Un triangle a été effacé. Il n'en reste que trois droites (médianes, hauteurs…), retrouver le triangle !
Sommaire1. Médianes 2. Hauteurs 3. Bissectrices 4. Médiatrices |
Géométrie du triangleUn triangle a été effacé, il ne reste que certains points : le triangle, c'est le pied La géométrie du triangle (droites remarquables) Problèmes de construction : le triangle rectangle Démonstrations géométriques de Pythagore
Page no 15, réalisée le 13/2/2002 - mise à jour le 5/11/2008 | ||
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Étant donné trois droites concourantes, construire un triangle ABC tel que ces droites en soit les médianes, les hauteurs, les bissectrices, les médiatrices. Voici douze exercices de « résolution de triangle » assez difficiles de 14 à 77 ans. Ces casse-tête géométriques consistent à retrouver un triangle à partir de points ou de droites remarquables. Ils sont particulièrement adaptés aux classes de la quatrième à la seconde. L'utilisation des logiciels Cabri-Géomètre ou GéoPlan est une aide précieuse dans la recherche des solutions. Les exercices 1 et 2 sont les plus abordables. Ils ont été réalisés en classe de quatrième en 2001, et avec guère moins de difficultés, en seconde en 2004. Les autres font l'objet du défi. Dans un premier temps, en collège et en seconde, nous ne sommes pas posés le problème de l'existence des solutions. Nous avons choisi trois droites non perpendiculaires, deux à deux, pour éliminer la majorité des cas particuliers et nous avons évité les angles obtus. |
Tracer trois droites (d1 ), (d2 ) et (d3 ) concourantes au point G. Placer un point I, distinct de G, sur la droite (d3). La droite (d1’) symétrique de (d1) par rapport à I coupe (d2) en B et (d3) en Q. Soit le point A le symétrique de B par rapport à I. Compléter C symétrique de Q par rapport à G. Le triangle ABC est une solution. Remarque : GABQ est un parallélogramme. Recherche avec GéoPlan : figure mediane2.g2w Télécharger la figure GéoPlan mediane3.g2w La géométrie du triangle Sommaire |
Tracer trois droites (d1 ), (d2 ) et (d3 ) concourantes au point H et non perpendiculaires deux à deux. Choisir le côté [AB] en plaçant arbitrairement le pied I d'une des hauteurs, distinct de H, sur (d3). Il revient même, quoi que un peu plus compliqué, de choisir un point A, distinct de H, sur (d1) et de trouver le côté [AB] en traçant la perpendiculaire à (d3) passant par A qui la coupe en I et coupe (d2) en B. |
a. Tracer des perpendiculaires Ayant choisi le côté [AB], il reste à tracer les deux autres côtés (AJ) et (BK) du triangle ABC, perpendiculaires à (d1) et (d2), et à trouver le sommet C. Pour cela, tracer le cercle de diamètre [AB] qui coupe (d1) en K et (d2) en J. Les droites (d1) et (d2) sont deux hauteurs du triangle ABC qui admet H comme orthocentre. (CH) est la troisième hauteur du triangle. (CH) et (d3) sont toutes deux perpendiculaires à (AB) passant par H. Elles sont donc confondues et C est bien sur la droite (d3). Le triangle ABC ayant pour hauteurs (d1), (d2) et (d3) est une solution de problème. Télécharger la figure GéoPlan hauteur4.g2w La géométrie du triangle |
b. Points cocycliques
Placer un point quelconque A, distinct de H, sur la droite (d1), le cercle de diamètre [HA] coupe (d2) et (d3) en K et I. La droite (AI) coupe (d2) en B et (AK) coupe (d3) en C. Le triangle ABC est solution.
Justification Les points I, K, B et C existent, car les droites données ne sont pas deux à deux perpendiculaires.
