Homothétie avec GéoPlan

Démonstrations de géométrie utilisant l'homothétie : problèmes de construction, points de concours.

L'homothétie n'est plus étudié en classe de première.

Sommaire

1. Transformé d'un triangle par homothétie
2. Configuration de base des homothéties
3. Parallélogramme et diagonale
4. Carré inscrit dans un triangle
5. Demi-cercle et carré
6. Prouver un point de concours
7. Parallélogramme et homothétie
8. Triangle à côtés perpendiculaires
9. Homothéties transformant deux cercles
Tangentes communes à deux cercles
10. Cercle tangent à deux droites, passant par un point donné
11. Homothétie, triangle et centre de gravité

Homothétie

Cordes de cercles tangents et point fixe : Angles - Rotations

Quadrilatère complet : le plan projectif
Itération d'homothéties : pentagone

Les carrés autour de BOA
Droite et cercle d'Euler : la géométrie du triangle

Page n^o 44, réalisée le 16/6/2003, modifiée le 18/1/2010

Faire de la géométrie dynamique

Angles
Trigonométrie

Angles
Rotations

GéoPlan
Minimum-maximum

Fonctions distance

Index

1. Transformé d'un triangle par homothétie

M varie sur un triangle ABC. Soit h une homothétie de centre O et de rapport k. A’, B’, C’ et M’ les images respectives par h de A, B, C et M.

Télécharger la figure GéoPlan trihomo.g2w

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

2. Configuration de base des homothéties

[AB], [CD] et [EF] sont trois segments parallèles distincts.

Les points I, J et K, placés selon la figure, sont alors alignés.

Indications

Il existe une homothétie f de centre K qui transforme le segment [AB] en [CD],
et une homothétie g de centre I qui transforme le segment [CD] en [EF].

Par g le point K a pour image K’, K et son transformé K’ sont alignés avec le centre I, I est situé sur la droite (KK’).

La composée h = gοf est une homothétie qui transforme le segment [AB] en [EF], son centre est le point J.

Par h le point K a pour image gοf (K) = g(K) = K’, K et K’ sont alignés avec le centre J, J est situé sur la droite (KK’).

Les points I et J, situés sur la droite (KK’), sont alignés avec K.

Télécharger la figure GéoPlan hom_trap.g2w

3. Parallélogramme et diagonale

ABCD est un parallélogramme.

a. Droites parallèles

M est un point variable sur la diagonale [AC].
Les droites issues de M, parallèles à (BC) et à (AB), déterminent les points I, J, K et L.

En utilisant deux homothéties de centre A et C, montrer que les droites (IL), (BD) et (JK) sont parallèles.

Les parallélogrammes complémentaires ALMI et MJCK sont dits équivalents (Legendre - Éléments de géométrie - 1794).

Télécharger la figure GéoPlan hom_para.g2w

b. Problème réciproque

I, J et L sont trois points situés respectivement sur les côtés [AB], [CD] et [AD] d'un parallélogramme ABCD, distinct des sommets.
La parallèle à (IL) passant par J rencontre (BC) en K.
Montrer que les droites (AC), (IJ) et (KL) sont concourantes.

Solution par la géométrie analytique

Pour cela, on considère le repère (A, , ) et on note i et j les abscisses de I et J, l et k les ordonnées de L et K.

Coordonnées des points de la figure : I(i, 0) ; J(j, 1) ; L(0, l) ; K(1, k).
Coordonnées de vecteurs : (-i, l) ; (1-j, k-1) ; (j-i, 1) ; (1, k-l)

Les vecteurs et étant colinéaires on a : i(1 - k) = l (1 - j).

Soit M le point d'intersection des droites (AC) et (IJ) :

La droite (AC) a pour équation y = x.
Une équation de la droite (IJ), de vecteur directeur (j-i, 1), est y = (x-i).
Ces deux droites sont sécantes, et en résolvant le système formé par ces deux équations, on trouve les coordonnées de leur point d'intersection qui sont : x_M = y_M = .

Les coordonnées (x_M, y_M) de M vérifient l'équation de la droite (LK) :

La droite (LK), droite de vecteur directeur (1, k - l) passant par L(0, l), a pour équation y - l = (k - l)x.
En substituant x_M et y_M dans cette équation on obtient : - l = (k - l) ,

soit i - l (i - j + 1) = (k - l)i, d'où i- ki = l - lj cette égalité étant vérifiée en raison de la colinéarité de et , les coordonnées de M vérifient bien l'équation y_M - l = (k - l)x_M. Le point M est donc sur la troisième droite (LK) et les trois droites (AC), (IJ) et (KL) sont concourantes en M.

