Travaux pratiques d'analyse en 1S avec GéoPlan.
Sommaire1. Construire deux segments connaissant la somme et le produit de leurs longueurs |
Page no 36, réalisée le 22/3/2003, modifiée le 17/3/2007 | ||||
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On se propose de résoudre, par construction géométrique, des équations du second degré. |
1. Construire deux segments connaissant la somme et le produit de leurs longueursÀ partir d'un segment [AB] de longueur s, tracer le demi-cercle de diamètre [AB]. Si la droite située à une distance coupe le demi-cercle en C, le triangle ABC est rectangle et la hauteur CD est moyenne proportionnelle entre AD et DB, solutions du problème. AD et DB sont les solutions de l'équation x2 - sx + p = 0. Leurs opposés sont les solutions de l'équation x2 + sx + p = 0. Télécharger la figure GéoPlan som_prod.g2w |
2. Construire deux segments connaissant la différence et le produit de leurs longueursÀ partir d'un segment [AB] de longueur d, tracer le cercle de diamètre [AB] et de centre O. Sur la tangente en A, placer le point C situé à une distance de A. CD et -CE sont les solutions de l'équation x2 - dx - p = 0. Télécharger la figure GéoPlan dif_prod.g2w |
Lill : capitaine du génie de l'armée autrichienne Résoudre graphiquement l'équation ax2 + bx + c = 0. Éventuellement en modifiant tous les signes des coefficients a, b et c, on peut toujours supposer que a > 0. a. Figure préliminaireDans un repère (O, , )
orthonormal, on place les points I, A, B, C définis par : À tout point P situé sur l'axe des ordonnées, de coordonnées P(0; p), on associe un point N situé sur la droite (BC) construit de la façon suivante : La droite (PI) coupe (AB) en un point M. La perpendiculaire en M à (PM) coupe (BC) en N. Télécharger la figure GéoPlan ort_l_f1.g2w b. Calculer les coordonnées du point M et la longueur BN.Les triangles OPI et AMI ont leurs petits côtés parallèles aux axes. Ils sont donc rectangles respectivement en O et A. OÎP et AÎM, leurs angles aigus en I, sont égaux comme opposés par le sommet. Notons Î leur mesure ; le calcul de tan(Î) dans ces deux triangles permet d'écrire, lorsque p est positif : tan(Î) = = soit = , donc AM = ap. Dans l'autre cas, lorsque P est de l'autre côté par rapport à O, on peut encore vérifier que le point M a pour coordonnées M(1 + a, - ap). Le triangle BMN, rectangle en B, a ses côtés perpendiculaires aux côtés du triangle AMI. D'où tan(BMN) = = = = p. c. Montrer que les points N et C confondus équivaut à ap2 + bp + c = 0.Les N et C sont confondus si = or = – c , donc ap2 + bp = −c soit ap2 + bp + c = 0. |
Application 1 : 2x2 - x - 6 = 0 |
Orthogone IM1CM2 Les solutions de l'équation sont donc les ordonnées des points P pour lesquels la construction ci-dessus donne N = C. En supposant que P (et donc M) existe, justifier que M appartient au cercle de diamètre [IC]. En effet, si P existe, comme N = C, le triangle IMN est confondu avec le triangle rectangle IMC. Ce triangle rectangle est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [IC]. |
Application 2 : 4x2 - 3x + 3 = 0 Figure GéoPlan Modifier les coefficients avec les touches A, B ou C. Taper 1, 2 ou 3 pour les applications 1, 2 ou 3. Télécharger la figure GéoPlan ort_lill.g2w |
Application 3 : 8x2 - 2x - 3 = 0 |
On trouve, graphiquement, les trois cas d'existence des solutions d'une équation du second degré : Applications 1 et 3 Application 2 Application 4 |
Application 4 : ax2 + bx + c = 0 avec Δ = b2 - 4ac = 0 |
Soit résoudre graphiquement l'équation x2 + bx + c = 0. Dans le repère (O, I, J) les droites (d1) et (d2) sont tangentes au cercle unité en J’ et J. Sur la droite (d1) placer les points P et Q d'abscisses -b et -c, puis sur (d2) le point L d'abscisse -4. La droite (PJ) recoupe le cercle en H. La droite (JH’) coupe (d2) en R2. La droite (QL) coupe (JJ’) en K. La droite (KR2) coupe le cercle en N et N’. Les droites (JN) et (JN’) coupent la droite (d1) en M et M’. Télécharger la figure GéoPlan von_staud.g2w 5. Cercle défini par un diamètreAdaptation à GéoPlan de « Avec un quadrillage et une équerre » - Henry Plane - Plot no 17 - Premier trimestre 2007 Pour résoudre graphiquement l'équation x2 + bx + c = 0, placer les points de coordonnées A(0, -1) ; P(-b, 0) et Q(-b, -c). |
c < 0 En effet, si M est un des points d'intersection du cercle et de l'axe des ordonnées. AQ2 = ( + ) + OP2 = (1 - c)2 + b2 = 1 - 2c + c2 + b2. En égalant ces deux expressions, il vient : est une solution de l'équation étudiée. On montre de même que l'ordonnée de M2, deuxième point d'intersection du cercle et de l'axe (Oy), est l'autre solution de l'équation. |
c > 0 Discussion Lorsque c est négatif, figure de gauche, A et Q sont de part et d'autre de l'axe (Oy), il y a deux intersections, donc deux solutions. Lorsque c est positif, figure ci-dessus, A et Q sont dans le même demi-plan par rapport à (Oy), il n'y a intersection de l'axe et du cercle que si la distance de son centre I à (Oy) est inférieure à son rayon. Distance de I à l'axe : IH = (OA + PQ) = |1 + c|. Rayon : IQ = AQ = . Il faut donc : |1 + c| ≤ , On retrouve bien 4c ≤ b2 soit Δ = b2 - 4c positif. |
Télécharger la figure GéoPlan eq_cercle.g2w
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