Point et cercle de Miquel

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Quadrilatère complet
Point de Miquel d'un quadrilatère complet
Cercle de Miquel

Page n^o 43, réalisée le 16/8/2009

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Quadrilatère complet - Point et cercle de Miquel

Définition : un quadrilatère complet est formé de quatre droites du plan se coupant, deux à deux, en six points.

Remarques : deux des points peuvent être « à l'infini ». Le quadrilatère est alors un parallélogramme. Ici l'étude de ce cas particulier ne présente pas d'intérêt.
Si uniquement un des points est à l'infini, on obtient un trapèze complet.

Dans la suite de cette page nous considérons le quadrilatère complet strict où deux quelconques des quatre droites ne sont pas parallèles, trois quelconques ne sont concourantes :,
A, B, C et D sont quatre points formant un quadrilatère convexe (qui n'est pas un trapèze), les droites (AB) et (CD) se coupent en E, puis (AD) et (BC) en F.

Point de Miquel d'un quadrilatère complet

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Les quatre cercles circonscrits aux triangles ADE, BCE, ABF et CDF, formés les sommets pris trois à trois, sont concourants en M, point de Miquel du quadrilatère complet.

Point de Miquel d'un triangle associé à une transversale

Étant donné un triangle FDC et une transversale (d), ne passant par les sommets, coupant les côtés (FD) en A, (FC) en B et (DC) en E. Les trois cercles ADE, BCE et ABF sont sécants en un point M, point de Miquel du triangle FDC associé à la transversale (d).

Le cercle circonscrit au triangle FDC passe par le point de Miquel.

Les démonstrations se font en utilisant les angles inscrits.

Télécharger la figure GeoGebra point_miquel.ggb
Télécharger la figure GéoPlan qua_comp.g2w

Cercle de Miquel

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Les centres O₁, O₂, O₃, O₄ des quatre cercles et le point de Miquel M sont cocycliques.

Le cercle contenant ces cinq points est dit cercle de Miquel.

Télécharger la figure GeoGebra cercle_miquel.ggb

Cette figure utilise la macro construction centre_cercle créée à partir de la construction du centre d'un cercle circonscrit avec deux médiatrices.
Télécharger la figure GeoGebra centre_circonscrit.ggb;
Télécharger la macro-construction GeoGebra centre_circonscrit.ggt

Télécharger la figure GéoPlan qua_com2.g2w

  Configuration du quadrilatère complet, point de Miquel : plan projectif
 Autres cercles concourants, démonstration de Miquel, voir : triangles de Napoléon

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