Télécharger la figure GéoPlan hom_par4.g2w

c. Parallélogramme de Pappus

M est un point variable du plan n'appartenant pas à la diagonale (BD).
La parallèle à (AD) passant par M coupe (AB) en I et (CD) en J.
La parallèle à (AB) passant par M coupe (BC) en K et (AD) en L.

Les droites (IK) et (JL) sont sécantes en un point N, les points A, C et N sont alignés.

Télécharger la figure GéoPlan hom_par1.g2w

Pappus dans ce site :

Théorème de Pappus : plan projectif
Figure de Pappus : Thalès
Démonstration de Pappus : Pythagore

Cette figure permet aussi de proposer, en classe de troisième, le problème assez difficile suivant :
Si M est un point variable sur la diagonale [AC], montrer que les aires des parallélogrammes IBKM et LMJD sont égales.
Voir : deux parallélogrammes d'aires égales

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Indications

On note P le point d'intersection des droites (IK) et (CD) et Q l'intersection de (LJ) et (BC).
Montrer que les droites (IL) et (PQ) sont parallèles (théorème de Pappus, preuve analytique ci-dessous).

L'homothétie h de centre N, qui transforme I en P, transforme (IL) en sa parallèle (PQ), donc transforme L en Q.
L'homothétie h transforme la droite (AB), passant par I, en sa parallèle passant par P, donc en (CD).
De même, h transforme (AD), passant par L, en sa parallèle passant par Q, donc en (BC).
h transforme donc (AB) et (AD) en (CD) et (BC). h transforme le point d'intersection A des deux premiers côtés en C point d'intersection des deux autres.
Le centre d'homothétie N est aligné avec le point A et son image C : les points N, A et C sont alignés.

Télécharger la figure GéoPlan hom_par2.g2w

À l'aide du repère (A, , ), il est facile et élégant de faire une démonstration en géométrie analytique.

Si les coordonnées de M sont (a, b), celles des points d'intersection avec le parallélogramme sont : I(a, 0) ; J(a, 1) ; L(0, b) et K(1, b).
Les coordonnées des vecteurs directeurs (1-a, b) et (a, 1-b) permettent de trouver les équations des droites (IK) et (LJ) :
bx + (a-1)y = ab,
(b-1)x + ay = ab.

En calculant la différence de ces deux équations et en substituant on obtient :
x - y = 0,
x = ab/(a + b - 1).

Le point N est bien sur la diagonale (AC) d'équation x - y = 0, à condition que M ne soit pas sur l'autre diagonale (BD) d'équation x + y - 1 = 0.

Remarque : démonstration de (IL) // (PQ).
(-a, b) : la droite (IL), d'équation bx + ay = ab, a coefficient directeur - b/a.
Les coordonnées de P et Q sont P(1, (ab + 1 - a)/b) et Q((ab + 1 - b)/a), 1) ; d'où ((ab + 1 - a - b)/b, (ab + 1 - a - b)/a).
La droite (PQ) a aussi pour coefficient directeur - b/a et est parallèle à (IL).

4. Carré inscrit dans un triangle

Soit ABC un triangle. Trouver un carré DEFG inscrit dans le triangle ABC (ses sommets sont sur les côtés du triangle).

a. Figure 1

Construire un carré de côté [AB] et utiliser une homothétie de centre C.

Télécharger la figure GéoPlan hom_care.g2w

Carré d'aire maximale, voir : olympiades Versailles 2005

b. Problème BOA

Les perpendiculaires à (CB’), issue de A, et à (CC’), issue de B, se coupent en I.
La droite (CI) semble perpendiculaire à la droite (AB) ?

Télécharger la figure GéoPlan hom_car2.g2w
Démonstration par les rotations : voir figure de Vecten dans carrés autour de BOA ou figure du moulin à vent d'Euclide

c. Figure 2 : homothétie de centre A

Classe de cinquième

Placer un point M sur le côté [AC] du triangle.

Soit P la projection orthogonale de M sur la droite (AB).
Construire le carré direct MPQR de côté [MP], son deuxième côté [PQ] se trouve sur la droite (AB).

Avec GéoPlan, on peut chercher une solution en déplaçant le point M et en affichant le lieu du point R.

