Travaux pratiques d'analyse en 1S avec GéoPlan.

Résolution graphique d'équations du second degré

Sommaire

1. Construire deux segments connaissant la somme et le produit de leurs longueurs
2. Construire deux segments connaissant la différence et le produit de leurs longueurs
3. Orthogone de Lill
4. Méthode de K. Von Staudt
5. Cercle défini par un diamètre

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Page n^o 36, réalisée le 22/3/2003, modifiée le 17/3/2007

GéPlan
Minimum-maximum

GéoPlan
Lieux géométriques

GéoPlan
Le Produit scalaire

Angles 1S
Rotations
Trigonométrie

GéoPlan
Paraboles en S
Paraboles en L

GéoPlan 1S
Tangente

On se propose de résoudre, par construction géométrique, des équations du second degré.
Les seules notions nécessaires sont : équations de droite, droites orthogonales, cercles et équation du second degré.

1. Construire deux segments connaissant la somme et le produit de leurs longueurs

À partir d'un segment [AB] de longueur s, tracer le demi-cercle de diamètre [AB]. Si la droite située à une distance coupe le demi-cercle en C, le triangle ABC et rectangle et la hauteur CD est moyenne proportionnelle entre AD et DB, solutions du problème.

AD et DB sont les solutions de l'équation x² - sx + p = 0.

Leurs opposés sont les solutions de l'équation x² + sx + p = 0.

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2. Construire deux segments connaissant la différence et le produit de leurs longueurs

À partir d'un segment [AB] de longueur d, tracer le cercle de diamètre [AB] et de centre O. Sur la tangente en A, placer le point C situé à une distance de A.
La droite (CO) coupe le cercle en D et E.
CD et CE sont solution du problème qui est toujours possible.
En effet, p = CD × CE = CA² est la puissance du point C par rapport au cercle et CD - CE = DE = d.

CD et -CE sont les solutions de l'équation x² - dx - p = 0.
-CD et CE sont les solutions de l'équation x² + dx - p = 0.

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3. Orthogone de Lill (1867)

Lill : capitaine du génie de l'armée autrichienne

Soit résoudre graphiquement l'équation ax² + bx + c = 0.

Dans un repère (O, , ) orthonormal, on place les points I, A, B, C définis par :

= ; = a ; = b ; = –c .

À tout point P de coordonnées P(0; p), on associe le point N de la droite (BC) construit de la façon suivante :

La droite (PI) coupe (AB) en un point M. La perpendiculaire en M à (PM) coupe (BC) en N.

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a. Calculer les coordonnées de M et la longueur BN.

Les triangles OPI et AMI ont leurs petits côtés parallèles aux axes. Ils sont donc rectangles respectivement en O et A. Leurs angles aigus en I sont opposés par le sommet. Le calcul de tan(Î) dans ces deux triangles permet d'écrire :

tan(Î) = = soit = , donc AM = a p

Le point M a donc pour coordonnées M(1 + a, ap).

Le triangle BMN, rectangle en B, a ses côtés perpendiculaires aux côtés du triangle AMI.
Les angles aigus I et M sont égaux et on a tan(M) = tan(Î) = p.

D'où tan(M) = = = = p.
Donc, BN = (ap + b) p = ap² + bp.
En vérifiant le sens des vecteurs, on voit que = (ap² + bp) .

b. Démontrer que les points N et C confondus équivaut à ap² + bp + c = 0.

Les N et C sont confondus si = or = – c , donc ap² + bp = −c soit ap² + bp + c = 0.

c. Résolution de l'équation ax² + bx + c = 0.

Orthogone de Lill

Application 1 : 2x² - x - 6 = 0

Les solutions de l'équation sont donc les ordonnées des points P pour lesquels la construction ci-dessus donne N = C.

En supposant que P (et donc M) existe, justifier que M appartient au cercle de diamètre [IC].

