Démonstrations de géométrie utilisant l'homothétie : problèmes de construction, points de concours.
Homothétie avec GéoPlan
Sommaire1. Transformé d'un triangle par homothétie |
HomothétieCordes de cercles tangents et point fixe : Angles - Rotations Quadrilatère complet : le plan projectif Les carrés autour de BOA Page no 44, réalisée le 16/6/2003, modifiée le 18/1/2010 | ||||
Angles en 1S | Angles en 1S | GéoPlan | Faire de la géométrie dynamique | ||
Domaine B2i |
Compétence |
Item lycée validable |
1 – S’approprier un environnement informatique de travail. |
Être autonome dans l’usage des services et des outils. |
1.1 – Je sais choisir les services, matériels et logiciels adaptés à mes besoins. |
3 – Créer, produire, traiter, exploiter des données. |
Concevoir et publier des documents numériques en choisissant le logiciel, le service ou le matériel adapté. Exploiter des données ou des documents numériques. |
3.5 – Je sais produire une représentation graphique à partir d’un traitement de données numérique. 3.6 – Dans le cadre de mes activités scolaires, je sais repérer des exemples de modélisation ou simulation et je sais citer au moins un paramètre qui influence le résultat. |
1. Transformé d'un triangle par homothétie
Figure : Hervé Milliard
Sommaire 2. Configuration de base des homothéties
Les points I, J et K, placés selon la figure, sont alors alignés. Indications Il existe une homothétie f de centre K qui transforme le segment [AB] en [CD], Par g le point K a pour image K’, K et son transformé K’ sont alignés avec le centre I, I est situé sur la droite (KK’). La composée h = gοf est une homothétie qui transforme le segment [AB] en [EF], son centre est le point J. Par h le point K a pour image gοf (K) = g(K) = K’, K et K’ sont alignés avec le centre J, J est situé sur la droite (KK’). Les points I et J, situés sur la droite (KK’), sont alignés avec K.
3. Parallélogramme et diagonaleABCD est un parallélogramme.
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, 
)
et on note i et j les abscisses de I et J, l et k les ordonnées de L et K.
(-i, l); 
(1-j, k-1); 
(j-i, 1); 
(1, k-l)
(x-i).
. Soit M est un point variable du plan n'appartenant pas à la diagonale (BD). Les droites (IK) et (JL) sont sécantes en un point N, les points A, C et N sont alignés.
Théorème de Pappus : plan projectif Cette figure permet aussi de proposer, en classe de troisième, le problème assez difficile suivant : Sommaire |
Indications On note P le point d'intersection des droites (IK) et (CD) et Q l'intersection de (LJ) et (BC). L'homothétie h de centre N, qui transforme I en P, transforme (IL) en sa parallèle (PQ), donc transforme L en Q.
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Classe de seconde À l'aide du repère (A, Si les coordonnées de M sont (a, b), celles des points d'intersection avec le parallélogramme sont : I(a, 0); J(a, 1) ; L(0, b) et K(1, b). En calculant la différence de ces deux équations et en substituant on obtient : Le point N est bien sur la diagonale (AC) d'équation x - y = 0, à condition que M ne soit pas sur l'autre diagonale (BD) d'équation x + y - 1 = 0. Remarque : démonstrtion de (IL) // (PQ). |
(1-a, b) et 
(a, 1-b) permettent de trouver les équations des droites (IK) et (LJ) :
((ab + 1 - a - b)/b, (ab + 1 - a - b)/a).4. Carré inscrit dans un triangle
Soit ABC un triangle. Trouver un carré DEFG inscrit dans le triangle ABC (ses sommets sont sur les côtés du triangle).
a. Figure 1
Construire un carré de côté [AB] et utiliser une homothétie de centre C.
Carré d'aire maximale, voir : olympiades Versailles 2005 |
b. Problème BOA
Les perpendiculaires à (CB’), issue de A, et à (CC’), issue de B, se coupent en I.
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c. Figure 2 : homothétie de centre A
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Classe de cinquième
Placer un point M sur le côté [AC] du triangle. Soit P la projection orthogonale de M sur la droite (AB). Avec GéoPlan, on peut chercher une solution en déplaçant le point M et en affichant le lieu du point R. Commandes Taper T pour la Trace du point R, |
Preuve Commande GéoPlan : taper S pour la solution. La droite (AR) rencontre la droite (BC) en F.
Paragraphes exportés dans : carré au collège |
d. Le carré inscrit
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5. Demi-cercle et carré
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a. Inscrire un carré entre un demi-cercle et son diamètre [AB]. Classe de première L Construire un carré de côté [AB] et utiliser une homothétie de centre O milieu de [AB].