Commandes

Taper T pour la Trace du point R,
taper F pour sortir du mode trace.

Inscrire un carré dans un triangle avec une homothétie

Preuve

Commande GéoPlan : taper S pour la solution.

La droite (AR) rencontre la droite (BC) en F.
L'homothétie de centre A qui transforme R en F transforme le carré MPQR en un carré GDEF dont les sommets sont sur les côtés du triangle ABC.

Télécharger la figure GéoPlan hom_car3.g2w

La géométrie à l'épreuve pratique de terminale S avec GéoPlan et GéoSpace.

5. Demi-cercle et carré

L'École d'Athènes - Raphaël, vers 1510 - Musée du Vatican

a. Inscrire un carré entre un demi-cercle et son diamètre [AB].

Classe de première L

Construire un carré de côté [AB] et utiliser une homothétie de centre O milieu de [AB].

Le côté du carré est égal au diamètre AB, divisé par .
En effet si le côté du carré est 1, alors OA’ = et A’D’ = 1, l'hypoténuse du triangle rectangle OA’D’ vaut et est égale au rayon du cercle.
AB’ = AO + OB’ = + = est égal au nombre d'or Φ.

ABEF est un « rectangle » : le rapport entre la longueur et la largeur est . Il est la juxtaposition d'un carré de côté 1 et deux rectangles d'or de longueur 1 et de largeur

AB’C’F et A’BED’ sont des rectangles d'or de longueur Φ et de largeur 1.

Télécharger la figure GéoPlan cer_care.g2w

Voir tracé régulateur
Construction du pentagone à partir d'un carré inscrit dans un demi-cercle

6. Prouver un point de concours

Prouver un point de concours Deux carrés ABCD et BEFG ont un sommet commun B et deux côtés alignés :
E est sur la droite (AB) ; G est sur la droite (BC).

Montrer que les droites (AB), (DG) et (CF) sont concourantes.

Télécharger la figure GéoPlan deu_care.g2w

7. Partage d'un segment en trois : parallélogramme et homothétie

ABCD est un parallélogramme et I le milieu [CD].
Les diagonales du parallélogramme coupent [IA] en P et [IB] en Q.

Que représente le point P dans le triangle ACD et le point Q dans le triangle BCD ?

En utilisant une homothétie de centre I, montrer que la droite (PQ) est parallèle à (AB) et que PQ = .

Voir aussi : parallélogramme - figure incomplète

Télécharger la figure GéoPlan hom_par5.g2w
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8. Triangle à côtés perpendiculaires

Problème de construction

Construire un triangle MNP inscrit dans un triangle ABC ayant ses « côtés perpendiculaires » à ceux de ABC.

figure GéoPlan tria_cote_perpendiculaire_3.g2w

Analyse : Soit un point M de [AB]. On appelle N le projeté orthogonal de M sur (BC), P le projeté orthogonal de N sur (AC), Q le projeté orthogonal de P sur (AB).

En général, la ligne brisée MNPQ ne se referme pas et on appelle R le point d'intersection des droites (MN) et (PQ).

Avec GéoPlan, déplacer le point M. On trouve une solution lorsque les points M et Q sont confondus avec le point R.

Le problème admet une solution : figure ci-dessus

Soit x l'abscisse du M dans le repère (B, ) et y l'abscisse de Q.

La fonction qui à x fait correspondre y est une fonction affine décroissante de l'intervalle [0, 1].
Il existe donc dans le graphique un point S₁ où la droite représentative de cette fonction coupe la droite d'équation y = x.

Construction géométrique de la solution : figure ci-contre à droite.

La trace du point R est une droite, passant par C, permettant de mettre en évidence des homothéties de centre C.

Utilisation des propriétés de l'homothétie.

figure GéoPlan tria_cote_perpendiculaire.g2w

Synthèse

La droite (CR) rencontre (AB) en M’. L'homothétie de centre C qui transforme R en M’ transforme N en N’ et P en P’. Le triangle M’N’P’ a ses côtés parallèles aux côtés de RNP, donc orthogonaux aux côtés du triangle ABC.
Le triangle M’N’P’, inscrit dans ABC, est une solution.

