Savoir-faire au bac avec GéoSpace.
SommaireGéométrie dans l'espace en série S1. Les « Savoirs » et « Savoir-faire » Groupe de mutualisation2.1. Les ambiguïtés de la perspective cavalière Terminale ES3.1. Droites et plans dans l'espace |
La géométrie à l'épreuve pratique de terminale S avec GéoPlan et GéoSpace. | ||||
Groupe de mutualisation, série SProblèmes d'optimisation Page no 106, réalisée le 21/3/2007, modifiée le 9/12/2008 |
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Les logiciels les plus fréquemment utilisés par les professeurs présents, en dehors de Excel, sont les logiciels Sinequanon et GéoPlan-GéoSpace.
Le traceur de courbes Graphmatica et le logiciel de géométrie GeoGebra le sont parfois.
Le logiciel de géométrie plane GeoGebra, outre son téléchargement facile et gratuit, serait plus convivial pour les élèves.
Nous nous sommes ensuite penchés sur le tableau mettant en parallèle la géométrie dans l'espace en terminale S et la géométrie de première.
L'analyse de ce tableau avait trois objectifs :
En géométrie dans l'espace, en fin de première S, on peut les résumer dans le tableau suivant :
Ce qu'un élève doit connaître, doit savoir |
Ce qu'un élève doit savoir faire |
Les règles d'incidence ; Coordonnées d'un point dans l'espace ; Quelques équations : plans parallèles aux plans de coordonnées, sphère centrée à l'origine, cône de sommet l'origine et d'axe un axe du repère, cylindre d'axe un axe du repère ; Vecteurs coplanaires ; Translations et homothétie. Effet de ces transformations sur l'alignement, le barycentre, les aires, les volumes, l'image d'une figure. |
« Voir » dans l'espace ; Calculer, lire les coordonnées d'un point, représenter un point ; Être conscient de l'importance des marques de construction pour une bonne lisibilité des figures. Calculer des distances, des aires, des volumes d'objets familiers ; Calculer ou déterminer certaines équations ; Montrer que trois vecteurs sont coplanaires ou ne le sont pas ; Montrer l'alignement de points, que des droites sont concourantes ; Savoir résoudre un système de deux équations linéaires. Dans l'ensemble, être capable de choisir un repère pour résoudre certaines questions. Être capable de prendre des initiatives. |
En supplément de ce tableau, pour le produit scalaire, de même que pour le barycentre, les élèves de première doivent être entraînés à choisir la formule la mieux adaptée à une situation donnée. Les professeurs de terminale remarquent que leurs élèves s'appuient essentiellement sur les formules. On fait davantage de géométrie analytique dans ce chapitre de terminale que de géométrie pure. 2. Les difficultés des élèves et des pistes de solutionSavoir s'approprier le vocabulaire adéquat (colinéaires, coplanaires). |
Difficultés |
Pistes de solution |
Comprendre la nécessité de faire et de laisser les marques de construction lors du tracé : • D'une section ; |
• Un exercice du Terracher de première S : Un cube est dessiné en perspective cavalière dans un quadrillage, un point M est placé à l'intersection de deux lignes du quadrillage. La question est : où se trouve le point M par rapport au cube ? |
Passer du cadre géométrique au cadre algébrique et inversement ; faire le choix d'une résolution en utilisant la géométrie pure ou la géométrie analytique. À propos de ces changements de cadre, les difficultés des élèves sont de natures diverses : |
Il a été proposé sur cette partie de réfléchir, pour la prochaine rencontre, à des exercices mettant en jeu des changements de cadre : Équation <−> objet Géométrie pure <−> géométrie analytique |
En ce qui concerne le chapitre sur le barycentre : • La relation fondamentale, dite aussi relation de réduction, est mal maîtrisée, voire évitée par les élèves qui ont des difficultés à s'approprier les raisonnements que permettent une propriété « vraie pour tout point…» |
• L'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique peut aider à favoriser la perception des élèves : La construction d'un point défini par une relation de colinéarité peut être faite de plusieurs manières avec GéoPlan ou GéoSpace. En particulier, en interprétant la relation en terme de barycentre. • Références aux travaux de sciences physiques • Les problèmes de lieux doivent permettre de faire travailler les élèves sur la relation fondamentale. Il est proposé que des exemples d'exercices soit apportés lors de la prochaine séance. |