Le côté du carré est égal au diamètre AB, divisé par ABEF est un « rectangle AB’C’F et A’BED’ sont des rectangles d'or de longueur Φ et de largeur 1.
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b. Construction d'un carré à partir d'un point sur un demi-cercle
ABCD est un carré et (c) le demi-cercle extérieur de diamètre [CD]. Montrer que PQRS est un carré. PQ est maximum, lorsque M est au milieu du demi-cercle (c).
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.
et A’D’ = 1, l'hypoténuse du triangle rectangle OA’D’ vaut 
et est égale au rayon du cercle.
est égal au 
c. Paraboles et situation géométrique
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On note a le côté du carré ABCD, b le côté du carré PQRS. Soit x la longueur de DP reportée en IP’ et y la longueur de QC reportée en IQ’. Si s = x + y = a - b et p = xy = b2, x et y sont les solutions de l'équation x2 - sx + p = 0. La forme canonique du trinôme est x2 - sx + p = x2 - (a - b)x + b2 = PQ est maximum lorsque b = D'après le classeur du professeur - Déclic - classe de seconde - Hachette
6. Prouver un point de concours
Deux carrés ABCD et BEFG ont un sommet commun B et deux côtés alignés : Montrer que les droites (AB), (DG) et (CF) sont concourantes.
7. Parallélogramme et homothétie
Que représente le point P dans le triangle ACD et le point Q dans le triangle BCD ? En utilisant une homothétie de centre I, montrer que la droite (PQ) est parallèle à (AB)
et que PQ = Voir : parallélogramme - figure incomplète
8. Triangle à côtés perpendiculairesProblème de construction Construire un triangle MNP inscrit dans un triangle ABC ayant ses « côtés perpendiculaires » à ceux de ABC. |
![[x - (a - b)/2]2 - (a - 3b)(a + b)/4.](homothetie/forme_canonique.jpg){kind=small}
, les points P’ et Q’ sont confondus et M est au milieu du demi-cercle (c).
Homothétie en classe de seconde :
.
figure GéoPlan tria_cote_perpendiculaire_3.g2w
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Analyse : Soit un point M de [AB]. On appelle N le projeté orthogonal de M sur (BC), P le projeté orthogonal de N sur (AC), Q le projeté orthogonal de P sur (AB). En général, la ligne brisée MNPQ ne se referme pas et on appelle R le point d'intersection des droites (MN) et (PQ). Avec GéoPlan, déplacer le point M. On trouve une solution lorsque les points M et Q sont confondus avec le point R. Le problème admet une solution : figure ci-dessus Soit x l'abscisse du M dans le repère (B, La fonction qui à x fait correspondre y est une fonction affine décroissante de l'intervalle [0, 1]. Construction géométrique de la solution : figure ci-contre à droite. La trace du point R est une droite, passant par C, permettant de mettre en évidence des homothéties de centre C. |
Utilisation des propriétés de l'homothétie.
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Synthèse
La droite (CR) rencontre (AB) en M’. L'homothétie de centre C
qui transforme R en M’ transforme N en N’ et P en P’. Le triangle M’N’P’ a ses côtés parallèles aux côtés
de RNP, donc orthogonaux aux côtés du triangle ABC. |
Une deuxième solution
En plaçant le point N1 sur la perpendiculaire à (AB) en M, on construit le triangle N1P1R1. La droite (CR1) rencontre (AB) en M”. L'homothétie de centre C qui transforme R1 en M” permet de construire une deuxième solution : le triangle M”N”P”. |
) et y l'abscisse de Q.
9. Homothéties transformant deux cercles
Tangentes communes à deux cercles
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Soit deux cercles c(O, r) et c’(O’, r’) avec r < r’, le petit cercle (c) n'est pas à l'intérieur de (c’) : r + OO’ > r’. Il existe une homothétie de rapport positif r’/r transformant (c) en (c’). Le centre I de cette homothétie est situé sur la ligne des centres (OO’). Pour le trouver, il suffit, étant donné un point M variable sur (c), de tracer un rayon OM1 parallèle à OM et de même sens. Le point M1 de (c’) est alors l'image de M par l'homothétie et ces points sont alignés avec I. Le point I est l'intersection des droites (OO’) et (MM1). Par I on peut mener les deux tangentes communes aux deux cercles. Les points de contact se tracent avec précision, comme points d'intersection du cercle (c) avec le cercle de diamètre [IO] ou comme points d'intersection du cercle (c’) avec le cercle de diamètre [IO’]. De même, on trouve le centre J de l'homothétie, de rapport négatif -r’/r, transformant (c) en (c’), en traçant
le point M2 de (c’), tel que le rayon OM2 soit parallèle à OM et de sens contraire. Étudier les cas particuliers où les cercles ont le même rayon : il existe deux tangentes communes parallèles à la ligne des centres. En conclusion si un des cercles est l'intérieur de l'autre, pas de tangente commune.