En effet, si P existe, comme N = C, le triangle IMN est confondu avec le triangle rectangle IMC. Ce triangle rectangle est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [IC].

4x² - 3x + 3 = 0

Application 2 : 4x² - 3x + 3 = 0

Application 3 : 8x² - 2x - 3 = 0

Orthogone IM₁CM₂ : lorsque le cercle de diamètre [IC] coupe la droite (AB) en deux points M₁ et M₂ (applications 1 ou 3), la droite (IM₁) coupe l'axe (Ox) en P₁ et la droite (IM₂) coupe l'axe (Ox) en P₂. Les « ordonnées » x₁ du point P₁ et x₂ du point P₂ sont les deux solutions de l'équation :
ax² + bx + c = 0.

Lorsque le cercle de diamètre [IC] et la droite (AB) ont une intersection vide (application 2), l'équation :
ax² + bx + c = 0 n'a pas de solution.

Lorsque le cercle de diamètre [IC] est tangent à la droite (AB) en un point M (application 4) ; les points M₁ et M₂ sont confondus en M, la droite (IM) coupe l'axe (Ox) en P = P₁ = P₂ et l'ordonnée x₁ = x₂ du point P est la solution double de l'équation :
ax² + bx + c = 0.

Δ = 0

Application 4 : ax² + bx + c = 0 avec Δ = b² - 4ac = 0

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4. Méthode de K. Von Staudt

Soit résoudre graphiquement l'équation x² + bx + c = 0.

Dans le repère (O, I, J) les droites (d₁) et (d₂) sont tangentes au cercle unité en J’ et J.

Sur la droite (d₁) placer les points P et Q d'abscisses -b et -c, puis sur (d₂) le point L d'abscisse -4.

La droite (PJ) recoupe le cercle en H. La droite (JH’) coupe (d₂) en R₂.

La droite (QL) coupe (JJ’) en K. La droite (KR₂) coupe le cercle en N et N’.

Les droites (JN) et (JN’) coupent la droite (d₁) en M et M’.
Les abscisses x₁ et x₂ de M et M’ sont les solutions de l'équation du second degré.

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5. Cercle défini par un diamètre

Adaptation à GéoPlan de « Avec un quadrillage et une équerre » - Henry Plane - Plot n^o 17 - Premier trimestre 2007

Pour résoudre graphiquement l'équation x² + bx + c = 0, placer les points de coordonnées A(0, -1) ; P(-b, 0) et Q(-b, -c).
Les abscisses des points d'intersection du cercle de diamètre [AQ] avec l'axe (Ox), lorsqu'ils existent, sont les solutions de l'équation.

c < 0

En effet, si M est un des points d'intersection du cercle et de l'axe des ordonnées.
Calculons AQ² de deux manières :
AQ² = AM² + MQ² = (AO² + OM²) + (MP² + PQ²)
= AO² + OM² + ( + )² + PQ²
= 1 + OM² + (b + )² + c²
= 1 + 2OM² + 2b + b² + c².

AQ² = ( + ) + OP² = (1 - c)² + b² = 1 - 2c + c² + b².

En égalant ces deux expressions, il vient :
1 + 2OM² + 2b+ b² + c² = 1 - 2c + c² + b²
soit 2OM² + 2b = − 2c et ² + b + c = 0,

est une solution de l'équation étudiée.

On montre de même que l'ordonnée de M₂, deuxième point d'intersection du cercle et de l'axe (Oy), est l'autre solution de l'équation.

Cercle défini par un diamètre, c positif

c > 0

Discussion

Lorsque c est négatif, figure de gauche, A et Q sont de part et d'autre de l'axe (Oy), il y a deux intersections, donc deux solutions.

Lorsque c est positif, figure ci-dessus, A et Q sont dans le même demi-plan par rapport à (Oy), il n'y a intersection de l'axe et du cercle que si la distance de son centre I à (Oy) est inférieure à son rayon.

Distance de I à l'axe : IH = (OA + PQ) = |1 + c|.