Angles et rotations

Exercices de géométrie : cercle, arc capable, pivot, quadrilatère complet, point de Miquel ; montrer un alignement.

Sommaire

1. Arc capable
2. Pivot
3. Parallélisme d'un côté du triangle orthique et d'une tangente au cercle circonscrit
4. Cordes de cercles tangents
5. Prouver des alignements
6. Alignement avec un point et son transformé
7. Quadrilatère complet
8. Alignement - concours - cocyclicité
9. Droites orthogonales dans un carré

Angles inscrits

Pentagone régulier :
constructions exactes
constructions approchées
avec GeoGebra

Homothéties
Les problèmes du BOA : triangle et rotation

Montrer un alignement avec un barycentre

Page n^o 43, réalisée le 16/6/2003, modifiée le 16/12010

Angles
trigonométrie

GéoPlan
Fonctions distance

GéoPlan
Triangles rectangles

Quadrilatère complet
Plan projectif

1S
Produit scalaire

Faire de la géométrie dynamique

1. Arc capable

A et B sont deux points donnés du plan.

Le problème consiste à trouver l'ensemble L des points M du plan tels que l'angle
(, ) soit égal à a.
(a donné en degrés entre -180° et 180°).

Télécharger la figure GéoPlan arcapabl.g2w

Construction de l'arc capable

Reporter l'angle a le long de [BC) et l'on trouve une tangente [AT) au cercle circonscrit.
La perpendiculaire en B à cette tangente rencontre la médiatrice de [BC] en O centre du cercle.

L'arc capable AMB est situé sur le cercle de centre O, passant par A.

C'est le lieu des points M d'où l'on « voit » le segment [AB] suivant l'angle a.

Télécharger la figure GéoPlan arcapabl_cons.g2w

Angles inscrits
Lieux géométriques

ABC est un triangle. Quels que soient les points I, J et K situés sur les côtés du triangle, les cercles circonscrits aux triangles AJK, BIK et CIJ sont concourants en un point P, pivot des trois points.

Démontré en 1838 par A. Miquel, ce résultat fut dénommé théorème du pivot par Forder.

Télécharger la figure GéoPlan an_pivot.g2w

Théorème des trois cercles (premier théorème de Miquel)

Application réciproque : (c₁), (c₂) et (c₃) sont trois cercles concourants en P.

Soit, A un point du cercle (c₁). Ce cercle recoupe (c₂) en K et (c₃) en J. La droite (AK) recoupe le cercle (c₂) en B et la droite (AJ) recoupe le cercle (c₃) en C.

Si I est l'autre point d'intersection de (c₂) et (c₃), le théorème du pivot permet de montrer que les points B, I et C sont alignés.

Télécharger la figure GéoPlan a_pivot2.g2w
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

3. Parallélisme d'un côté du triangle orthique et d'une tangente au cercle circonscrit

ABC est un triangle et (c) son cercle circonscrit.
Les points B’ et C’ sont les pieds des hauteurs, issues de B et C.
Montrer que la droite (B’C’) est parallèle à la tangente en A au cercle circonscrit (c).

Voir triangle orthique ou théorème de Nagel : « Les tangentes au cercle circonscrit passant par les sommets du triangle sont parallèles aux côtés du triangle orthique ».

Solution

L'angle ACB inscrit dans le cercle (c) est égal à l'angle BÂT de la corde BA et de la tangente AT.

L'angle extérieur B’CA du triangle BB’C’ est égal à la somme des deux angles intérieurs :
B’CA = C’BB’ + C’B’B.
Les points B’ et C’ sont situés sur le cercle (c’) de diamètre [BC].
Des égalités des angles inscrits B’BC’ = B’CC’ et C’B’B = C’CB on déduit que :
B’CA = C’BB’ + C’B’B = B’CC’ + C’CB = B’CB.

On a donc B’CA = ACB et avec ACB = BÂT, on a montré que les angles alternes-internes B’C’A et BÂT sont égaux.
La droite (B’C’) est parallèle à la tangente (AT).

Application : montrer que les hauteurs d'un triangle sont concourantes ; démonstration d'Archimède : la géométrie du triangle (droites remarquables).

Télécharger la figure GéoPlan pa_ortho.g2w

4.a. Cordes de cercles tangents

Deux cercles (c₁) de centre O₁ et (c₂) de centre O₂ sont tangents en T. Deux droites, passant par le point T, coupent le cercle (c₁) en M et N, elles coupent le cercle (c₂) en M’ et N’.
Montrer que les droites (MN) et (M’N’) sont parallèles.