Une deuxième solution

côtés perpendiculaires - 2 Solution

En plaçant le point N₁ sur la perpendiculaire à (AB) en M, on construit le triangle N₁P₁R₁. La droite (CR₁) rencontre (AB) en M”. L'homothétie de centre C qui transforme R₁ en M” permet de construire une deuxième solution : le triangle M”N”P”.

figure GéoPlan tria_cote_perpendiculaire_2.g2w

9. Homothéties transformant deux cercles
Tangentes communes à deux cercles

Télécharger la figure GéoPlan homo_cercle.g2w

Quatre tangentes communes à deux cercles

Commande GéoPlan
Taper N pour visualiser l'homothétie de rapport Négatif
et éventuellement les deux autres tangentes.

Soit deux cercles c(O, r) et c’(O’, r’) avec r < r’, le petit cercle (c) n'est pas à l'intérieur de (c’) : r + OO’ > r’.

Il existe une homothétie de rapport positif r’/r transformant (c) en (c’). Le centre I de cette homothétie est situé sur la ligne des centres (OO’). Pour le trouver, il suffit, étant donné un point M variable sur (c), de tracer un rayon OM₁ parallèle à OM et de même sens. Le point M₁ de (c’) est alors l'image de M par l'homothétie et ces points sont alignés avec I. Le point I est l'intersection des droites (OO’) et (MM₁).

Par I on peut mener les deux tangentes communes aux deux cercles. Les points de contact se tracent avec précision, comme points d'intersection du cercle (c) avec le cercle de diamètre [IO] ou comme points d'intersection du cercle (c’) avec le cercle de diamètre [IO’].

De même, on trouve le centre J de l'homothétie, de rapport négatif -r’/r, transformant (c) en (c’), en traçant le point M₂ de (c’), tel que le rayon OM₂ soit parallèle à OM et de sens contraire.
Si les cercles (c) et (c’) sont extérieurs l'un à l'autre (r + r’ < OO’), J est alors le point de concours de deux autres tangentes.
Dans ce cas on trouve les points de contact, par exemple, comme points d'intersection du cercle (c) avec le cercle de diamètre [OJ].

Étudier les cas particuliers où les cercles ont le même rayon : il existe deux tangentes communes parallèles à la ligne des centres.

En conclusion si un des cercles est l'intérieur de l'autre, pas de tangente commune.
Si les cercles sont tangents intérieurement, la tangente au point de contact est la seule tangente commune.
Si les cercles sont sécants en deux points, il y a deux tangentes communes.
Si les cercles sont tangents extérieurement, il y a trois tangentes communes, en comptant la tangente au point de contact.
Si les cercles sont extérieurs l'un à l'autre, il y a quatre tangentes communes.

Voir l'adaptation au collège de cet article dans : constructions en troisième
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Faire de la géométrie dynamique

Axe radical

Notion disparue de l'enseignement français au lycée.

L'axe radical de deux cercles, de centres distincts, est l'ensemble des points qui ont même puissance par rapport à ces deux cercles.
L'axe radical est une droite perpendiculaire à la ligne des centres.
Les tangentes menées aux deux cercles à partir d'un point de l'axe radical (extérieur aux deux cercles) ont même longueur.

Voir géométrie du cercle
Inversions échangeant deux cercles

Tangentes aux points de contact

APMEP Exercice de-ci, de-là, n^o 462-3 - Solution de Richard Beczkowski - Bulletin APMEP n^o 464

Soit I le point d'intersection des tangentes extérieures à deux cercles extérieurs. Par I on trace une droite qui coupe les deux cercles en quatre points. Les tangentes en ces quatre points forment un quadrilatère.

Montrer que :
a) ce quadrilatère est un parallélogramme,
b) une de ses diagonales passe par I,
c) l'autre diagonale est l'axe radical des deux cercles.

Le point I existe si les cercles (c) et (c’) sont de rayons différents, il est alors le centre d'homothétie positive de ces deux cercles.

a) La sécante menée par I coupe (c) en A et B et (c’) en ses images A’ et B’.
Les tangentes en A’ et B’ à (c’) sont les images des tangentes à (c) en A et B.
Nous avons donc deux couples de droites parallèles qui forment un parallélogramme CDEF, à condition que la sécante ne soit pas confondue avec la ligne des centres (OO’).

b) Les tangentes en A et B se coupent en C, les droites images, tangentes en A’ et B’ au cercle (c’), se coupent en E.
Par l'homothétie, les points C et E sont homologues et sont donc alignés avec son centre I.

c) Les triangles BAC et BA’D, ayant leurs côtés deux à deux parallèles ou confondus, sont homothétiques. Le premier étant isocèle, car CA = CB, le deuxième l'est aussi : DA’ = DB, D a même puissance par rapport aux deux cercles.
À l'aide des triangles B’AF et B’A’E on procède de même pour prouver que le point F a même puissance par rapport aux deux cercles.
La droite (DF) est l'axe radical des deux cercles.