Télécharger la figure GéoPlan hauteur6.g2w c. Symétriques de l'orthocentre Comme pour le premier exercice, choisir le côté [AB] en plaçant arbitrairement le pied I d'une des hauteurs, distinct de H, sur (d3). La perpendiculaire à (d3) passant par I coupe (d1) en A et (d2) en B. Les symétriques de l'orthocentre, par rapport à chacun des côtés du triangle, se trouvent sur le cercle circonscrit au triangle. Soit H’ le symétrique de H par rapport au côté (AB). Le triangle ABC convient. Preuve Montrons que (d2) est perpendiculaire à (AC). Soit K le point d'intersection de (d2) et (AC). Donc IBH = HCK. Les triangles BIH et CKH ont les mêmes angles. Le triangle BIK est rectangle en I, le triangle semblable CKH est rectangle en K et Télécharger la figure GéoPlan hauteur7.g2w |
Tracer trois droites (d1 ), (d2 ) et (d3 ) concourantes au point I et non perpendiculaires deux à deux. a. Changement de point de vue : problème de hauteurs Nous ramenons au problème : construire un triangle PQR dont les droites (d1 ), (d2 ) et (d3 ) sont les hauteurs. Avec la première méthode du chapitre 2, placer un point A, distinct de I, sur la droite Le triangle ABC est le triangle orthique de PQR. Les hauteurs (d1), (d2) et (d3) de PQR sont les bissectrices du triangle orthique ABC. Télécharger la figure GéoPlan bissect2.g2w b. Centres de cercles exinscrits Remarque : Dans la figure ci-dessus, le point
I est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC, P, Q et R y sont les centres des cercles exinscrits. On en déduit une deuxième méthode de construction : Placer un point quelconque A, distinct de I, sur (d3). Le cercle de centre O, passant par A et I, recoupe (d2) en C (et (d1) en P). On construit de même le point B, intersection de (d2) et du cercle de centre O’, passant par A et I. Télécharger la figure GéoPlan bissect3.g2w c. Suppression d'une contrainte : recherche avec GéoPlan du lieu du point C lorsque B varie. D'après Jean-Jacques Dahan - Plot no 101-102 Avec GéoPlan, à partir de deux points A sur (d1) et B sur (d2), tracer le triangle ABC ayant (d1) et (d2)
comme bissectrices. En général, le point C n'est pas sur (d3). En déplaçant le point B on peut trouver une position amenant le point C sur (d3). Cherchons cette position en affichant la trace du point C, il semble que le lieu soit un arc de cercle passant par I. Une analyse plus précise permet de conjecturer que l'arc est contenu dans le cercle passant par A et I, dont le centre O est situé dur (d2). Il suffit donc de trouver le deuxième point C’ d'intersection du cercle et de (d3) et de trouver le triangle solution AB’C’ où B’ est l'intersection de (d2) et la droite symétrique de (AC’) par rapport à (d1). Télécharger la figure GéoPlan bissect_a.g2w |
d. Cercle inscrit dans le triangle ABC
Tracer un cercle (c1) et choisir un point J sur ce cercle. La tangente en J à ce cercle coupe, par exemple,
(d1) en A et (d2) en B. En général, le point C n'est pas sur (d3). Donc, le point C, situé à une distance fixe de I, est sur un cercle (c2) de centre I. |
Il suffit de prendre C à l'intersection de ce cercle (c2) et de (d3) pour obtenir une solution de ce problème.