Cordes de cercles tangents extéreiurement

Cordes de cercles tangents intérieurement

Télécharger la figure GéoPlan cer_tang.g2w

Solutions

Corde et tangente

Dans les figures ci-dessus, d'après le théorème limite de cocyclicité on remarque que l'angle inscrit NMT est égal à l'angle de la corde [NT] et de la tangente en T.
Cet angle est aussi opposé à l'angle de la tangente ne T et de la corde [TN’] égal à l'angle inscrit N’M’T.

Les angles NMT et N’M’T, alternes-internes, dans la figure de gauche, ou correspondants, dans la figure de droite, sont égaux. Les droites (MN) et (M’N’) sont parallèles.

Calcul d'angles au centre

Les angles O₁TM et O₂TM’, opposés par le sommet, sont égaux.
Les triangles isocèles O₁TM et O₂TM’ sont donc semblables.
Les angles MO₁T et M’O₂T sont égaux.

Dans le cercle (c₁), l'angle inscrit MNT est égal à la moitié de l'angle au centre MO₁T,
dans (c₂), l'angle inscrit M’N’T est égal à la moitié de l'angle au centre M’O₂T.

Les angles MNT et M’N’T, alternes-internes dans la figure ci-contre, sont égaux.
Les droites (MN) et (M’N’) sont parallèles.

Homothétie

En classe de première, utiliser l'homothétie h de centre T qui transforme (c₁) en (c₂). Par h, M’ est l'image de M, N’ est l'image de N, la droite (M’N’), image de (MN), est parallèle à (MN).

Voir l'utilisation de cette configuration pour tracer, à la « règle et au compas », la parallèle à une droite, passant par un point donné.
Télécharger la figure GéoPlan cer_tang_s.g2w

b. Recherche d'un point fixe

Soit O₁, O₂ et A trois points du plan et T un point à l'intérieur du segment [O₁O₂].

Deux cercles (c₁) de centre O1 et (c₂) de centre O2 sont tangents en T.
M est un point variable sur le cercle (c₁).
La droite (MT) recoupe le cercle (c₂) en M’.
La droite (MA) recoupe le cercle (c₁) en N.
La droite (NT) recoupe le cercle (c₂) en N’.

Les droites (MN) et (M’N’) sont parallèles.
Montrer que lorsque le point M varie, la droite (M’N’) passe par un point fixe A’.

Utiliser l'homothétie h de centre T qui transforme (c₁) en (c₂). Le point A’ est l'image de A par h.

Télécharger la figure GéoPlan cer_tan2.g2w
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

5. Carré et deux triangles équilatéraux - Prouver des alignements

Cinq méthodes de résolution d'un exercice de la sixième à la terminale S, sans oublier que cette activité peut faire l'objet d'une belle leçon de Capes.

Comme exemple de contenu de TP pour ce qui aurait pu être l'enseignement optionnel de mathématiques dans la nouvelle seconde, Catherine Combelles et Pascale Pombourcq avaient proposé : trouver le plus de solutions possibles à ce problème

Catherine Combelles & Pascale Pombourcq - Nouvelle seconde - Bulletin APMEP n^o 480 janvier-février 2009

a) Vérifier un alignement - À partir de la classe de 6^ème

Vérifier un alignement Sur du papier quadrillé, construire un carré ABCD, puis les triangles équilatéraux ABE, à l'intérieur du carré, et BCF, à l'extérieur.
Vérifier, avec la règle, que les points D, E et F sont alignés.

– Avec Cabri, dans les propriétés, utiliser l'icône « aligné ? »,

– Avec GeoGebra, utiliser « relation entre deux objets », montrer la droite (DE), puis le point F,

– Avec GéoPlan c'est plus laborieux :
dans le menu « numérique>calcul géométrique »,
calculer la distance d du point F à la droite (DE),
puis avec la commande « affichage>variable numérique déjà définie »,
afficher d et vérifier que l'on obtient 0.

Télécharger la figure GeoGebra carre_tr_equi.ggb
Télécharger la figure GéoPlan carre_tr_equi.g2w

Commande GéoPlan

Taper S pour afficher le segment [DF].

b) Avec une rotation - Ancienne classe de seconde

Carré et trois triangles équilatéraux ABCD est un carré direct.
À l'intérieur placer le point E tel que ABE soit un triangle équilatéral et à l'extérieur placer le point F tel que BCF soit un autre triangle équilatéral.
Placer le point I tel que BFIE soit un carré.

Montrer que :
• le triangle BDI est équilatéral,
• les points A, C et I sont alignés,
• les points D, E et F sont alignés.

Démonstration :

• Par la rotation r(B, - ) le point A a pour image E, le point C a pour image F, et on appelle I’ l'image de D.

L'image EBFI’ du carré ABCD a par l'isométrie r est un carré donc le point I’ est confondu avec I.

L'image par r de [BD] est [BI] dons BD = BI et DBI = , BDI est donc un triangle équilatéral.