Télécharger la figure GéoPlan ex_462_3.g2w

10. Cercle tangent à deux droites, passant par un point donné

On donne deux droites (d₁), (d₂) sécantes et un point A n'appartenant pas à ces droites.
Existe-t-il un cercle (c), passant par A, tangent à ces deux droites ?
Combien y a-t-il de solutions à ce problème ?

Analyse

Placer un point variable Ω sur la bissectrice de (d₁, d₂) située dans le même secteur angulaire que A et tracer le cercle (c), passant par le point H projection orthogonale de Ω sur la droite (d₁). Ce cercle est tangent aux deux droites.
Avec GéoPlan, il suffit de déplacer Ω pour trouver deux solutions.

Problème - Cercle tangent à deux droites passant par un point donné

Télécharger la figure GéoPlan cercl_tg_2_droites.g2w

Construction de Wallis basée sur la puissance d'un point par rapport à un cercle : voir construction de cercles

Solution

Utiliser des homothéties, de centre I, transformant le cercle (c) en des cercles passant par A.

Étant donné un cercle (c), la droite (IA) rencontre (c) en deux points A₁ et A₂.
L'homothétie de centre I qui transforme A₁ en A, transforme Ω en O₁, H en H₁ et le cercle (c) en (c₁),
l'autre homothétie de centre I qui transforme A₂ en A, transforme Ω en O₂, H en H₂ et le cercle (c) en (c₂).

Les cercles (c₁) et (c₂), passant par A, tangents à (d₁) et (d₂), sont les deux solutions du problème.

11. Homothétie, triangle et centre de gravité

Soit ABC un triangle ;
les points A’, B’ et C’ les milieux des côtés [BC], [CA] et [AB] ;
G son centre de gravité.

Les points A, B et C sont les images de A’, B’ et C’ par l'homothétie h de centre G et de rapport -2.

Triangle médian

Le triangle A’B’C’, dont les sommets sont les pieds des médianes, est le triangle médian du triangle ABC.
Le triangle médian est l'homothétique du triangle ABC, par l'homothétie réciproque h^{– 1}, de centre G et de rapport .

Partage d'un triangle en quatre

Les droites des milieux partagent le grand triangle en quatre triangles homothétiques : dans le rapport pour le triangle médian, dans le rapport pour les trois autres.

Télécharger la figure GéoPlan medianes.g2w
Télécharger la figure Cabri medianes.fig
Télécharger la figure GeoLabo medianes.glb

Exercice a

Soit P, Q et R les symétriques d'un point M du plan par rapport aux milieux A’, B’ et C’ des côtés d'un triangle ABC.

Montrer que [AP], [BQ] et [CR] ont même milieu.

Solution : composée d'homothéties

La composée de l'homothétie f de centre M et de rapport , suivie l'homothétie h de centre G et de rapport -2 a pour rapport
k = × (-2) = −1, c'est une symétrie centrale de centre I.

	f(M, )		h(G, -2)
P	→	A’	→	A
Q	→	B’	→	B
R	→	C’	→	C

Le centre I est donc le milieu des segments [AP], [BQ] et [CR].

Télécharger la figure GéoPlan sym_milieux_triangle.g2w

Exercice b

Soit ABC un triangle ; les points A’, B’ et C’ les milieux des côtés [BC], [CA] et [AB] ; G son centre de gravité.

Étant donné un point M du plan, montrer que la parallèle en A à (MA’), la parallèle en B à (MB’) et la parallèle en C à (MC’) sont concourantes.

Solution

Le point P de concours est l'image de M par l'homothétie h de centre G et de rapport -2.

L'homothétie h transforme (A, B, C) en (A’, B’, C’) et M en un point P.
Ce point P est sur l'image par h de (MA’), c'est-à-dire la parallèle en A à (A’M).
Pour les mêmes raisons, le point P est aussi sur la parallèle en B à (B’M) et sur la parallèle en C à (C’M).

Ces trois droites sont concourantes en P.

Télécharger la figure GéoPlan para_milieux_triangle.g2w

Ladegaillerie - Géométrie pour le CAPES - Ellipses 2003 - II. Application affine - 2. Homothétie - Exercices 7 et 15.

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