Travaux pratiques d'analyse en 1S avec GéoPlan.
Sommaire1. Construire deux segments connaissant la somme et le produit de leurs longueurs |
Page no 36, réalisée le 22/3/2003, modifiée le 17/3/2007 | ||||
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On se propose de résoudre, par construction géométrique, des équations du second degré. |
1. Construire deux segments connaissant la somme et le produit de leurs longueursÀ partir d'un segment [AB] de longueur s, tracer le demi-cercle de diamètre [AB]. Si la droite située à une distance AD et DB sont les solutions de l'équation x2 - sx + p = 0. Leurs opposés sont les solutions de l'équation x2 + sx + p = 0.
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2. Construire deux segments connaissant la différence et le produit de leurs longueursÀ partir d'un segment [AB] de longueur d, tracer le cercle de diamètre [AB] et de centre O. Sur la tangente en A, placer le point C situé à une distance CD et -CE sont les solutions de l'équation x2 - dx - p = 0.
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Lill : capitaine du génie de l'armée autrichienne Résoudre graphiquement l'équation ax2 + bx + c = 0. Éventuellement en modifiant tous les signes des coefficients a, b et c, on peut toujours supposer que a > 0.
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Application 1 : 2x2 - x - 6 = 0 |
Orthogone IM1CM2 Les solutions de l'équation sont donc les ordonnées des points P pour lesquels la construction ci-dessus donne N = C. En supposant que P (et donc M) existe, justifier que M appartient au cercle de diamètre [IC]. En effet, si P existe, comme N = C, le triangle IMN est confondu avec le triangle rectangle IMC. Ce triangle rectangle est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [IC]. |
Application 2 : 4x2 - 3x + 3 = 0 Figure GéoPlan Modifier les coefficients avec les touches A, B ou C. Taper 1, 2 ou 3 pour les applications 1, 2 ou 3. |
Application 3 : 8x2 - 2x - 3 = 0 |
On trouve, graphiquement, les trois cas d'existence des solutions d'une équation du second degré : Applications 1 et 3 Application 2 Application 4 |
Application 4 : ax2 + bx + c = 0 avec Δ = b2 - 4ac = 0 |
Soit résoudre graphiquement l'équation x2 + bx + c = 0.
Sur la droite (d1) placer les points P et Q d'abscisses -b et -c, puis sur (d2) le point L d'abscisse -4. La droite (PJ) recoupe le cercle en H. La droite (JH’) coupe (d2) en R2. La droite (QL) coupe (JJ’) en K. La droite (KR2) coupe le cercle en N et N’. Les droites (JN) et (JN’) coupent la droite (d1) en M et M’.
5. Cercle défini par un diamètreAdaptation à GéoPlan de « Avec un quadrillage et une équerre » - Henry Plane - Plot no 17 - Premier trimestre 2007 Pour résoudre graphiquement l'équation x2 + bx + c = 0, placer les points de coordonnées A(0, -1) ; P(-b, 0) et Q(-b, -c). |
c < 0 En effet, si M est un des points d'intersection du cercle et de l'axe des ordonnées. AQ2 = ( En égalant ces deux expressions, il vient :
On montre de même que l'ordonnée de M2, deuxième point d'intersection du cercle et de l'axe (Oy), est l'autre solution de l'équation. |
c > 0 Discussion Lorsque c est négatif, figure de gauche, A et Q sont de part et d'autre de l'axe (Oy), il y a deux intersections, donc deux solutions. Lorsque c est positif, figure ci-dessus, A et Q sont dans le même demi-plan par rapport à (Oy), il n'y a intersection de l'axe et du cercle que si la distance de son centre I à (Oy) est inférieure à son rayon. Distance de I à l'axe : IH = Rayon : IQ = Il faut donc : On retrouve bien 4c ≤ b2 soit Δ = b2 - 4c positif. |
Télécharger la figure GéoPlan eq_cercle.g2w
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