Dans le chapitre du produit scalaire, on observe : • Les mêmes difficultés qu'en algèbre en ce qui concerne les calculs (carré d'une somme par exemple…) ; • Les difficultés à faire le choix de la formule la plus efficace dans une situation donnée ; • Les difficultés dues à la quantité de formules à apprendre (Al Kashi, médiane, sinus…) |
• Il a été proposé de réfléchir à des exercices permettant de remédier aux difficultés de calcul des élèves en particulier sur le fait que « le carré scalaire de la somme n'est pas la somme des carrés scalaire ». • Savoir interpréter le carré d'une distance comme un carré scalaire d'un vecteur permet de retrouver les formules des applications du produit scalaire. Les élèves doivent savoir que ces formules existent, mais il n'est pas nécessaire qu'ils les apprennent par cœur. Dans la page produit scalaire, l'exercice 2 a pour objectif de faire comprendre aux élèves, qu'avec trois données, on peut connaître toutes les autres mesures d'un triangle (angles, longueurs, aires…) peut être mis en œuvre pour travailler dans ce sens. |
Plus globalement, les chapitres de géométrie sont nombreux en première. Sommaire |
On représente en perspective cavalière un cube ABCDEFGH et un point M selon la figure ci-contre. Indications Comme dans la figure ci-dessous le point M peut représenter un point situé sur la droite (CD), à gauche. Mais en dessinant deux cubes devant le cube initial, la figure en bas à droite montre que M peut représenter un point de la droite (GF), sur le côté droit du cube ! Si M1 est le point de l'espace situé sur (CD) et M2 est le point de l'espace situé sur (GF), le point M peut représenter n'importe quel point de la droite (M1M2). Télécharger la figure GéoSpace perdu_espace.g3w Voir : activités |
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2.2. Solides définis par leurs équationsExemples d'exercices pour l'articulation « première terminale » en série S Dans l'espace muni d'un repère orthonormal. Déterminer les solides définis par les équations suivantes : a) x2 + y2 + z2 = 4 b) x2 + y2 = 4 2.3. Distribuer une section déjà construiteDemander aux élèves de tracer les points « hors solide » qui ont permis d'obtenir cette section. Autrement dit, leur faire faire des exercices sur les sections dans les deux sens. |
À partir du plan (PQR), trouver la section plane. Dans l'autre sens, à partir de la section plane, retrouver les points P, Q et R situés sur les prolongements des côtés. |
On peut ensuite trouver les points S, T et U situés sur les prolongements des trois autres côtés. |
Télécharger la figure GéoSpace section_cube.g3w
Commandes GéoSpace Touche 1 : afficher /effacer le plan (PQR) b. Section triangulaireMoins facile. À partir du plan (PQR), trouver la section plane STU. Dans l'autre sens, à partir de la section plane STU, retrouver les points P, Q et R situés sur les prolongements des côtés. Voir correction dans Avec GéoSpace Télécharger la figure GéoSpace section_cube2.g3w Terminale ES3.1. Droites et plans dans l'espaceBac ES National 1999 : Exercice II Géométrie (spécialité en mathématiques) L'espace est muni d'un repère orthonormal (O, , , ) représenté ci-après.
a. Placer les points A, B, C dans le repère (O, , , ) et tracer le triangle ABC. c. Soit le vecteur de coordonnées (1 ; 2 ; 1).
Le point G est situé sur l'axe (O,), le point E dans le plan (O, , ) et le point F dans le plan (O, , ). a. Donner l'équation du plan (Q). d. Quelle est la nature de l'ensemble des points M dont les coordonnées (x ; y ; z) vérifient le système :
Quel est l'ensemble des points du plan dont les coordonnées sont solutions du système S ? 3.2. Plan et droite dans un pavéBac ES Amérique du Nord 1999 L'espace est rapporté au repère orthonormal (O ; , , ).
2. a. Donner les coordonnées d'un vecteur normal au plan (BLH). c. Montrer que le point de coordonnées appartient à D et à P. Indications Les coefficients de l'équation de P permettent de trouver les coordonnées : (4, -3, 8). orthogonal au plan P, est orthogonal aux deux vecteurs et non colinéaires contenus dans ce plan. Le système formé par ces deux équations 3x - 4y - 3z + 9 = 0 et 2x - z + 3 = 0 caractérise la droite D, intersection des deux plans correspondant à ces deux équations. Télécharger la figure GéoSpace pave_droite_plan.g3w |
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