Télécharger la figure GéoPlan bissect6.g2w La géométrie du triangle |
Tracer trois droites (d1 ), (d2 ) et (d3 ) concourantes au point O et non perpendiculaires deux à deux. a. Changement de point de vue : problème de hauteurs Nous ramenons au problème : construire un triangle IJK dont les droites (d1 ), (d2 ) et (d3 ) sont les hauteurs. |
Les médiatrices d'un triangle ABC sont les hauteurs du triangle médian IJK. Cette propriété permet de trouver une démonstration au niveau de la classe de quatrième. À partir d'un point I arbitraire sur (d1), tracer comme dans l'exercice 2, le triangle IJK, ayant pour hauteurs les droites (d1), (d2) et (d3). Télécharger la figure GéoPlan mediat_a.g2w |
b. Suppression d'une contrainte : recherche avec GéoPlan lorsque A varie sur un cercle de centre O
À partir de la classe de troisième. En s'affranchissant de la contrainte pour (d1), sur un cercle fixe (c) de centre O, placer au hasard un point A puis tracer les points B et C symétriques de A par rapport respectivement à (d3) et (d2). Le triangle ABC est inscrit dans (c) et a pour médiatrices (d2) et (d3). Soit I le milieu I de [BC]. La médiatrice (OI) de [BC] coupe le cercle (c) en un point M, situé sur la demi-droite [OI). En général cette médiatrice est distincte de la droite (d1), qui coupe le cercle (c) en P et Q. En déplaçant le point A, on s'aperçoit que la longueur BC est constante. Comme BC est constant, IB l'est également. Le triangle rectangle OIB, d'angle aigu α, est invariant et la longueur OI est constante. Le milieu I est situé sur un cercle fixe (c’) de centre O. On appelle J et K les points où la droite (d1) coupe le cercle (c’). Cette figure nous donne plusieurs axes pour une recherche, que nous ne justifierons pas : Avec GéoPlan déplacer A pour que M soit sur (d1) et observer la figure. |
Recherche avec GéoPlan |
M en P Report d'angle Une construction en reportant l'angle des droites (d2, d3) de part et d'autre de (d1) : La longueur MB est constante et égal à RS, où R et S sont les intersections des médiatrices (d2) et (d3) avec le cercle (c). Avec le compas, reporter la longueur RS en P : le cercle de centre P et de rayon RS coupe le cercle (c) en B et C. Justification (composition de transformations) : la rotation r de centre O, d'angle α qui transforme R en S, transforme C en P et P en B. Les points B et C sont symétriques par rapport à (d1). Pied d'une médiatrice Une autre construction en traçant la tangente en J à (c’). Cette tangente coupe le cercle (c) en B et C. Justification : l'angle au centre (OC, OB) est le double de l'angle inscrit (AC, AB) égal à α. |
M en Q Report d'angle Le cercle de centre Q coupe le cercle (c) en B et C. Pied d'une médiatrice Une dernière construction en traçant la tangente en K à (c’). Cette tangente coupe le cercle (c) en B et C. Commandes GéoPlan Déplacer le point A, Télécharger la figure GéoPlan mediat_b.g2w |
c. Recherche avec GéoPlan (d'après Henri Bareil - Plot no 106 - septembre 2003)
Si nous essayons de déterminer A, B étant son symétrique par rapport à (d1) et C le symétrique de B par rapport à
(d2), nous devrions retrouver A en symétrisant par rapport à (d3), donc au terme de trois symétries successives d'axes concourants en O.
Un enseignant sait que la composée de trois symétries est une symétrie. O étant point fixe, l'axe (d) passe aussi par O.
Dès lors, il faut et il suffit que le point A soit pris sur (d). À une homothétie de centre O près, si une solution il y a, elle est unique.
Avec GéoPlan, à partir d'un point A libre dans le plan traçons les symétriques B et C.
Soit a le symétrique de C par rapport à (d3). Si a = A on a une solution, en général ce n'est pas le cas et soit I le milieu [aA] et (d) = (OI) la médiatrice de [aA].
Le point I ou tout point de (d) permet de trouver une solution IJK.
Télécharger la figure GéoPlan mediat_c.g2w
d. Avec une translation (d'après Henri Bareil)
Hors programme
À partir d'un point I, tracer les perpendiculaires à (d1) et (d2), J étant un point d'une des perpendiculaires, la perpendiculaire à (d3) passant par J coupe la deuxième perpendiculaire en K.
Le triangle IJK a ses médiatrices parallèles à (d1), (d2) et (d3). Soit O’ leur point de concours.
Il suffit alors de la translation amenant O’ sur O pour obtenir un triangle ABC solution.
Télécharger la figure GéoPlan mediat_d.g2w
Activité B2i |
Domaine B2i |
Item collège validable |
Droites remarquables en 4ème |
1 – S'approprier un environnement informatique de travail. |
1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail. |
GéoPlan |
GéoPlan |
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