, la méthode d'Euler permet de calculer point par point les valeurs d'une fonction affine F telle que la représentation graphique de F soit une courbe approchée de celle de G.

Propriété de la dérivée

Si G est une fonction dérivable sur un intervalle I, f = G’ sa dérivée sur I et xi un réel de I.

Pour tout réel h non nul et proche de 0 tel que xi + h soit dans I on a :

G(xi + h) ≈ G(xi) + h G’(xi) ≈ G(xi) + h f(xi)

2. Méthode d'Euler

Pour calculer des valeurs approchées d'une primitive G de f sur I = [x0, xn], on divise I en n intervalles et on choisit h = (xn-x0)n.

Pour la valeur initiale y0 on a F(x0) = G(x0)= y0 ce qui permet de placer le premier point A0 (x0 ; y0).

Pour les n valeurs x1 = x0 + h, x2 = x1 + h…, xn = xn-1 + h, on calcule de proche en proche,en relation avec la propriété de la dérivée citée ci-dessus, les n valeurs approchées F(x1), F(x2)…, F(xn) de G.

En effet, G est dérivable en x0 et G’(x0) = f(x0) :

F(x0 + h) = F(x0) + h f(x0) soit F(x1) = y0 + hG’(x0) ≈ G(x1) ; on a y1 = y0 + h f(x0) avec y1 = F(x1) ≈ G(x1).

On recommence avec x1 :

F(x1 + h) = F(x1) + h f(x1) soit F(x2) = y1 + hG’(x1) ≈ G(x1) + hG’(x1) ≈ G(x2) ; on a y2 = y1 + h f(x1) avec y2 = F(x2) ≈ G(x2).

Puis y3 = y2+ h f(x2) = F(x3) ≈ G(x3)

Et ainsi de suite n itérations jusqu'à yn = yn-1 + h f(xn-1) = F(xn) ≈ G(xn).

Représentation graphique

On place ensuite, par exemple avec le logiciel GéoPlan, les points A0(x0 ; y0) ; A1(x1 ; y1) ; A2(x2 ; y2) ; … ; An(xn ; yn).

La courbe représentative de la fonction F, affine par intervalles, constituée des segments [A0A1], [A1A2]…, [An-1An] approche la courbe exacte (C) de G.

3. Étude de f(x) = x/2

Étant donnée la fonction f(x) = x/2 et les valeurs initiales x0 = 1 et y0 = F(x0) = 1/4, calculer les valeurs F(x1), F(x2), F(x3), …

La représentation graphique de F par les segments [A0A1], [A1A2], [A2A3]… « approche » la courbe d'une primitive de f.
Augmenter n pour diminuer h et obtenir de bien meilleurs résultats

Courbe représentative approchée

La fonction f(x) = x/2 a une primitive G(x) = x²/4 correspondant aux valeurs initiales x0 = 1 et y0 = G(x0) = 1/4.

La courbe (C) représentative de G est placée sur le même graphe que F pour visualiser le calcul des tangentes.

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Faire de la géométrie dynamique

 4. Étude de f(x) = 2 - x/2

D'après Terracher - Analyse 1S - page 86 - Hachette 2001 

étude de f(x) = 2 - x/2

Condition initiale y0 = F(x0) = 0 pour x0 = 0.

Tracé de 10 points avec GéoPlan avec un pas h = 1.

Comparaison avec la primitive Représentation de G(x) = 2x - x²/4,  primitive de f telle que G(0) = 0.

  g2w Télécharger la figure GéoPlan gauss.g2w

5. Fonction racine

Étude de f(x) = rac(x) définie sur [0, ∞[.

Fonction racine

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6. Fonction logarithme

Étude de f(x) = 1/x définie sur ]0, ∞[.

Fonction logarithme

g2w Télécharger la figure GéoPlan euler_ln.g2w

 On peut constater sur ces exemples qu'avec un pas petit, la méthode d'Euler donne facilement des approximations très précises.

 7. Équation différentielle et méthode d'Euler

Épreuve pratique - Terminale S - 2007 - Sujet 021

Le but de l'exercice est de mettre en œuvre la méthode d'Euler pour une équation différentielle de type y’ = ay (où a est un réel donné) et d'en déduire une valeur approchée.

Compétences évaluées
Compétences TICE
– Utiliser un tableur, notamment ses fonctions graphiques ;
– Réaliser une feuille de calcul adaptée à la situation.
Compétences mathématiques
– Mettre en œuvre les connaissances sur la méthode d'Euler ;
– Déterminer la primitive d'une fonction, avec condition initiale ;
– Faire le lien entre la fonction approchée obtenue par la méthode d'Euler et la primitive : évaluer une précision.

 

Fonctions - importation active

GéoPlan
Le barycentre

GeoGebra
Le plan projectif

GéoPlan
Lieux géométriques

GéoPlan 1S
Tangente

GéoPlan en 1S

Sommaire

1. Introduction
2. Méthode d'Euler
3. Étude de f(x) = x/2
4. Étude de f(x) = 2 - x/2
5. Fonction racine
6. Fonction logarithme
7. Équation différentielle et méthode d'Euler

logo géoplan Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec la version ActiveX de GéoPlan

 

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