Figures interactives en 1S avec GéoPlan : orthogone de Lill et Méthode de K. Von Staudt.
Résolution graphique d'équations du second degré
…avec GéoPlan
Sommaire
1. Construire deux segments connaissant la somme et le produit de leurs longueurs
2. Construire deux segments connaissant la différence et le produit de leurs longueurs
On se propose de résoudre, par construction géométrique, des équations du second degré.
Les seules notions nécessaires sont : équations de droite, droites orthogonales, cercles et équation du second degré.
À partir d'un segment [AB] de longueur s, tracer le demi-cercle de diamètre [AB]. Si la droite située à une distance coupe le demi-cercle en C, le triangle ABC est rectangle et la hauteur CD est moyenne proportionnelle entre AD et DB, solutions du problème.
AD et DB sont les solutions de l'équation x2 - sx + p = 0.
Leurs opposés sont les solutions de l'équation x2 + sx + p = 0.
À partir d'un segment [AB] de longueur d, tracer le cercle de diamètre [AB] et de centre O. Sur la tangente en A, placer le point C situé à une distance de A.
La droite (CO) coupe le cercle en D et E.
CD et CE sont solution du problème qui est toujours possible.
En effet, p = CD × CE = CA2 est la puissance du point C par rapport au cercle et CD - CE = DE = d.
CD et - CE sont les solutions de l'équation x2 - dx - p = 0.
- CD et CE sont les solutions de l'équation x2 + dx - p = 0.
Résoudre graphiquement l'équation ax2 + bx + c = 0.
Éventuellement en modifiant tous les signes des coefficients a, b et c, on peut toujours supposer que a > 0.
a. Figure préliminaire
Dans un repère (O, , ) orthonormal, on place les points I, A, B, C définis par : = ; = a ; = b ; = –c .
À tout point P de coordonnées P(0; p), on associe le point N de la droite (BC) construit de la façon suivante :
La droite (PI) coupe (AB) en un point M. La perpendiculaire en M à (PM) coupe (BC) en N.
Cliquer sur la figure et déplacer le point P ou modifier les coefficients avec les flèches du clavier :
Touche A pour modifier a, B pour modifier b et C pour modifier C ;
Touche P pour déplacer le point P.
Touches + - (insister) pour modifier le pas de pilotage
b. Calculer les coordonnées du point M et la longueur BN.
Les triangles OPI et AMI ont leurs petits côtés parallèles aux axes. Ils sont donc rectangles respectivement en O et A. OÎP et AÎM, leurs angles aigus en I, sont égaux comme opposés par le sommet. Notons Î leur mesure ; le calcul de tan(Î) dans ces deux triangles permet d'écrire, lorsque p est positif :
tan(Î) = = soit = , donc AM = ap.
Dans l'autre cas, lorsque P est de l'autre côté par rapport à O, on peut encore vérifier que
le point M a pour coordonnées M(1 + a, - ap).
Le triangle BMN, rectangle en B, a ses côtés perpendiculaires aux côtés du triangle AMI.
Les angles aigus Î = AÎM et BMN sont égaux et, si p > 0, on a tan(BMN) = tan(Î) = p.
D'où tan(BMN) = = = = p.
Donc, BN = (ap + b) p = ap2 + bp.
En vérifiant le sens des vecteurs, on voit que dans tous les cas, on a = (ap2 + bp) .
c. Montrer que les points N et C confondus équivaut à ap2 + bp + c = 0.
Les N et C sont confondus si = or = – c ,
donc ap2 + bp = −c soit ap2 + bp + c = 0.
d. Résolution de l'équation ax2 + bx + c = 0.
Les solutions de l'équation sont donc les ordonnées des points P pour lesquels la construction ci-dessus donne N = C.
En supposant que P (et donc M) existe, justifier que M appartient au cercle de diamètre [IC].
En effet, s i P existe, comme N = C, le triangle IMN est confondu avec le triangle rectangle IMC. Ce triangle rectangle est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [IC].
d. Application : 2x2 - x - 6 = 0
Application 1 Pour résoudre d'autres équations, modifier les coefficients a, b ou c avec les flèches du clavier :
Touche A pour modifier a, B pour modifier b ou C pour modifier c.
Application 2 : 4x2 - 3x + 3 = 0
Application 3 : 8x2 - 2x - 3 = 0
Orthogone IM1CM2 : lorsque le cercle de diamètre [IC] coupe la droite (AB) en deux points
M1 et M2 (applications 1 ou 3), la droite (IM1) coupe l'axe (Ox)
en P1 et la droite (IM2) coupe l'axe (Ox) en P2. Les « ordonnées »
x1 du point P1 et x2 du point P2 sont les deux solutions de l'équation : ax2 + bx + c = 0.
Lorsque le cercle de diamètre [IC] et la droite (AB) ont une intersection vide (application 2), l'équation : ax2 + bx + c = 0 n'a pas de solution.
Lorsque le cercle de diamètre [IC] est tangent à la droite (AB) en un point M (application 4) ; les
points M1 et M2 sont confondus en M, la droite (IM) coupe l'axe (Ox) en P = P1
= P2 et l'ordonnée x1 = x2 du point P est la solution double de l'équation : ax2 + bx + c = 0.
Application 4 : ax2 + bx + c = 0 avec Δ = b2 - 4ac = 0
Cliquer sur la figure : Touche A pour modifier a,
B pour modifier b.
Adaptation à GéoPlan de « Avec un quadrillage et une équerre » - Henry Plane - Plot no 17 - Premier trimestre 2007
Pour résoudre graphiquement l'équation x2 + bx + c = 0, placer les points de coordonnées A(0, -1) ; P(-b, 0) et Q(-b, -c).
Les abscisses des points d'intersection du cercle de diamètre [AQ] avec l'axe (Ox), lorsqu'ils existent, sont les solutions de l'équation.
c < 0
En effet, si M est un des points d'intersection du cercle et de l'axe des ordonnées.
Calculons AQ2 de deux manières :
AQ2 = AM2 + MQ2 = (AO2 + OM2) + (MP2 + PQ2)
= AO2 + OM2 + ( + )2 + PQ2
= 1 + OM2 + (b + )2 + c2
= 1 + 2OM2 + 2b+ b2 + c2
En égalant ces deux expressions, il vient :
1 + 2OM2 + 2b + b2 + c2 = 1 - 2c + c2 + b2
soit 2OM2 + 2b = − 2c et 2 + b + c = 0
est une solution de l'équation étudiée.
On montre de même que l'ordonnée de M2, deuxième point d'intersection du cercle et de l'axe (Oy) est l'autre solution de l'équation.
c > 0
Discussion
Lorsque c est négatif, figure de gauche, A et Q sont de part et d'autre de l'axe (Oy), il y a deux intersections, donc deux solutions.
Lorsque c est positif, figure ci-dessus, A et Q sont dans le même demi-plan par rapport à (Oy), il n'y a intersection de l'axe et du cercle que si la distance de son centre I à (Oy) est inférieure à son rayon.
Distance de I à l'axe : IH = (OA + PQ) = |1 + c|
Rayon : IQ = AQ =
Il faut donc : |1 + c| ≤
ou (1 + c)2 ≤ (1 - c)2 + b2
On retrouve bien 4c ≤ b2, soit Δ = b2 - 4c positif.