• BI est alors égal à DI, le point I est donc sur la médiatrice de [BD], c'est-à-dire sur la droite (AC). Les points A, C et I sont alignés.

Télécharger la figure GéoPlan carre_3tr_equi.g2w

Alignement d'un autre point

• Placer le point J tel que BDJ soit un triangle équilatéral contenant le point A. {J est le symétrique de I par rapport à (BD).}

J point de la médiatrice de [BD] est donc aligné avec A et C.

Par la rotation r(B, - ) le point J a pour image D.

A, C et J sont alignés, leurs images réciproques E, F et D par la rotation r^{– 1}(B, ) sont donc alignées.

Il est possible d'utiliser cette figure pour construire un triangle équilatéral (BDI) d'aire double d'un triangle équilatéral donné (ABE).

L'angle de la droite (DF) et de son image (AC), par la rotation r est .
On en déduit que l'angle CDI mesure et on retrouve les calculs trigonométriques pour un angle de , voir : triangle équilatéral à l'intérieur d'un carré.

Télécharger la figure GéoPlan rot_alig.g2w

Voir aussi : triangle équilatéral inscrit dans un carré ; aire maximale.

c) Avec la géométrie analytique - Classe de seconde

Carré et deux triangles équilatéraux avec geoGebra Méthode pas drôle du tout !

Dans le repère (A, , ), les coordonnées des points sont A(0, 0) ;
B(1, 0) ; C(1, 1) et D(0, 1).

Calculer les coordonnées des points E et F :
E(, ) ; F(1 + , ).

Calculer les coordonnées des vecteurs et :

x₁ = , y₁ = - 1 ; x₂ = + 1 ; y₂ = - .
Montrer que les vecteurs et sont colinéaires :

x₁ y₂ = x₂ y₁ (= - ).

Conclure : les vecteurs sont colinéaires, les points D, E et F sont alignés

Télécharger la figure GeoGebra carre_tr_equi.ggb

c.2) Équation de droite

Il est aussi possible de calculer l'équation de la droite (DE) : (1 - )x + y = . Puis vérifier que les coordonnées de F vérifient cette équation.

c.3) Coefficients directeurs de droite

Ou encore que les coefficients directeurs des droites a_DE = - (1 - )/() et a_DF = - ()/( + 1) sont égaux (≈ - 0,267).

c.4) Inégalité triangulaire

Depuis la classe de 5^e, le cas de l'égalité DE + EF = DF est reconnue comme caractéristique de l'appartenance du point E au segment [DF].
(On peut faire faire les calculs, comme ci-dessus, par un logiciel de géométrie dynamique).

d) Avec les complexes - Terminale S

Choisir A comme origine du plan complexe
Calculer les affixes d, e et f des points D, E et F.
Conclure en vérifiant que f- d = k( e - d) avec k réel.

Alignement de trois points - Capes

Prouver, de trois manières différentes, l'alignement des trois points.
Proposer des exercices où il s'agit de montrer, dans des situations diverses, l'alignement de trois points.

Voir aussi point aligné sur une diagonale : parallélogramme de Pappus

6. Alignement avec un point et son transformé

Un point A fixe et un point M variable sont placés sur un cercle (c₁). Une rotation de centre A, d'angle t, transforme le cercle (c₁) en un cercle (c₂) et le point M en un point M’.

Les cercles (c₁) et (c₂) ont comme deuxième point d'intersection B.

Montrer que les points M, B et M’ sont alignés.

Le principe de démonstration est le suivant : le triangle AMM’ est isocèle (l'image de [AM] par la rotation est [AM’] donc AM = AM’) ; son angle au sommet A reste constant égal à l'angle t de la rotation ; il en est donc de même des angles en M et M’, les côtés [MA], [MM’] de l'angle en M découpent sur le cercle (c₁) un arc AB de longueur fixe ; l'extrémité B est donc un point fixe du cercle (c₁).
De même, la droite (MM’) passe par un point fixe du cercle (c₂).
La droite (MM’) passe par un point commun aux deux cercles : c'est le point B, deuxième point d'intersection de ces cercles.

Réciproquement : soit deux cercles (c₁) et (c₂) de même rayon qui se coupent en A et B.
Si M et M’ sont les deux points diamétralement opposés à A respectivement sur les cercles (c₁) et (c₂) alors les points M, B et M’ sont alignés.

Démonstration avec les angles inscrits, voir : angles inscrits en troisième,
Pour deux cercles de rayons différents, voir le problème analogue avec une similitude.

Télécharger la figure GéoPlan rot_cerc.g2w

7. Quadrilatère complet - Point et cercle de Miquel

Définition : un quadrilatère complet est formé de quatre droites du plan se coupant, deux à deux, en six points.