Axe radicalNotion disparue de l'enseignement français au lycée. L'axe radical de deux cercles, de centres distincts, est l'ensemble des points qui ont même puissance par rapport à ces deux cercles. Voir géométrie du cercle Tangentes aux points de contact
Soit I le point d'intersection des tangentes extérieures à deux cercles extérieurs. Par I on trace une droite qui coupe les deux cercles en quatre points. Les tangentes en ces quatre points forment un quadrilatère. Montrer que : |
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Le point I existe si les cercles (c) et (c’) sont de rayons différents, il est alors le centre d'homothétie positive de ces deux cercles. a) La sécante menée par I coupe (c) en A et B et (c’) en ses images A’ et B’. b) Les tangentes en A et B se coupent en C, les droites images, tangentes en A’ et B’ au cercle (c’), se coupent en E. Les triangles BAC et BA’D, ayant leurs côtés deux à deux parallèles ou confondus, sont homothétiques. Le premier étant isocèle, car CA = CB, le deuxième l'est aussi : DA’ = DB, D a même puissance par rapport aux deux cercles.
10. Cercle tangent à deux droites, passant par un point donnéOn donne deux droites (d1), (d2) sécantes et un point A n'appartenant pas à ces droites. |
AnalysePlacer un point variable Ω sur la bissectrice de (d1, d2) située dans le même secteur angulaire que A et tracer le cercle (c), passant par le point H projection orthogonale de Ω sur la droite (d1). Ce cercle est tangent aux deux droites. 
Construction de Wallis basée sur la puissance d'un point par rapport à un cercle : voir construction de cercles |
SolutionUtiliser des homothéties, de centre I, transformant le cercle (c) en des cercles passant par A. Étant donné un cercle (c), la droite (IA) rencontre (c) en deux points A1 et A2. Les cercles (c1) et (c2), passant par A, tangents à (d1) et (d2), sont les deux solutions du problème. |
11. Homothétie, triangle et centre de gravité
Les points A, B et C sont les images de A’, B’ et C’ par l'homothétie h de centre G et de rapport -2. Triangle médianLe triangle A’B’C’, dont les sommets sont les pieds des médianes, est le triangle médian du triangle ABC. Partage d'un triangle en quatreLes droites des milieux partagent le grand triangle en quatre triangles homothétiques : dans le rapport
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Exercice a
Soit P, Q et R les symétriques d'un point M du plan par rapport aux milieux A’, B’ et C’ des côtés d'un triangle ABC. Montrer que [AP], [BQ] et [CR] ont même milieu. Solution : composée d'homothéties La composée de l'homothétie f de centre M et de rapport
Le centre I est donc le milieu des segments [AP], [BQ] et [CR].
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Exercice bSoit ABC un triangle ; les points A’, B’ et C’ les milieux des côtés [BC], [CA] et [AB] ; G son centre de gravité.
Étant donné un point M du plan, montrer que la parallèle en A à (MA’), la parallèle en B à (MB’) et la parallèle en C à (MC’) sont concourantes. Solution Le point P de concours est l'image de M par l'homothétie h de centre G et de rapport -2. L'homothétie h transforme (A, B, C) en (A’, B’, C’) et M en un point P. Ces trois droites sont concourantes en P.
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![R] ont même milieu](transformation/sym_milieux_triangle.gif)
Ladegaillerie - Géométrie pour le CAPES - Ellipses 2003 - II. Application affine - 2. Homothétie - Exercices 7 et 15
Extrait du programme de géométrie de 1S
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Translations et homothéties dans le plan et l'espace : définitions; image d'un couple de points ; effet sur l'alignement, le barycentre, les angles orientés, les longueurs, les aires et les volumes; image d'une figure (segment, droite, cercle). Toutes les transformations connues seront utilisées dans l'étude des configurations, pour la détermination de lieux géométriques et dans la recherche de problèmes de construction, en, particulier au travers des logiciels de géométrie. Document d'accompagnement de 1SDeux familles de transformations sont proposées à l'étude systématique : celle des translations et celle des homothéties. Il est à noter qu'aucune transformation nouvelle n'a été introduite en seconde ; ces transformations étaient perçues avant tout comme agissant sur des figures et non comme des applications ponctuelles du plan sur lui-même. |