Remarques : deux des points peuvent être « à l'infini ». Le quadrilatère est alors un parallélogramme. Ici, l'étude de ce cas particulier ne présente pas d'intérêt.
Si uniquement un des points est à l'infini, on obtient un trapèze complet.

Dans la suite de cet article nous considérons le quadrilatère complet strict où deux quelconques des quatre droites ne sont pas parallèles, trois quelconques ne sont concourantes :
A, B, C et D sont quatre points formant un quadrilatère convexe (qui n'est pas un trapèze), les droites (AB) et (CD) se coupent en E, puis (AD) et (BC) en F.

Point de Miquel d'un quadrilatère complet

Théorème du quadrilatère complet

Les quatre cercles circonscrits aux triangles ADE, BCE, ABF et CDF, formés les sommets pris trois à trois, sont concourants en M, point de Miquel du quadrilatère complet.

Point de Miquel d'un triangle associé à une transversale

Étant donné un triangle FDC et une transversale (d), ne passant par les sommets, coupant les côtés (FD) en A, (FC) en B et (DC) en E. Les trois cercles ADE, BCE et ABF sont sécants en un point M, point de Miquel du triangle FDC associé à la transversale (d).

Le cercle circonscrit au triangle FDC passe par le point de Miquel.

Les démonstrations se font en utilisant les angles inscrits.

Télécharger la figure GéoPlan qua_comp.g2w
Télécharger la figure GeoGebra point_miquel.ggb

Cercle de Miquel

Théorème des quatre cercles

Les centres O₁, O₂, O₃, O₄ des quatre cercles et le point de Miquel M sont cocycliques ou alignés.

Le cercle contenant ces cinq points est dit cercle de Miquel.

Télécharger la figure GéoPlan qua_com2.g2w

Télécharger la figure GeoGebra cercle_miquel.ggb
Cette figure utilise la macro construction centre_cercle créée à partir de la construction du centre d'un cercle circonscrit avec deux médiatrices.
Télécharger la figure GeoGebra centre_circonscrit.ggb;
Télécharger la macro-construction GeoGebra centre_circonscrit.ggt

Configuration du quadrilatère complet, point de Miquel : plan projectif
Autres cercles concourants, démontré par Miquel, voir : triangles de Napoléon

Feuille de travail dynamique avec GeoGebra : angles-rotation

8. Deux cercles : alignement - concours - cocyclicité

Classe de quatrième

Deux cercles (c₁) de centre O et (c₂) de centre O’ sont sécants en A et B.

La droite (OA) recoupe (c₁) en P et (c₂) en P’,
la droite (O’A) recoupe (c₁) en Q et (c₂) en Q’.

Alignement

Montrer que les points P, B et Q’ sont alignés.

Indications : l'inscription dans les demi-cercles (c₁) ou (c₂) permet de montrer que (AB) est perpendiculaire à (BP) et (BQ’).

Cocyclicité

Montrer que les points P, Q, P’ et Q’ sont sur un même cercle.

Indications : l'inscription dans les demi-cercles (c₁) ou (c₂) permet de montrer que les angles PQA et AP’Q’ sont droits. Les triangles rectangles PQQ’ et PP’Q’ sont inscrits dans le demi-cercle de diamètre [PQ’].

Concours

Montrer que les droites (AB), (PQ) et (P’Q’) sont concourantes.

Indications : configuration des hauteurs d'un triangle
Soit I le point d'intersection de (PQ) et (P’Q’). (PQ) et (P’Q’) sont deux hauteurs du triangle PQ’I. Le point A est l'orthocentre de ce triangle. La droite (AB), perpendiculaire au côté [ PQ’], est la troisième hauteur du triangle, concourante en I avec les deux côtés (PQ) et (P’Q’).

Télécharger la figure GéoPlan cercle_2.g2w
Télécharger la figure Cabri cercle_2.fig
Télécharger la figure GeoLabo cercle_2.glb (Logiciel libre de géométrie dynamique : GeoLabo)

Sommaire

Faire de la géométrie dynamique

9. Droites orthogonales dans un carré

Calcul d'angle : le cerf-volant AICJ

Les points I et J sont les milieux des côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD (où AB = a, a > 0).
On note θ l'angle (, ). Donner une valeur exacte de cos θ, puis une valeur approchée de θ en degré à 0,1 près.

Télécharger la figure GéoPlan carre_2.g2w

Variante : calculer l'angle (, ).

Droites orthogonales

Les points I et J sont les milieux des côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD.

Montrer que les droites (AI) et (BJ) sont orthogonales.

Indication

Avant 2008, en classe de seconde, on pouvait utiliser une rotation, quart de tour de centre O, milieu du carré.
En 1S, montrer que le produit scalaire . est nul.